エピグラフ (数学)のソースを表示

[[File:Convex supergraph.svg|thumb|250px|[[区間 (数学)|区間]]上で定義された関数のエピグラフ]]

[[実数]]値[[関数 (数学)|関数]]の'''エピグラフ''' ({{lang-en-short|epigraph}}) とは、[[関数のグラフ]]の上位にある点からなる集合を指す。すなわち、関数 {{math|''f'': ''X'' → '''R'''}} のエピグラフとは[[直積集合]] {{math|''X'' &times; '''R'''}} の部分集合

:<math>\operatorname{epi} f = \{\, (x, y) \, : \, x \in X,\, y \in \mathbf{R},\, y \ge f(x) \,\}</math>

である{{sfn|Aliprantis|Border|2006|p={{google books quote|id=4hIq6ExH7NoC|page=8|8}}}}。

これと同様にして関数のグラフの下位にある点からなる集合
:<math>\operatorname{hyp} f = \{\, (x, y) \, : \, x \in X,\, y \in \mathbf{R},\, y \le f(x) \,\}</math>
を'''ハイポグラフ''' ({{lang-en-short|hypograph}}) という。

== 性質 ==
エピグラフの幾何的な性質と関数の解析的な性質との間には次のような関係がある。
* [[定義域]]が[[凸集合]]であるとき、エピグラフが凸集合であることと関数が[[凸関数|凸]]であることとは同値である。

* 定義域が[[位相空間]]であるとき、エピグラフが[[閉集合]]であることと関数が[[半連続|下半連続]]であることとは同値である{{sfn|Aliprantis|Border|2006|loc={{google books quote|id=4hIq6ExH7NoC|page=52|Corollary 2.60}}}}。

== 注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
|last1 = Aliprantis
|first1 = Charalambos D.
|last2 = Border
|first2 = Kim C.
|title = Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide
|edition = 3rd
|year = 2006
|publisher = Springer
|isbn = 978-3-540-32696-0
|url = {{google books|4hIq6ExH7NoC|plainurl=yes}}
|mr = 2378491
|zbl = 1156.46001
|ref = harv
}}

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{{デフォルトソート:えひくらふ}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:関数]]