エルミート作用素のソースを表示

'''エルミート作用素'''（エルミートさようそ、{{lang-en-short|Hermitian operator, Hermitian}}）とは、複素[[ヒルベルト空間]]上の線形[[作用素 (関数解析学)|作用素]]で、自分自身と形式共役になるようなもののことである。

[[物理学]]の特に[[量子力学]]の文脈では作用素のことを「[[演算子 (物理学)|演算子]]」と呼ぶ。そのため、エルミート作用素は'''エルミート演算子'''と呼ばれる。

エルミート作用素という名称は、[[エルミート行列]]などの研究で知られるフランス人数学者[[シャルル・エルミート]]に因む。

== 定義 ==
[[作用素 (関数解析学)#定義|作用素]]{{math|''h''}}の[[定義域]]を{{math|''D''(''h'')}}と表す。

[[内積|エルミート内積]] {{math|&lang;•, •&rang;}} を備えた複素[[ヒルベルト空間]] {{math|''H''}} 上の[[線型作用素]] {{math|''h''}} が定義域内の任意の  {{math|1=''&xi;'', ''&eta;'' &isin; ''D''(''h'')}} について

<math display="block">\langle h\xi, \eta \rangle = \langle \xi, h\eta \rangle</math>

を満たす場合、作用素 {{math|''h''}} は内積 {{math|&lang;•, •&rang;}} に関する'''エルミート作用素'''と呼ばれる。

無限次元ヒルベルト空間 {{math|''H''}} の[[稠密集合|稠密]]な部分空間 {{math|''D''}} 上で定義された線型作用素 {{math|''h''}} が {{math|1=''&xi;'', ''&eta;'' &isin; ''D''}} について

<math display="block">\langle h \xi, \eta \rangle = \langle \xi, h \eta \rangle</math>

を満たす場合、作用素 {{math|''h''}} は'''対称作用素''' ({{en|symmetric operator}}) と呼ばれる。

更に対称作用素 {{math|''h''}} について、

<math display="block">\{\xi \in H \mid \eta \to \langle \xi, h\eta \rangle \text{ is bounded on } D\} = D</math>

を満たす場合、作用素 {{math|''h''}} は'''自己共役作用素''' ({{en|self-conjugate operator}}) または'''自己随伴作用素''' ({{en|self-adjoint operator}}) と呼ばれる。

上記の作用素を「自己共役（自己随伴）」と呼ぶのは、一般に[[内積空間]]で

<math display="block">\langle \psi^*\xi, \eta \rangle = \langle \xi, \psi\eta \rangle</math>

を満たす線型作用素 {{math|''&psi;''<sup>*</sup>}} を {{math|''&psi;''}} の内積 {{math|&lang;•, •&rang;}} に関する'''共役''' ({{en|conjugate}}) または'''随伴''' ({{en|adjoint}}) と呼ぶことに由来する。
つまり、自分自身が自分の共役であるという意味である。

== 例 ==
[[エルミート行列]]、すなわち行列 ''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>)<sub>''ij''</sub> で、''A''<sup>*</sup> = ''A'' を満たすもの。ただし "*" は[[転置行列|転置]][[複素共役]]をとる[[対合]]であり、<math>A^* = (\bar{a}_{ji})_{ij}</math> は通常のエルミート内積に関する ''A'' の共役作用素である。
*:<math>A\mbox{: Hermitian} \iff 
  a_{ij} = \bar{a}_{ji}\mbox{ for all }i,j.
</math>

実直線 '''R''' 上の ''L''<sup>2</sup> 空間 ''L''<sup>2</sup>('''R''', ''dx'') の稠密な部分空間
: <math> D = \{ f \in L^2(\R, dx) : \frac{df}{dx} \in L^2(\R, dx) \} </math>
上で定義された非有界な作用素
: <math> f \mapsto i \frac{df}{dx} </math>
は自己共役である。

== 性質 ==
{{節スタブ}}
エルミート作用素の[[固有値]]は必ず実数である。また、相異なる固有値に属する[[固有ベクトル]]同士は[[直交]]している。とくに、[[エルミート行列]]は[[ユニタリ行列]]によって実対角行列へと対角化することができる。無限次元ヒルベルト空間上の自己共役作用素で連続スペクトルを持つものの場合には、この固有空間分解はスペクトル測度の概念によって一般化される。

== 物理学的な意味 ==
{{Main|量子力学の数学的定式化|オブザーバブル}}
[[量子力学]]における系の変化は[[演算子 (物理学)|演算子]]で表現され、観測可能な[[物理量]]（オブザーバブル）に関する観測はすべて実数を固有値とするエルミート演算子（厳密にはより強い概念である自己共役作用素）で表現される。物理量の観測値を求めるためにはエルミート演算子に対する[[固有値問題]]を扱うことになる。

== 関連項目 ==
* [[線型代数学]]
* [[関数解析学]]
* [[C*-環]]
* [[フォン・ノイマン環]]

== 参考文献 ==
* {{Cite_book|last=Pedersen|first=Gert K.|title=Analysis Now|year=1989|publisher=Springer|id=ISBN 978-0387967882}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:えるみいとさようそ}}
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[[Category:量子力学]]
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[[Category:数学のエポニム]]