エルミート標準形のソースを表示

[[数学]]の[[線型代数学]]における'''エルミート標準形'''（エルミートひょうじゅんけい、{{Lang-en-short|Hermite normal form}}）とは、[[整数|整数全体]] '''Z''' についての[[行列]]の[[行階段形]]と同様の概念である。

== 非特異正方行列 ==
成分が整数であるような[[正則行列|非特異]][[正方行列]] ''M''&nbsp;=&nbsp;(''m''<sub>ij</sub>) がエルミート標準形（Hermite normal form, HNF）であるとは、次を満たすときを言う：

* ''M'' は[[上三角行列]]である<ref>何人かの研究者は[[下三角行列]]を用いることを好む。すなわち、定義の残りにおいて適切な調整がなされる必要があるのである。</ref>。
* 対角成分 ''m''<sub>ii</sub> が正である。
* i &gt; j に対し、''m''<sub>ii</sub> &gt; ''m''<sub>ji</sub> ≥ 0 が成立する。すなわち、ある列において、その対角成分よりも上に位置する成分は非負であり、その対角成分よりも小さい。

== 一般的な行列 ==
より一般的に、成分が整数であるような ''m''&times;''n'' 行列がエルミート標準形（HNF）であるとは、
* 0 ≤ ''r'' ≤ ''n'' を満たすような ''r''、および
* [[単調増加|単調増加関数]] f: [''r'' + 1, ''n''] → [1, ''m'']
が存在し、''M'' のはじめの ''r'' 列がゼロで、''r'' + 1 ≤ ''j'' ≤ ''n'' に対し
* ''m''<sub>f(j)j</sub> &gt; 0。
* ''i'' &gt; f(''j'') のときは、''m''<sub>ij</sub> = 0。
* ''k'' &lt; ''f(j)'' のときは、''m''<sub>f(j)j</sub> &gt; ''m''<sub>kj</sub> ≥ 0。
が成立することを言う。

== エルミート標準形の一意性 ==
成分が整数であるような ''m''&times;''n'' 行列 ''A'' が任意に与えられたとき、
:<math>H=UA</math> ただし ''U'' ∈ GL<sub>''n''</sub>('''Z''')（すなわち、''U'' は[[ユニモジュラ行列]]である）
を満たすような、整数成分のエルミート標準形の ''m''&times;''n'' 行列 ''H'' が一意に存在する。''H'' の非ゼロの列により構成される行列のことを、'''''A'' のエルミート標準形'''と呼ぶ。

=== 例 ===
以下の行列 A のエルミート標準形が、H である。
:<math>
A=\begin{pmatrix}
5 & 3 & 1 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 19 & 16 \\
0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\qquad
H=\begin{pmatrix}
5 & 0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 &19 & 1\\
0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
</math>

=== 例 ===
行列 A のエルミート標準形が、行列 H である。

<math>
A=
\begin{pmatrix}
0&0&5 & 0 & 1 & 4 \\
0&0&0 & -1 & -4 & 99 \\
0&0&0 & 20 & 19 & 16 \\
0&0&0 & 0 & 2 & 1\\
0&0&0 & 0 & 0 & 3\\
0&0&0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\qquad H=
\begin{pmatrix}
0& 0& 5& 0& 0& 2\\
0& 0& 0& 1& 0& 1\\
0& 0& 0& 0& 1& 2\\
0& 0& 0& 0& 0& 3\\
0& 0& 0& 0& 0& 0\\
0& 0& 0& 0& 0& 0\\
\end{pmatrix}
</math>

ここで r=2; f(3)=1,  f(4)=2, f(5)=3, f(6)=4 が得られる（f(j) は、列 j に含まれる最小の非ゼロ成分の行を与える）

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|エルミート環|en|Hermite ring}}

== 注釈 ==
<references/>

== 参考文献 ==
*Section 2.4.2 of {{Citation
| last=Cohen
| first=Henri
| author-link=:en:Henri Cohen (number theorist)
| title=A Course in Computational Algebraic Number Theory
| publisher=[[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer-Verlag]]
| location=Berlin, New York
| series=Graduate Texts in Mathematics
| isbn=978-3-540-55640-4
| mr=1228206
| year=1993
| volume=138
}}

{{Linear-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:えるみいとひゆしゆんけい}}
[[Category:線型代数学]]
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