エルミート多様体のソースを表示

{{要改訳}}
数学における '''エルミート多様体'''（{{Lang-en|Hermitian manifold}}）とは[[リーマン多様体]]の複素微分幾何における類似である。より正確には、エルミート多様体とは、各点の正則[[接空間]]に[[エルミート形式|エルミート]][[内積]]を持ち、それらが滑らかに変化する[[複素多様体]]のことを指す。また、エルミート多様体を[[複素多様体|複素構造]]を保つ[[リーマン計量]]を持つ実多様体として定義することもできる。

複素構造は、本質的には可積分条件をもつ[[概複素構造]]であり、この条件は多様体上にユニタリ構造（{{仮リンク|G-構造|label=U(n)-構造|en|G-structure}}(U(n) structure))をもたらす。可積分条件を落とすと、'''概エルミート多様体'''を得る。

任意の概エルミート多様体上に、計量と概複素構造にのみ依存する'''基本2形式'''(fundamental 2-form)と呼ばれる微分形式を定めることができる。基本2形式は常に非退化である。これが閉形式である（すなわち[[シンプレクティック形式]]である）という追加の可積分条件を課すことにより、'''概ケーラー構造'''(almost Kähler structure)を得る。もし概複素構造と基本2形式の両方が可積分であれば、 [[ケーラー多様体|ケーラー構造]]を持つ。
<!--In [[mathematics]], a '''Hermitian manifold''' is the complex analogue of a [[Riemannian manifold]]. Specifically, a Hermitian manifold is a [[complex manifold]] with a smoothly varying [[Hermitian form|Hermitian]] [[inner product]] on each (holomorphic) [[tangent space]]. One can also define a Hermitian manifold as a real manifold with a [[Riemannian metric]] that preserves a [[Complex manifold|complex structure]].

A complex structure is essentially an [[almost complex structure]] with an integrability condition, and this condition yields an unitary structure ([[G-structure|U(n) structure]]) on the manifold. By dropping this condition we get an '''almost Hermitian manifold'''.

On any almost Hermitian manifold we can introduce a '''fundamental 2-form''', or '''cosymplectic structure''', that depends only on the chosen metric and almost complex structure. This form is always non-degenerate, with the suitable integrability condition (of it also being closed and thus a [[symplectic form]]) we get an '''almost Kähler structure'''. If both almost complex structure and fundamental form are integrable, we have a [[Kähler structure]].-->

==形式的定義==

[[滑らかな多様体]](smooth manifold) <math>M</math> 上の[[複素ベクトル束]] <math>E</math> における'''エルミート計量'''(Hermitian metric)とは、各々のファイバー上で滑らかに変化する[[定符号二次形式|正定値]][[エルミート形式]]である。そのような計量は滑らかな切断
:<math>h \in \Gamma(E\otimes\bar E)^*</math>
であって、<math>E_p</math> の任意の元 <math>\zeta,\eta</math> に対し
:<math>h_p(\eta, \bar\zeta) = \overline{h_p(\zeta, \bar\eta)}</math>
であり、<math>E_p</math> の任意の 0 でない元 <math>\zeta</math> に対し
:<math>h_p(\zeta,\bar\zeta) > 0</math>
を満たすような切断として表すことができる。

'''エルミート多様体'''(Hermitian manifold)は、その{{仮リンク|正則接空間|en|holomorphic tangent space}}(holomorphic tangent space)上にエルミート計量を持つ[[複素多様体]]である。同様に、'''概エルミート多様体'''(almost Hermitian manifold)は、その正則接空間上にエルミート計量を持つ[[概複素多様体]]である。

エルミート多様体上では、計量は正則局所座標 <math>(z^\alpha)</math> を用いて
:<math>h = h_{\alpha\bar\beta}\,dz^\alpha\otimes d\bar z^\beta</math>
と表わされる。ここに <math>h_{\alpha\bar\beta}</math> は正定値[[エルミート行列]]の成分である。
<!--==Formal definition==

A '''Hermitian metric''' on a [[complex vector bundle]] ''E'' over a [[smooth manifold]] ''M'' is a smoothly varying [[definite bilinear form|positive-definite]] [[Hermitian form]] on each fiber. Such a metric can be written as a smooth section
:<math>h \in \Gamma(E\otimes\bar E)^*</math>
such that
:<math>h_p(\eta, \bar\zeta) = \overline{h_p(\zeta, \bar\eta)}</math>
for all ζ, η in ''E''<sub>''p''</sub> and
:<math>h_p(\zeta,\bar\zeta) > 0</math>
for all nonzero ζ in ''E''<sub>''p''</sub>.

