ウォード＝高橋恒等式のソースを表示

{{要改訳}}
[[場の量子論]]において、分配関数の間の'''ウォード＝高橋恒等式'''（Ward–Takahashi identity）は、理論の[[大域対称性|大域的対称性]]や[[局所対称性|局所的対称性]]から従い、[[繰り込み]]の後でも有効となる等式である。
[[量子電磁力学]]のウォード＝高橋恒等式は、元々は{{仮リンク|ジョン・クリーヴ・ウォード|en|John Clive Ward}}（John Clive Ward）と[[高橋康]]（Yasushi Takahashi）により[[電子]]の{{仮リンク|波動函数繰り込み|en|wave function renormalization}}(wave function renormalization)と[[頂点函数|形状因子]] F<sub>1</sub>(0) とを関係づけるために使われ、[[摂動論]]のすべての次数において{{仮リンク|紫外発散|en|ultraviolet divergence}}（ultraviolet divergence）が相殺することを保証する。その後、摂動論の全ての次数における[[:en:Goldstone's theorem|ゴールドストーンの定理]]の証明の拡張などにも用いられた。

より一般にはウォード＝高橋恒等式は、古典論において[[ネーターの定理]]により連続対称性からカレントの保存則が従うことの量子論におけるバージョンである。場の量子論ではそのような対称性は（ほとんど）常にこのように一般化されたウォード＝高橋恒等式を意味し、量子振幅のレベルでの対称性を課す。ここで一般化されたウォード＝高橋恒等式と呼んでいるものと本来のウォード＝高橋恒等式とは、例えば、{{仮リンク|ミカエル・ペスキン|en|Michael Peskin}}(Michael Peskin)と{{仮リンク|ダニエル・シュレーダー|en|Daniel Schroeder}}(Daniel Schroeder)の教科書 ''An Introduction to Quantum Field Theory''（参考文献参照）のような文献を読む際には、区別する必要がある。

== ウォード＝高橋恒等式 ==

[[位置空間と運動量空間|運動量空間]](momentum space)における相関函数のウォード＝高橋恒等式は、外線の運動量が必ずしも[[オンシェルとオフシェル|オンシェル]]でない場合に適用される。

::<math>\mathcal{M}(k; p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots q_n) = \epsilon_{\mu}(k) \mathcal{M}^{\mu}(k; p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots q_n)</math>

を、運動量 k を持つ外線[[光子]](ここに <math>\! \epsilon_{\mu}(k)</math> は光子の{{仮リンク|光子の偏光|label=偏光|en|Photon polarization}}(polarization)ベクトルであり、<math>\mu</math>=0,...,3に渡って和をとっている)、運動量 <math> p_1 \cdots p_n</math> を持つ''n'' 個の電子からなる初期状態、及び運動量 <math>q_1 \cdots q_n</math> を持つ''n'' 個の電子からなる終状態についての[[量子電磁力学]](QED)での[[相関函数 (場の量子論)|相関函数]]とする。さらに、<math>\mathcal{M}_0</math> を元の振幅から運動量 k をもつ光子を取り除くことにより得られるより単純な{{仮リンク|確率振幅|label=振幅|en|Probability amplitude}}(amplitude)とする。すると、ウォード＝高橋恒等式は、

::<math>k_{\mu} \mathcal{M}^{\mu}(k; p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots q_n) = e \sum_i \left[ \mathcal{M}_0(p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots (q_i-k) \cdots q_n) \right. </math>
::::::::::::::::::<math> \left. - \mathcal{M}_0(p_1 \cdots (p_i+k) \cdots p_n; q_1 \cdots q_n) \right] </math>

となる。ここに ''e'' は[[電気素量|電子の電荷]]であり負の値をとる。<math>\mathcal{M}</math> の外線電子の運動量がオンシェルの場合には、この等式の右辺の振幅はそれぞれオフシェルの外線粒子を１つ持ち、従って、[[S-行列]]要素に寄与しないことに注意。
<!--== The Ward–Takahashi identity ==

The Ward–Takahashi identity applies to correlation functions in [[momentum space]], which do not necessarily have all their external momenta [[on-shell]].  Let

::<math>\mathcal{M}(k; p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots q_n) = \epsilon_{\mu}(k) \mathcal{M}^{\mu}(k; p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots q_n)</math>

be a [[Quantum electrodynamics|QED]] [[Correlation function (quantum field theory)|correlation function]] involving an external [[photon]] with momentum k (where <math>\! \epsilon_{\mu}(k)</math> is the [[Photon polarization|polarization]] vector of the photon and summation over <math>\mu</math>=0,...,3 is implied), ''n'' initial-state [[electron]]s with momenta <math> p_1 \cdots p_n</math>, and ''n'' final-state electrons with momenta <math>q_1 \cdots q_n</math>.  Also define <math>\mathcal{M}_0</math> to be the simpler [[Probability amplitude|amplitude]] that is obtained by removing the photon with momentum ''k'' from our original amplitude.  Then the Ward–Takahashi identity reads

