エノン写像のソースを表示

{{multiple image
 | align     = right
 | direction = vertical
 | footer    = ''a'' = 1.4、''b'' = 0.3のエノン写像における''x''<sub>n</sub>と''y''<sub>n</sub>の時間発展、変数の不規則な振る舞いが見て取れる。<br>初期値：x<sub>1</sub>=0.1、y<sub>1</sub>=0<br>繰り返し数：''n'' = 500まで
 | footer_align = left
 | width     = 300
 | image1    = X time evolution Henon map (n from 1 to 100).png|X time evolution Henon map (n from 1 to 100).png
 | image2    = Y time evolution Henon map (n from 1 to 100).png|Y time evolution Henon map (n from 1 to 100).png
}}
'''エノン写像'''（エノンしゃぞう、Hénon map）とは、[[2次元]]の離散[[力学系]]の一種。次の2変数連立常差分方程式（[[漸化式]]）で示される{{Sfn|小室|2005|p=123}}。
:<math>\begin{cases}x_{n+1} = 1-a x_n^2 + y_n\\y_{n+1} = b x_n \end{cases}</math>
ここで、''a''、''b''は[[定数]]で、単に[[パラメータ]]などと呼ぶ{{Sfn|小室|2005|p=123}}。

エノン写像は、1976年にフランスの天文学者[[ミシェル・エノン]]（[[:fr:Michel Hénon]]）により発表された{{Sfn|合原・黒崎・高橋|1999|p=99}}{{Sfn|Hénon|1976}}。エノンは、1963年に発表された[[ローレンツ方程式]]が生み出す[[カオス理論|カオス]]をさらに研究するため、ローレンツの系の本質的性質を同様に持ちつつも、より簡単な数学モデルを構築することを目的に上記の写像を考案した{{Sfn|Hénon|1976| pp=69&ndash;70}}。

また、1969年にエノンが発表した以下の形式の写像についても、もう一つのエノン写像として紹介される場合もある{{Sfn|Weisstein}}{{Sfn|Hénon|1969}}。
:<math>\begin{cases}x_{n+1} = x_n \cos \alpha + (y_n - x_n^2) \sin \alpha \\ y_{n+1} = x_n \sin \alpha + (y_n - x_n^2) \cos \alpha \end{cases}</math>

==エノン・アトラクタ==
エノン写像における''a''、''b''は任意の定数だが、写像が[[アトラクター#ストレンジアトラクター|ストレンジアトラクタ]]となるような最適なパラメータとして、エノンは''a'' = 1.4、''b'' = 0.3を提案し{{Sfn|Hénon|1976|p=72}}、これらの値がエノン写像における標準的なパラメータ値としてよく使用される{{Sfn|合原・黒崎・高橋|1999|p=103}}。このときの解軌道は'''エノン・アトラクタ'''と呼ばれる{{Sfn|合原・黒崎・高橋|1999|p=102}}。
[[File:HenonMapImage.png|thumb|center|300px|エノン・アトラクタ<br>横軸：''x''<sub>n</sub>、縦軸：''y''<sub>n</sub>]]
また、他のストレンジアトラクタ同様にエレン・アトラクタの解軌道は[[フラクタル]]構造を持つ{{Sfn|合原・黒崎・高橋|1999|p=105}}。図形を拡大していくと、無限に相似の形状が表れる{{Sfn|合原・黒崎・高橋|1999|p=105}}。[[フラクタル次元]]は、{{仮リンク|容量次元|en|Minkowski–Bouligand dimension}}では約1.27、{{仮リンク|相関次元|en|Correlation dimension}}では約1.23である{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012|p=198}}{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012|p=200}}。
[[File:Fractal of henon attractor.png|thumb|center|450px|エノン・アトラクタのフラクタル構造<br>繰り返し数は、(1) n = 10<sup>4</sup>、(2) n = 10<sup>5</sup>、(3) n = 10<sup>6</sup>、(4) n = 10<sup>6</sup><br>(4)は拡大率に対してプロット数（繰り返し数）が少ないので、軌道の点に隙間が目立つ]]