A '''Hermitian manifold''' is a [[complex manifold]] with a Hermitian metric on its [[holomorphic tangent space]]. Likewise, an '''almost Hermitian manifold''' is an [[almost complex manifold]] with a Hermitian metric on its holomorphic tangent space.

On a Hermitian manifold the metric can be written in local holomorphic coordinates (''z''<sup>α</sup>) as
:<math>h = h_{\alpha\bar\beta}\,dz^\alpha\otimes d\bar z^\beta</math>
where <math>h_{\alpha\bar\beta}</math> are the components of a positive-definite [[Hermitian matrix]].-->

==リーマン計量と随伴形式==

（概）複素多様体 <math>M</math> 上のエルミート計量 <math>h</math> は、基礎多様体上に[[リーマン計量]] <math>g</math> を定義する。計量 <math>g</math> は <math>h</math> の実部
:<math>g = {1\over 2}(h+\bar h)</math>
で定義される。

形式 <math>g</math> は{{仮リンク|複素化された|en|complexified}}(complexified)接バンドル <math>TM^\mathbf{C}</math> 上の対称双線型形式である。<math>g</math> は自身の共役と等しいので、<math>TM</math> 上の実形式の複素化となる。<math>TM</math> 上での <math>g</math> の対称性と正定値性は、対応する <math>h</math> の性質から従う。局所正則座標では、計量 <math>g</math> は
:<math>g = {1\over 2}h_{\alpha\bar\beta}\,(dz^\alpha\otimes d\bar z^\beta + d\bar z^\beta\otimes dz^\alpha)</math>
と表わすことができる。

<math>h</math> には次数 (1,1) の[[複素微分形式]] <math>\omega</math> を付随させることもできる。形式 <math>\omega</math> は <math>h</math> の虚部のマイナス1倍
:<math>\omega = {i\over 2}(h-\bar h)</math>
として定義される。再び、<math>\omega</math> はその共役と等しいので、これは <math>TM</math> 上の実形式の複素化である。形式 <math>\omega</math> は、'''随伴 (1,1)-形式'''(associated (1,1) form)、'''基本形式'''(fundamental form)、あるいは'''エルミート形式'''(Hermitian form)と様々な呼ばれ方をする。局所正則座標では、<math>\omega</math> は
:<math>\omega = {i\over 2}h_{\alpha\bar\beta}\,dz^\alpha\wedge d\bar z^\beta</math>
と表わされる。
<!--==Riemannian metric and associated form==

A Hermitian metric ''h'' on an (almost) complex manifold ''M'' defines a [[Riemannian metric]] ''g'' on the underlying smooth manifold. The metric ''g'' is defined to be the real part of ''h'':
:<math>g = {1\over 2}(h+\bar h).</math>
The form ''g'' is a symmetric bilinear form on ''TM''<sup>'''C'''</sup>, the [[complexified]] tangent bundle. Since ''g'' is equal to its conjugate it is the complexification of a real form on ''TM''. The symmetry and positive-definiteness of ''g'' on ''TM'' follow from the corresponding properties of ''h''. In local holomorphic coordinates the metric ''g'' can be written
:<math>g = {1\over 2}h_{\alpha\bar\beta}\,(dz^\alpha\otimes d\bar z^\beta + d\bar z^\beta\otimes dz^\alpha).</math>

