エルハート多項式のソースを表示

[[数学]]において、{{仮リンク|整面多面体|en|integral polytope}}は付随する'''エルハート多項式'''（エルハートたこうしき、{{lang-en-short|''Ehrhart polynomial''}}）を持つ。エルハート多項式は、多面体の体積とそれが含む[[整点]] {{lang|en|(integer point)}} との間に成り立つ関係を情報として含む。エルハート多項式の理論は[[ユークリッド平面]]における[[ピックの定理]]の高次元への一般化とみることができる。 エルハート多項式の名称は1960年代にこれらの多項式について研究した[[ウジェーヌ・エルハート]] (Eugène Ehrhart) に因む。

== 概要 ==
具体的に、[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> 内の[[格子群|格子]] ''L'' と、同じく '''R'''<sup>''n''</sup> 内の ''d''-[[次元]]多面体 ''P'' を考え、多面体 ''P'' の各頂点は格子 ''L'' 上の点であるものと仮定する（よくあるのは ''L'' = '''Z'''<sup>''n''</sup> で多面体 ''P'' の頂点座標が全て[[整数]]値であるような場合である）。任意の正の整数 ''t'' に対し、 ''tP'' を ''P'' の ''t''-倍相似拡大とし、

: <math>L(P,t) = \sharp(tP \cap L)</math>

を ''tP'' が含む格子点の数とする。エルハートは1962年に ''L'' が<ref group="note">[訳注]: 多項式と格子とに同じ文字 "L" が用いられていて紛らわしいが、見たとおりここは多項式の話である。</ref> ''t'' に関して次数 ''d'' の有理[[多項式]]であること、すなわち[[有理数]] ''a''<sub>0</sub>, ..., ''a''<sub>''d''</sub> で、任意の正整数 ''t'' に対して

:''L''(''P'', ''t'') = ''a''<sub>''d''</sub>''t''<sup>''d''</sup> + ''a''<sub>''d''&minus;1</sub>''t''<sup>''d''&minus;1</sup> + … + ''a''<sub>0</sub>

となるようなものが存在することを示した。さらに ''P'' が[[閉集合|閉]]（つまり境界面が ''P'' に属する）ならば ''L''(''P'', ''t'') の係数のいくつかは簡単な解釈をもつ。
* 最高次係数 ''a''<sub>''d''</sub> は ''P'' の ''d''-次元[[体積]]を ''d''(''L'') で割ったものに等しい（格子 ''L'' の容量 {{lang|en|(content)}} もしくは共容積 {{lang|en|(covolume)}} ''d''(''L'') については[[格子群]]を参照せよ）。
* (''d''&minus;1)-次の係数 ''a''<sub>''d''&minus;1</sub> は以下のように計算することができる。格子 ''L'' が ''P'' の各面 ''F'' に誘導する格子を ''L''<sub>''F''</sub> とし、''F'' の (''d''&minus;1)-次元体積をとって 2''d''(''L''<sub>''F''</sub>) で割ったものを ''P'' の面すべてについて足し合わせる。
* 定数項 ''a''<sub>0</sub> は ''P'' の[[オイラー標数]]である。とくに ''P'' が閉凸多面体ならば ''a''<sub>0</sub> = 1 が成り立つ。

これらの言及の ''n'' = ''d'' = 2 かつ ''t'' = 1 の場合をかんがえれば[[ピックの定理]]が得られる。また、これら以外の係数に対する公式を得るのは非常に難しく、[[トーリック多様体]]の[[トッド類]]や[[リーマン-ロッホの定理]]および[[フーリエ解析]]などが必要である。

閉凸多面体 ''P'' の[[内部 (位相空間論)|内部]] int&thinsp;''P'' に対応するエルハート多項式は

: ''L''(int&thinsp;''P'', ''t'') = (&minus;1)<sup>''n''</sup> ''L''(''P'', &minus;''t'')

と計算できる。''X'' が ''P'' の正規扇 {{lang|en|(normal fan)}} に対応する[[トーリック多様体]]ならば''P'' は ''X'' 上の[[豊富線束]]を定めるが、このとき ''P'' のエルハート多項式はその線束の[[ヒルベルト多項式]]に一致する。

== 関連項目 ==
* [[準多項式]]

== 参考文献 ==
*{{citation | last1 = Beck | first1 = Matthias | last2 = Robins | first2 = Sinai | id = {{MR|2271992}} | isbn = 978-0-387-29139-0 | location = New York | publisher = Springer-Verlag | series = Undergraduate Texts in Mathematics | title = Computing the Continuous Discretely, Integer-point enumeration in polyhedra | year = 2007}}.
*{{citation | last1 = Diaz | first1 = Ricardo | last2 = Robins | first2 = Sinai | journal = Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society | pages = 1–6 | title = The Ehrhart polynomial of a lattice ''n''-simplex | url = http://www.ams.org/era/1996-02-01/S1079-6762-96-00001-7/home.html | volume = 2 | year = 1996 | doi = 10.1090/S1079-6762-96-00001-7}}. （フーリエ解析の手法の導入とほかの関連事項についての文献）
*{{citation | last = Ehrhart | first = Eugène | journal = [[Comptes rendus de l'Académie des sciences|C. R. Acad. Sci. Paris]] | pages = 616–618 | title = Sur les polyèdres rationnels homothétiques à ''n'' dimensions | volume = 254 | year = 1962}}. （定義と簡単な性質について）
*{{citation | last = Mustaţă | first = Mircea | contribution = Chapter 13: Ehrhart polynomials | date = February 2005 | title = Lecture notes on toric varieties | url = http://www.math.lsa.umich.edu/~mmustata/toric_var.html}}.
* 日比孝之:「多角形と多面体　図形が織りなす不思議世界」、講談社ブルーバックス、ISBN 9784065213612(2020年10月22日)。※ 第5章「エルハート多項式の理論」。

== 注記 ==
<div class="references-small"><references group="note" /></div>

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