ウラム数のソースを表示

'''ウラム数'''（ウラムすう、{{Lang-en-short|Ulam number}}）とは、（名称の由来でもある）[[スタニスワフ・ウラム]]が考案したある[[整数列]]の項である。彼はこの数（数列）を1964年に導入した<ref>{{harvs|last=Ulam|year=1964a|year2=1964b|txt|authorlink=Stanislaw Ulam}}.</ref>。標準的なウラム数列 ((1,&nbsp;2)-Ulam  sequence) は ''U''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;1, ''U''<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;2 から始まり、''n''&nbsp;>&nbsp;2 に対する ''U''<sub>''n''</sub> は
:「先行するいずれの項よりも大きく、かつ、先行する相異なる2項の和としてただ一通りに書けるような[[整数]]のうち最小のもの」

と定義される。

==例==
定義により、3 はウラム数である(1+2)。4 もウラム数である(1+3)。"2+2" は同一数の和なので、4 の別の表し方にはならない。5 はウラム数ではない。なぜなら 5&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;4&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;3 だからである。ウラム数を順に並べていくと次のようになる。
:1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102, 106, 114, 126, 131, 138, 145, 148, 155, 175, 177, 180, 182, 189, 197, 206, 209, 219, 221, 236, 238, 241, 243, 253, 258, 260, 273, 282, ... {{OEIS|id=A002858}}.

ウラム数は無数に存在する。なぜなら、ウラム数列の最初の ''n'' 項が定まっているとき、 {{nowrap|''U''<sub>''n'' &minus; 1</sub> + ''U''<sub>''n''</sub>}} は既存のどの項よりも大きく、かつ相異なる既存の2項の和として一意的に書ける数だが、同じ性質を持つこれ以下の自然数の中で最小のものを選べばそれが第 ''n+1'' 項になるからである<ref>{{harvtxt|Recaman|1973}} は[[背理法]]を用いて次のような類似した論証を行っている。「もしウラム数が有限個しかなかったら、その中の大きい方から2個をとって作った和もまたウラム数になり、これは矛盾である。」しかしこの場合の和は、既存の2個のウラム数の和として一意的に書けるものの、一意的な表現を持つ数の中で最小とは限らない。</ref>。

ウラムはこの数列の密度（ ''n'' 以下のウラム数の個数を ''u(n)'' としたときの <math> d(U)=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u(n)}{n} </math>）はゼロだと予想したと言われている<ref>ウラムがこの予想を行ったとの記述は OEIS {{OEIS2C|id=A002858}} にある。しかし彼は {{harvtxt|Ulam|1964a}} ではこの数列の密度を取り扱っておらず、{{harvtxt|Ulam|1964b}} では値の予想をすることなしに密度の決定問題を提示している。{{harvtxt|Recaman|1973}} では {{harvtxt|Ulam|1964b}} での密度の問題が再び述べられているが、やはり値の予想はされていない。</ref>が、この値は約0.07398のようである<ref>OEIS {{OEIS2C|id=A002858}}</ref>。

==隠れた構造==
最初の一千万個のウラム数は、4つの項 <math> \left\{2,3,47,69\right\} </math> を除けば <math> \cos{(2.5714474995 a_n)} < 0 </math> を満たすことが見出されていた<ref>{{harvtxt|Steinerberger|2015}}</ref>。現在これは <math>n = 10^9</math> まで確かめられている。この種の不等式は、普通は数列に何らかの周期性があるときに成り立つものだが、ウラム数列は周期性を持っているようには見えず、この現象は未解明である。

==一般化==
最初の2項を別の組 (''u'',&nbsp;''v'') に選んで、一般化した (''u'',&nbsp;''v'')-ウラム数列を考えることができる。(''u'',&nbsp;''v'')-ウラム数列は、[[階差数列]]が最終的に周期数列に到るとき、正則（regular）であるという。''v'' が3より大きな奇数のとき (2,&nbsp;''v'')-ウラム数列は正則である。''v'' が4を法として1と合同であるときも、(4,&nbsp;''v'')-ウラム数列は正則である<ref>{{harvtxt|Queneau|1972}} は ''u''&nbsp;=&nbsp;2 で ''v''&nbsp;=&nbsp;7, ''v''&nbsp;=&nbsp;9 の場合の正則性を最初に見出した。{{harvtxt|Finch|1992}} は ''v'' を3より大きな奇数としたときにもこの結果は拡張されると予想し、この予想は {{harvtxt|Schmerl|Spiegel|1994}} によって証明された。(4,&nbsp;''v'')-ウラム数列の正則性は {{harvtxt|Cassaigne|Finch|1995}} が証明した。</ref>。しかしながら元々のウラム数列は正則でないようである。