One can also associate to ''h'' a [[complex differential form]] ω of degree (1,1). The form ω is defined as minus the imaginary part of ''h'':
:<math>\omega = {i\over 2}(h-\bar h).</math>
Again since ω is equal to its conjugate it is the complexification of a real form on ''TM''. The form ω is called variously the '''associated (1,1) form''', the '''fundamental form''', or the '''Hermitian form'''. In local holomorphic coordinates ω can be written
:<math>\omega = {i\over 2}h_{\alpha\bar\beta}\,dz^\alpha\wedge d\bar z^\beta.</math>-->

座標表現から明らかなように、3つの形式 <math>h</math>、<math>g</math>、<math>\omega</math> のうち1つが与えられれば、他の2つも一意に定まる。リーマン計量 <math>g</math> と付随する形式 <math>\omega</math> とは[[概複素構造]] <math>J</math> により次のように関係している: すべての複素接ベクトル <math>u</math> と <math>v</math> に対し、
:<math>\begin{align}\omega(u,v) &= g(Ju,v),\\ g(u,v) &= \omega(u,Jv).\end{align}</math>
エルミート計量 <math>h</math> は <math>g</math> と <math>\omega</math> から等式
:<math>h = g - i\omega</math>
によって復元できる。3つの形式 <math>h</math>、<math>g</math>、<math>\omega</math> は[[概複素構造]] <math>J</math> を保つ。すなわち、すべての複素接ベクトル <math>u</math> と <math>v</math> に対し、
:<math>\begin{align}
h(Ju,Jv) &= h(u,v) \\
g(Ju,Jv) &= g(u,v) \\
\omega(Ju,Jv) &= \omega(u,v)\end{align}</math>
である。

従って、（概）複素多様体 <math>M</math> 上のエルミート構造は、
# 上記のエルミート計量 <math>h</math>
# 概複素構造 <math>J</math> を保つリーマン計量 <math>g</math>
# <math>J</math> を保つ[[非退化]] 2-形式 <math>\omega</math> ですべての 0 でない実接ベクトル <math>u</math> に対し <math>\omega(u,Ju) > 0</math> の意味で正定値
のいずれかで特定することができる。

多くの著者が <math>g</math> 自身をエルミート計量と呼んでいることに注意する。
<!--It is clear from the coordinate representations that any one of the three forms ''h'', ''g'', and ω uniquely determine the other two. The Riemannian metric ''g'' and associated (1,1) form ω are related by the [[almost complex structure]] ''J'' as follows
:<math>\begin{align}\omega(u,v) &= g(Ju,v)\\ g(u,v) &= \omega(u,Jv)\end{align}</math>
for all complex tangent vectors ''u'' and ''v''. The Hermitian metric ''h'' can be recovered from ''g'' and ω via the identity
:<math>h = g - i\omega.\,</math>
All three forms ''h'', ''g'', and ω preserve the [[almost complex structure]] ''J''. That is,
:<math>\begin{align}
h(Ju,Jv) &= h(u,v) \\
g(Ju,Jv) &= g(u,v) \\
\omega(Ju,Jv) &= \omega(u,v)\end{align}</math>
for all complex tangent vectors ''u'' and ''v''.

A Hermitian structure on an (almost) complex manifold ''M'' can therefore be specified by either
#a Hermitian metric ''h'' as above,
#a Riemannian metric ''g'' that preserves the almost complex structure ''J'', or
#a [[nondegenerate form|nondegenerate]] 2-form ω which preserves ''J'' and is positive-definite in the sense that ω(''u'', ''Ju'') > 0 for all nonzero real tangent vectors ''u''.

Note that many authors call ''g'' itself the Hermitian metric.-->

==性質==

すべての（概）複素多様体にはエルミート計量が入る。このことはリーマン計量についての同様の命題から直ちに従う。概複素多様体 <math>M</math> 上の任意のリーマン計量 <math>g</math> が与えられると、明らかに概複素構造 <math>J</math> と整合するような新しい計量 <math>g'</math> を、次のように構成することができる:
:<math>g'(u,v) = \frac{1}{2}\left(g(u,v) + g(Ju,Jv)\right).</math>