==分岐図==
[[ロジスティック写像]]などと同様にパラメータ''a''、''b''の変化に応じて、カオスだけではなく、周期的振る舞いに落ち着いたり、[[固定点]]へ収束したりするような振る舞いに変わる{{Sfn|合原・黒崎・高橋|1999|p=103}}。

パラメータに応じて写像の変数が最終的にどのような値に落ち着くかを示すのに[[分岐図 (力学系)|分岐図]]が用いられるが、エノン写像のような2次元写像の場合には、横軸と縦軸にパラメータ変化を取ってパラメータ2つの変化の影響を同時に観察する2パラメータ分岐図と、1つのパラメータは固定してもう1つのパラメータ変化の影響だけを観察する1パラメータ分岐図がある{{Sfn|小室|2005|p=123}}{{Sfn|小室|2005|p=128}}。
[[File:Henon bifurcation map b=0.3.png|thumb|400px|center|エノン写像の1パラメータ分岐図 ''b'' = 0.3]]
上図は''b'' = 0.3におけるエノン写像の1パラメータ分岐図の例で、各種の[[分岐 (力学系)|分岐]]が観察される。''a''が約0.912を超えると2周期から4周期への[[周期倍分岐]]が発生する{{Sfn|小室|2005|p=126}}。また、約1.226を超えると不規則な振る舞いから7周期軌道へ変化する[[サドルノード分岐]]が発生する{{Sfn|小室|2005|p=126}}。

約1.115と約1.271を超えたときには、アトラクタの軌道が突然大きくなる内部クライシスと呼ばれる現象が発生する{{Sfn|小室|2005|p=126}}。エノン・アトラクタにおけるパラメータ値である''a'' = 1.4を超え、さらに約1.426を超えると、アトラクタを描いていた解軌道は崩壊して変数はマイナスへ[[発散]]するようになる。これは境界クライシスと呼ばれ{{Sfn|小室|2005|p=126}}、本質的には内部クライシスと同じ現象だがアトラクタ軌道が大きくなるに留まらず、無限遠へ発散する{{Sfn|小室|2005|p=122}}。

== 脚注 ==
{{Reflist|2}}

==参考文献==
*{{Cite journal |first=Michel |last=Hénon |title=A two-dimensional mapping with a strange attractor |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103900150 |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=50 |issue=1 |year=1976 |publisher=Springer |pages=69-77 |ref= {{Sfnref|Hénon|1976}} }}
*{{Cite journal |first=Michel |last=Hénon |title=Numerical Study of Quadratic Area-Preserving Mappings |journal=Quarterly of Applied Mathematics |volume=27 |issue=3 |month=October |year=1969 |publisher=Brown University |pages=291-312 |ref= {{Sfnref|Hénon|1969}} }}
*{{cite book ja-jp |title=基礎からの力学系 -分岐解析からカオス的遍歴へ- |author=小室元政|publisher=サイエンス社 |year=2005 |edition=新版 |isbn= 4-7819-1118-8 |ref= {{Sfnref|小室|2005}} }}
*{{cite book ja-jp |author=合原一幸・黒崎政男・高橋純|editor=遠藤諭|title=哲学者クロサキと工学者アイハラの神はカオスに宿りたもう|publisher=アスキー|year=1999|edition=初版 |isbn=4-7561-3133-6|ref={{Sfnref|合原・黒崎・高橋|1999}}}}
*{{cite book ja-jp |author=K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク |translator =星野高志・阿部巨仁・黒田拓・松本和宏|others=津田一郎（監訳）|editor=シュプリンガー・ジャパン |title=カオス　第1巻　力学系入門 |publisher=丸善出版 |year=2012 |isbn=978-4-621-06223-4 |ref={{Sfnref|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012}} }}
*{{cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/HenonMap.html |title=Hénon Map |work=MathWorld |accessdate=2014-10-26 |author=Eric W. Weisstein |publisher= Wolfram Research |ref= {{Sfnref|Weisstein}} }}

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:えのんしやそう}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:カオス力学系]]