::<math>k_{\mu} \mathcal{M}^{\mu}(k; p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots q_n) = e \sum_i \left[ \mathcal{M}_0(p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots (q_i-k) \cdots q_n) \right. </math>
::::::::::::::::::<math> \left. - \mathcal{M}_0(p_1 \cdots (p_i+k) \cdots p_n; q_1 \cdots q_n) \right] </math>

where ''&minus;e'' is the [[Elementary charge|charge of the electron]].  Note that if <math>\mathcal{M}</math> has its external electrons on-shell, then the amplitudes on the right-hand side of this identity each have one external particle off-shell, and therefore they do not contribute to [[S-matrix]] elements.-->

== ウォードの恒等式 ==

ウォードの恒等式は、ウォード＝高橋恒等式を[[S-行列]]要素へ特殊化した恒等式であり、物理的に可能な[[散乱]]過程を記述するので、すべてのが外部粒子のオンシェルを持つ。繰り返すが、<math>\mathcal{M}(k) = \epsilon_{\mu}(k) \mathcal{M}^{\mu}(k)</math> を、運動量 <math>\!k</math> の外部光子を持つ QED 過程の振幅とする。ここに <math>\!\epsilon_{\mu}(k)</math> は、光子の{{仮リンク|光子の偏光|label=偏光|en|Photon polarization}}(polarization)ベクトルである。すると、ウォードの恒等式は、

:: <math> k_{\mu} \mathcal{M}^{\mu}(k) = 0 </math>

である。物理的には、この恒等式の意味は、[[:en:&xi; gauge|ランダウゲージ]]で起きる光子の縦方向の偏光は物理的ではなく、S-行列から消える。

この使い方の例は、QED の[[真空偏極]]と電子の[[頂点函数]]のテンソル構造を拘束することを意味する。
<!--== The Ward identity ==

The Ward identity is a specialization of the Ward–Takahashi identity to [[S-matrix]] elements, which describe physically possible [[scattering]] processes and thus have all their external particles [[on-shell]].  Again let <math>\mathcal{M}(k) = \epsilon_{\mu}(k) \mathcal{M}^{\mu}(k)</math> be the amplitude for some QED process involving an external photon with momentum <math>\!k</math>, where <math>\!\epsilon_{\mu}(k)</math> is the [[Photon polarization|polarization]] vector of the photon.  Then the Ward identity reads:

:: <math> k_{\mu} \mathcal{M}^{\mu}(k) = 0 </math>

Physically, what this identity means is the longitudinal polarization of the photon which arises in the [[&xi; gauge]] is unphysical and disappears from the S-matrix.

Examples of its use include constraining the [[tensor]] structure of the [[vacuum polarization]] and of the electron [[vertex function]] in QED.-->

== 経路積分での導出 ==

{{See also|[[:en:Path integral formulation#Ward–Takahashi identities|経路積分の定式化でのウォード＝高橋恒等式]]（英語版記事）}}

経路積分の定式化において、ウォード＝高橋恒等式は、[[ゲージ理論|ゲージ変換]]の下での汎函数測度の不変量の反映である。詳しく言うと、<math>\delta_\epsilon</math> で ε によるゲージ変換を表すと（加えて、ε を系の物理的対称性が[[ゲージ理論#大域対称性|大域的]]である場合や大域的対称性が存在しない場合でも、'''汎函数測度の不変性'''についてのみ心配するだけでよい）、

:<math>\int \delta_\epsilon \left(\mathcal{F} e^{iS}\right) \mathcal{D}\phi  = 0</math>

は、汎函数測度の不変性を表す。ここに S は[[作用 (物理学)|作用]]であり、<math>\mathcal{F}</math> は[[場|量子場]]の[[汎函数]]である。ゲージ変換が理論の'''[[ゲージ理論#大域対称性|大域的対称性]]'''に対応すると、（場 φ の汎函数として）ある{{仮リンク|保存カレント|label=カレント|en|Conserved current}}(current) '''J''' に対し、{{仮リンク|曲面項|en|surface term}}(surface term)を無視することを仮定した[[部分積分]]により、

:<math>\delta_\epsilon S=\int \left(\partial_\mu \epsilon\right) J^\mu \mathrm{d}^dx = -\int \epsilon \partial_\mu J^\mu \mathrm{d}^dx</math>

となる。

すると、ウォード＝高橋恒等式は、

:<math>\langle \delta_\epsilon \mathcal{F}\rangle - i \int \epsilon \langle \mathcal{F} \partial_\mu J^\mu \rangle  \mathrm{d}^dx = 0</math>