概複素多様体 <math>M</math> 上のエルミート計量を選ぶことは、<math>M</math> 上の{{仮リンク|G-構造|label=U(n)-構造|en|G-structure}}(U(n)-structure)を選ぶことと同値である。つまり、<math>GL(n,\mathbb{C})</math> から[[ユニタリ群]] <math>U(n)</math> への <math>M</math> の[[主束|枠束]](frame bundle)の[[主束#構造群の縮小|構造群の縮小]](reduction of the structure group)である。概エルミート多様体上の'''ユニタリ枠'''(unitary frame)は、エルミート計量に関して[[正規直交系]]をなす複素線型枠である。M の{{仮リンク|ユニタリ枠束|en|unitary frame bundle}}(unitary frame bundle)は、すべてのユニタリ枠の[[主バンドル|主 U(n)-バンドル]]である。

すべてのエルミート多様体 <math>M</math> は、<math>g</math> により決定される[[体積形式#リーマン多様体の体積形式|リーマン体積形式]]である標準[[体積形式]]を持つ。この形式は、随伴 (1,1)-形式 <math>\omega</math> によって
:<math>\mathrm{vol}_M = \frac{\omega^n}{n!} \in \Omega^{n,n}(M)</math>
として与えられる。ここに <math>\omega^n</math> は <math>\omega</math> と自身との <math>n</math> 重の[[ウェッジ積]]である。従って、体積形式は <math>M</math> 上の実 <math>(n,n)</math>-形式である。局所正則座標では、体積形式は
:<math>\mathrm{vol}_M = \left(\frac{i}{2}\right)^n \det(h_{\alpha\bar\beta})\, dz^1\wedge d\bar z^1\wedge \cdots \wedge dz^n\wedge d\bar z^n</math>
により与えられる。

エルミート計量は、[[正則ベクトルバンドル]]上でも考えることができる。
<!--==Properties==

Every (almost) complex manifold admits a Hermitian metric. This follows directly from the analogous statement for Riemannian metric. Given an arbitrary Riemannian metric ''g'' on an almost complex manifold ''M'' one can construct a new metric ''g''&prime; compatible with the almost complex structure ''J'' in an obvious manner:
:<math>g'(u,v) = {1\over 2}\left(g(u,v) + g(Ju,Jv)\right).</math>

Choosing a Hermitian metric on an almost complex manifold ''M'' is equivalent to a choice of [[G-structure|U(''n'')-structure]] on ''M''; that is, a [[reduction of the structure group]] of the [[frame bundle]] of ''M'' from GL(''n'','''C''') to the [[unitary group]] U(''n''). A '''unitary frame''' on an almost Hermitian manifold is complex linear frame which is [[orthonormal]] with respect to the Hermitian metric. The [[unitary frame bundle]] of ''M'' is the [[principal bundle|principal U(''n'')-bundle]] of all unitary frames.

Every almost Hermitian manifold ''M'' has a canonical [[volume form]] which is just the [[Riemannian volume form]] determined by ''g''. This form is given in terms of the associated (1,1)-form ω by
:<math>\mathrm{vol}_M = \frac{\omega^n}{n!} \in \Omega^{n,n}(M)</math>
where ω<sup>''n''</sup> is the [[wedge product]] of ω with itself ''n'' times. The volume form is therefore a real (''n'',''n'')-form on ''M''. In local holomorphic coordinates the volume form is given by
:<math>\mathrm{vol}_M = \left(\frac{i}{2}\right)^n \det(h_{\alpha\bar\beta})\, dz^1\wedge d\bar z^1\wedge \cdots \wedge dz^n\wedge d\bar z^n.</math>

One can also consider a hermitian metric on a [[holomorphic vector bundle]].-->

==ケーラー多様体==

エルミート多様体の最も重要なクラスは、[[ケーラー多様体]]である。ケーラー多様体は、エルミート形式 <math>\omega</math> が[[ポアンカレの補題|閉形式]]
:<math>d\omega = 0</math>
となるエルミート多様体である。この場合、形式 <math>\omega</math> を'''ケーラー形式'''と呼ぶ。ケーラー形式は[[シンプレクティック形式]]なので、ケーラー多様体は自然に[[シンプレクティック多様体]]となる。

