エルマン環のソースを表示

[[Image:Herman Standard.png|200px|right|thumb|回転数が (&radic;5&minus;1)/2 となるように ''t''=.6151732... とされた三次有理関数 ''e''<sup>2&pi;''it''</sup>''z''<sup>2</sup>(''z''&minus;4)/(1&minus;4''z'') の[[ジュリア集合]]。影の部分がエルマン環。]]

[[数学]]、特に[[複素力学系]]に於ける'''エルマン環'''（エルマンかん、{{Lang-en-short|Herman ring}}）は、[[ファトゥ成分の分類|ファトゥ成分]]の一つである<ref name=dyn>[[ジョン・ウィラード・ミルナー|John Milnor]], [https://books.google.co.jp/books?id=DsthOelUMlkC&lpg=PR7&pg=PA161&redir_esc=y&hl=ja#v=onepage&f=false ''Dynamics in one complex variable'']: Third Edition, Annals of Mathematics Studies, 160, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2006.</ref>。[[数学者]]{{仮リンク|マイケル・エルマン|en|Michael Herman (mathematician)}}にちなむ。

エルマン環の[[有理関数]]は標準的な[[アニュラス]]の無理回転と共形共役である。

== 正式な定義 ==
''&fnof;'' が周期 ''p'' のエルマン環 ''U'' を持つとは、ある[[等角写像]]

:<math>\phi:U\rightarrow\{\zeta:0<r<|\zeta|<1\}</math>

および[[無理数]] <math>\theta</math> が存在して、次が成り立つことを言う：

:<math>\phi\circ f^{\circ p}\circ\phi^{-1}(\zeta)=e^{2\pi i\theta}\zeta.</math>

したがってエルマン環上の力学系は単純である。

== 関数 ==
* 多項式はエルマン環を持たない。
* 有理関数はエルマン環を持つ。
* 超越整関数はエルマン環を持たない<ref>Omitted Values and Herman rings by Tarakanta Nayak</ref>。

== 例 ==
エルマン環を持つ有理関数の一例として、次が挙げられる<ref name=dyn/>。

:<math>f(z) = \frac{e^{2 \pi i \tau} z^2(z - 4)}{1 - 4z}</math>

ここで <math>\tau=0.6151732\dots</math> であり、単位円上での ''&fnof;'' の回転数は <math>(\sqrt{5}-1)/2</math> になる。

下に示される図は ''&fnof;'' のジュリア集合である。すなわち、白いアニュラスの中の曲線は ''&fnof;'' の反復に対するいくつかの点の軌道であり、点線の部分が単位円である。

エルマン環とある[[ファトゥ成分の分類|周期放物型ファトゥ成分]]を同時に持つ有理関数の一例を、次の図に挙げる。

[[Image:Herman+Parabolic.png|600px|center|thumb|エルマン環とある周期放物型ファトゥ成分を同時に持つ有理関数 <math>f_{t,a,b}(z)=e^{2\pi it}z^3\,\frac{1-\overline{a}z}{z-a}\,\frac{1-\overline{b}z}{z-b}</math>。ここで <math>t=0.6141866\dots,\,a=1/4,\,b=0.0405353-0.0255082i</math> であり、単位円上での <math>f_{t,a,b}</math> の回転数は <math>(\sqrt{5}-1)/2</math> である。図は回転されている。]]

さらに、周期 2 のエルマン環を持つ有理関数の一例を次に挙げる。

[[Image:Herman period=2.png|600px|center|thumb|
周期 2 のエルマン環を持つ有理関数]]

この有理関数の表現は次のようになる。

:<math> g_{a,b,c}(z) = \frac{z^2(z-a)}{z-b} + c, \, </math>

ただし

: <math>
\begin{align}
a & = 0.17021425+0.12612303i, \\
b & = 0.17115266+0.12592514i, \\
c & = 1.18521775+0.16885254i.
\end{align}
</math>

この例は、周期 2 の[[ジーゲル円板]]を持つ二次多項式

:<math>h(z)=z^2 - 1 - \frac{e^{\sqrt{5}\pi i}}{4} </math>

からの準共形手術によって構成される<ref>{{Cite journal |author=[[宍倉光広|Mitsuhiro Shishikura]] |year=1987 |url=https://doi.org/10.24033/asens.1522 |title=On the quasiconformal surgery of rational functions |journal=Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure |volume=20 |issue=1 |pages=1-29 |doi=10.24033/asens.1522}}</ref>。パラメータ ''a'',&nbsp;''b'',&nbsp;''c'' は試行錯誤によって得られたものである。

現在を

: <math>
\begin{align}
a & = 0.14285933+0.06404502i, \\
b & = 0.14362386+0.06461542i,\text{ and} \\
c & = 0.18242894+0.81957139i,
\end{align}
</math>

とすると、''g''<sub>''a'',''b'',''c''</sub> のエルマン環の一つの周期は &nbsp;3 である。

[[宍倉光広]]はまた別の例を与えている<ref>{{Cite journal |author=宍倉光広 |year=1985 |month=12 |url=https://hdl.handle.net/2433/99208 |title=SURGERY OF COMPLEX ANALYTIC DYNAMICAL SYSTEMS |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所 |volume=574 |pages=166-178 |hdl=2433/99208 |language=en |CRID=1050282677276212736}}</ref>。それもまた周期 2 のエルマン環を持つ有理関数であるが、パラメータは上記のものとは異なる。

したがってより高次の周期のエルマン環を持つ有理関数の式を見つける方法はあるのかと言う、一つの疑問が生じる。

宍倉の結果によると、有理関数 ''&fnof;'' がエルマン環を持つなら、''&fnof;'' の次数は少なくとも &nbsp;3 となる。エルマン環を持つ[[有理型関数]]も存在する。

== 関連項目 ==
* [[複素力学系]]
* [[ファトゥ成分の分類]]
* {{仮リンク|マイケル・エルマン|en|Michael Herman}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* {{Citation | last1=Herman | first1=Michael-Robert | title=Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations | url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1979__49__5_0/ | mr=538680 | year=1979 | journal=[[:en:Publications Mathématiques de l'IHÉS|Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | issn=1618-1913 | issue=49 | pages=5–233}}

{{DEFAULTSORT:えるまんかん}}
[[Category:フラクタル]]
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[[Category:複素力学系]]
[[Category:数学に関する記事]]