となる。この等式の[[ネーターの定理#場の理論におけるネーターの定理|ネーターの連続方程式]]の QFT における類似物は <math>\partial_\mu J^\mu=0</math> である。

ゲージ変換が実際の[[ゲージ対称性]]に対応すると、

:<math>\int \delta_\epsilon \left( \mathcal{F} e^{i\left(S+S_{gf}\right)}\right) \mathcal{D}\phi = 0</math>

となる。ここに S はゲージ不変は作用であり、S<sub>gf</sub> はゲージ不変ではない{{仮リンク|ゲージ固定|en|gauge fixing}}(gauge fixing)項である。

しかし、たとえ大域的対称性が存在しない（対称性が破れている）場合でも、ウォード＝高橋恒等式はチャージの非保存の率を記述する。

汎函数測度がゲージ不変でないが、λ を場 φ の汎函数としたときには

:<math>\int \delta_\epsilon \left(\mathcal{F} e^{iS}\right) \mathcal{D}\phi = \int \epsilon \lambda \mathcal{F} e^{iS} \mathrm{d}^dx </math>

を満すとすると、'''アノマリーウォード＝高橋恒等式'''を得る。このことの例は{{仮リンク|カイラルアノマリー|en|chiral anomaly}}(chiral anomaly)がある場合である。
<!--== Derivation in the path integral formulation ==

{{See also|Path integral formulation#Ward–Takahashi identities|l1=Path integral formulation}}

In the path integral formulation, the Ward–Takahashi identities are a reflection of the invariance of the [[functional measure]] under a [[gauge transformation]]. More precisely, if <math>\delta_\epsilon</math> represents a gauge transformation by ε (and this applies even in the case where the physical symmetry of the system is [[Global symmetry|global]] or even nonexistent; we are only worried about the ''invariance of the functional measure'' here), then

:<math>\int \delta_\epsilon \left(\mathcal{F} e^{iS}\right) \mathcal{D}\phi  = 0</math>

expresses the invariance of the functional measure where S is the [[Action (physics)|action]] and <math>\mathcal{F}</math> is a [[Functional (mathematics)|functional]] of the [[Field (physics)#Quantum fields|fields]]. If the gauge transformation corresponds to a ''[[Global symmetry|global]]'' symmetry of the theory, then,

:<math>\delta_\epsilon S=\int \left(\partial_\mu \epsilon\right) J^\mu \mathrm{d}^dx = -\int \epsilon \partial_\mu J^\mu \mathrm{d}^dx</math>

for some "[[Conserved current|current]]" '''J''' (as a functional of the fields φ) after [[Integration by parts|integrating by parts]] and assuming that the [[surface term]]s can be neglected.

Then, the Ward–Takahashi identities become

:<math>\langle \delta_\epsilon \mathcal{F}\rangle - i \int \epsilon \langle \mathcal{F} \partial_\mu J^\mu \rangle  \mathrm{d}^dx = 0</math>

This is the QFT analog of the [[Noether's theorem#Field theory version|Noether continuity equation]] <math>\partial_\mu J^\mu=0</math>.

If the gauge transformation corresponds to an actual [[gauge symmetry]] then

:<math>\int \delta_\epsilon \left( \mathcal{F} e^{i\left(S+S_{gf}\right)}\right) \mathcal{D}\phi = 0</math>

where S is the gauge invariant action and S<sub>gf</sub> is a non-gauge-invariant [[gauge fixing]] term.

But note that even if there is not a global symmetry (i.e. the symmetry is broken), we still have a Ward–Takahashi identity describing the rate of charge nonconservation.

If the functional measure is not gauge invariant, but happens to satisfy

:<math>\int \delta_\epsilon \left(\mathcal{F} e^{iS}\right) \mathcal{D}\phi = \int \epsilon \lambda \mathcal{F} e^{iS} \mathrm{d}^dx </math>

where λ is some functional of the fields φ, we have an '''anomalous Ward–Takahashi identity'''. This happens when we have a [[chiral anomaly]], for example.-->

==参考文献==

*Y. Takahashi, ''Nuovo Cimento'', Ser 10, 6 (1957) 370.
*[http://prola.aps.org/abstract/PR/v78/i2/p182_1 J.C. Ward, ''Phys. Rev.'' 78, (1950) 182]
*For a pedagogical derivation, see section 7.4 of {{cite book
 | author=Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder
 | title=An Introduction to Quantum Field Theory
 | publisher=Westview Press
 | year=1995
 | isbn = 0-201-50397-2}}
<!--
{{QED}}-->

{{DEFAULTSORT:うおおとたかはしこうとうしき}}
[[Category:場の量子論]]
[[Category:量子電磁力学]]
[[Category:恒等式]]