随伴する (1,1)-形式が閉である概エルミート多様体は、自然に'''概ケーラー多様体'''と呼ぶ。任意のシンプレクティック多様体には、概ケーラー多様体をなすような整合的な概複素構造が入る。
<!--==Kähler manifolds==

The most important class of Hermitian manifolds are [[Kähler manifold]]s. These are Hermitian manifolds for which the Hermitian form ω is [[closed differential form|closed]]:
:<math>d\omega = 0\,.</math>
In this case the form ω is called a '''Kähler form'''. A Kähler form is a [[symplectic form]], and so Kähler manifolds are naturally [[symplectic manifold]]s.

An almost Hermitian manifold whose associated (1,1)-form is closed is naturally called an '''almost Kähler manifold'''. Any symplectic manifold admits a compatible almost complex structure making it into an almost Kähler manifold.-->

===可積分性===
ケーラー多様体は[[可積分条件]]を満たす概エルミート多様体である。この条件はいくつかの同値な方法で述べることができる。

<math>(M,g,\omega,J)</math> を実 <math>2n</math> 次元の概エルミート多様体とし、<math>\nabla</math> を <math>g</math> の[[レヴィ・チヴィタ接続]]とすると、以下は <math>M</math> がケーラーとなる同値な条件である。
* <math>\omega</math> が閉で、<math>J</math> が可積分である
* <math>\nabla J=0</math>
* <math>\nabla\omega=0</math>
* <math>\nabla</math> の{{仮リンク|ホロノミー群|en|holonomy group}}(holonomy group)が <math>J</math> に関する[[ユニタリ群]] <math>U(n)</math> に含まれる

これらの条件の同値性は、ユニタリ群の「[[:en:Unitary group#2-out-of-3 property|3 から 2]](2 out of 3)<!--日本語版には対応する記述がないので、英語版へ直接リンク-->」の性質に対応する。

特に、<math>M</math> がエルミート多様体であれば、条件 <math>d\omega=0</math> が一見、非常に強く見える条件 <math>\nabla\omega=\nabla J=0</math> と同値である。ケーラー多様体の理論の豊かさは、これらの性質によるところもある。
<!--===Integrability===
A Kähler manifold is an almost Hermitian manifold satisfying an [[integrability condition]]. This can be stated in several equivalent ways.

Let (''M'', ''g'', ω, ''J'') be an almost Hermitian manifold of real dimension 2''n'' and let ∇ be the [[Levi-Civita connection]] of ''g''. The following are equivalent conditions for ''M'' to be Kähler:
* ω is closed and ''J'' is integrable
* ∇''J'' = 0,
* ∇ω = 0,
* the [[holonomy group]] of ∇ is contained in the [[unitary group]] U(''n'') associated to ''J''.
The equivalence of these conditions corresponds to the "[[Unitary group#2-out-of-3 property|2 out of 3]]" property of the [[unitary group]].

In particular, if ''M'' is a Hermitian manifold, the condition dω = 0 is equivalent to the apparently much stronger conditions ∇ω = ∇''J'' = 0. The richness of Kähler theory is due in part to these properties.-->

==参考文献==

*{{cite book | first = Phillip | last = Griffiths |author2=Joseph Harris | title = Principles of Algebraic Geometry | series = Wiley Classics Library | publisher = Wiley-Interscience | location = New York | year = 1994 | origyear = 1978 | isbn = 0-471-05059-8}}
*{{cite book | first = Shoshichi | last = Kobayashi |author2=Katsumi Nomizu | title = [[Foundations of Differential Geometry]], Vol. 2 | series = Wiley Classics Library | publisher = [[Wiley Interscience]] | location = New York | year = 1996 | origyear = 1963 | isbn = 0-471-15732-5}}
*{{cite book | first = Kunihiko | last = Kodaira | title = Complex Manifolds and Deformation of Complex Structures | series = Classics in Mathematics | publisher = Springer | location = New York | year = 1986| isbn = 3-540-22614-1}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:えるみいとたようたい}}
[[Category:複素多様体]]
[[Category:多様体の構造]]
[[Category:リーマン幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]