数列が
:「どの 2''s''+1 番目の項も、先行する相異なる2項の和としてちょうど ''s'' 通りに書ける」
という性質を持つとき、''s''-additive であると言われる。ウラム数列および (''u'',&nbsp;''v'')-ウラム数列は 1-additive である<ref>{{harvtxt|Queneau|1972}}.</ref>。

相異なる既存の2項の和として一意的に書けるような「最小」の整数ではなく、「最大」の整数を順次追加していくことで数列を構成すると、[[フィボナッチ数|フィボナッチ数列]]が得られる<ref>{{harvtxt|Finch|1992}}.</ref>。

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{citation
 | last = Cassaigne | first = Julien
 | last2 = Finch | first2 = Steven R.
 | issue = 1
 | journal = Experimental Mathematics
 | pages = 49–60
 | title = A class of 1-additive sequences and quadratic recurrences
 | url = http://www.emis.ams.org/journals/EM/restricted/4/4.1/finch.ps
 | volume = 4
 | year = 1995
 | doi = 10.1080/10586458.1995.10504307
 | mr = 1359417}}
*{{citation
 | last = Finch | first = Steven R.
 | doi = 10.1016/0097-3165(92)90042-S
 | issue = 1
 | journal = Journal of Combinatorial Theory, Series A
 | pages = 123–130
 | title = On the regularity of certain 1-additive sequences
 | volume = 60
 | year = 1992
 | mr = 1156652}}
*{{Citation
|last=Guy|first=Richard|authorlink=Richard K. Guy
|year=2004
|title=Unsolved Problems in Number Theory
|edition=3rd
|publisher=[[Springer-Verlag]]
|isbn= 0-387-20860-7
|pages=166–167}}
*{{citation
 | last = Queneau | first = Raymond
 | doi = 10.1016/0097-3165(72)90083-0
 | issue = 1
 | journal = Journal of Combinatorial Theory, Series A
 | language = fr
 | pages = 31–71
 | title = Sur les suites ''s''-additives
 | volume = 12
 | year = 1972
 | mr = 0302597}}
*{{citation
 | last = Recaman | first = Bernardo
 | issue = 8
 | journal = American Mathematical Monthly
 | pages = 919–920
 | title = Questions on a sequence of Ulam
 | jstor = 2319404
 | volume = 80
 | year = 1973
 | mr = 1537172
 | doi = 10.2307/2319404}}
*{{citation
 | last = Schmerl | first = James
 | last2 = Spiegel | first2 = Eugene
 | year = 1994
 | doi = 10.1016/0097-3165(94)90058-2
 | issue = 1
 | journal = Journal of Combinatorial Theory, Series A
 | pages = 172–175
 | title = The regularity of some 1-additive sequences
 | volume = 66
 | mr = 1273299}}
*{{citation
 | last = Ulam | first = Stanislaw | authorlink = Stanislaw Ulam
 | journal = SIAM Review
 | pages = 343–355
 | title = Combinatorial analysis in infinite sets and some physical theories
 | volume = 6
 | jstor = 2027963
 | doi = 10.1137/1006090
 | year = 1964a
 | mr = 0170832}}
*{{citation | last = Ulam | first = Stanislaw | authorlink = Stanislaw Ulam
| title = Problems in Modern Mathematics
| publisher = John Wiley & Sons, Inc
| location = New York
| year = 1964b
| page = xi
| mr = 0280310}}
*{{citation|arxiv=1507.00267|first=Stefan|
last=Steinerberger
| year = 2015
|title=A Hidden Signal in the Ulam sequence
| publisher =Experimental Mathematics|bibcode=2015arXiv150700267S}}

==外部リンク==
* [http://mathworld.wolfram.com/UlamSequence.html Ulam Sequence from MathWorld]
* [http://vixra.org/abs/1508.0085 Fast computation of the Ulam sequence by Philip Gibbs]
* [http://www-cs-faculty.stanford.edu/~uno/ulam-gibbs.ps Description of Algorithm by Donald Knuth]
* [https://github.com/daniel3735928559/wip-ulam The github page of Daniel Ross]

{{Classes of natural numbers}}

{{DEFAULTSORT:うらむすう}}
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