エルミート行列のソースを表示

[[線型代数学]]における'''エルミート行列'''（エルミートぎょうれつ、{{lang-en-short|''Hermitian matrix''}}）または'''自己随伴行列'''（じこずいはんぎょうれつ、{{lang-en-short|''self-adjoint matrix''}}）とは、[[複素数]]を成分とする[[正方行列]]で自身の[[随伴行列]]（共軛転置）と一致するものを言う。エルミート行列は、実[[対称行列]]の複素数に対する拡張版の概念として理解することができる。

正方行列 {{mvar|A}} の随伴を {{math|''A''{{sup|&dagger;}}}} と書くとき、複素正方行列がエルミートであるということは、
:<math>A = A^\dagger</math>
が成り立つということであり、これはまた
:<math>A^{\top} = [a_{j,i}] = [\bar{a}_{i,j}] =\bar{A}</math>
が成り立つことと同値ゆえ、その成分は任意の添字 {{math2|''i'', ''j''}} について {{math2|(''i'', ''j'')}}成分は {{math2|(''j'', ''i'')}}成分の[[複素共役]]と等しい。

随伴行列 {{math|''A''{{sup|&dagger;}}}} は {{math|''A''{{sup|&lowast;}}}} と書かれるほうが普通だが、{{math|''A''{{sup|&lowast;}}}} を複素共軛（本項では {{math|{{overline|''A''}}}} と書いた）の意味で使う文献も多く紛らわしい。

エルミート行列の名は[[シャルル・エルミート]]に因む。エルミートは[[1855年]]、この種の行列の[[固有値]]が常に実数となるという実対称行列と同じ性質を持つことを示した。

よく知られた[[パウリ行列]]、[[ゲルマン行列]]および一般化されたそれらはエルミートである。[[理論物理学]]においてそれらのエルミート行列には、しばしば虚数の係数が掛かって<ref>{{Cite book |title=The geometry of physics: an introduction |last=Frankel |first=Theodore |authorlink=Theodore Frankel |year=2004 |publisher=[[ケンブリッジ大学出版局|Cambridge University Press]] |isbn=0-521-53927-7 |page=652 |url=https://books.google.ru/books?id=DUnjs6nEn8wC&lpg=PA652&dq=%22Lie%20algebra%22%20physics%20%22skew-Hermitian%22&pg=PA652#v=onepage&q&f=false}}</ref>[[歪エルミート行列]]となる。

== 性質 ==
* 任意のエルミート行列の[[主対角線|主対角]]成分は、それが自身の複素共軛と一致することから、実数でなければならない。全ての成分が実数であるような行列がエルミートであるのは、それが[[対称行列]]（主対角線に関して全ての成分が対称）となるときであり、かつそのときに限る。実対称行列はエルミート行列の特別の場合である。
* 任意のエルミート行列は[[正規行列]]である。従って対角化可能。
* 有限次元の[[スペクトル定理]]によれば、任意のエルミート行列は[[ユニタリ行列]]で[[対角化]]して、得られた対角行列の成分がすべて実数となるようにすることができる。これにより、エルミート行列 {{mvar|A}} の全ての[[固有値]]が実数であり、{{mvar|A}} が {{mvar|n}} 個の線型独立な[[固有ベクトル]]を持つことがわかる。さらには {{mvar|A}} の {{mvar|n}}個の固有ベクトルからなる {{math|'''C'''{{sup|''n''}}}} の[[正規直交基底]]をとることができる。
* 二つのエルミート行列の和は再びエルミートであり、エルミート行列の[[逆行列]]も存在すれば同様にエルミートになる。しかし、二つのエルミート行列 {{math2|''A'', ''B''}} に対してそれらの[[行列の積|積]] {{mvar|AB}} がエルミートとなるための必要十分条件は {{math2|1=''AB'' = ''BA''}} となることである。従って、任意の整数 {{mvar|n}} に対して冪 {{mvar|A{{sup|n}}}} は {{mvar|A}} がエルミートならばエルミートである。
* {{mvar|n}}次複素エルミート行列の全体は、[[複素数]]体 {{mathbf|C}} 上の[[ベクトル空間]]を成さない（例えば単位行列 {{mvar|I{{sub|n}}}} はエルミートだがそのスカラー {{mvar|i}}倍である {{math|''i'' ''I{{sub|n}}''}} はエルミートでない）。しかし複素エルミート行列の全体は[[実数]]体 {{mathbf|R}} 上のベクトル空間には'''なる'''。{{mvar|n}}次複素行列の全体は {{mathbf|R}} 上で {{math|2''n''{{sup|2}}}}[[次元 (線型代数学)|次元]]のベクトル空間であり、その中で複素エルミート行列の全体は {{math|''n''{{sup|2}}}}次元の部分空間を成す。その基底は、[[行列単位]] {{math|''E''{{sub|''j'',''k''}}}}（{{math2|(''j'',''k'')}}成分が {{math|1}} でそれ以外の成分は全て {{math|0}} である {{mvar|n}}次正方行列）を用いれば、<div style="margin:1ex 2em"><math>\begin{cases}
E_{j,j} &(1\le j\le n) \\
E_{j,k} + E_{k,j},\,i(E_{j,k}-E_{k,j}) &(1\le j < k \le n)
\end{cases}</math></div> で与えられ、これらの形の基底ベクトルはそれぞれ {{math2|''n'', {{sfrac|''n''{{sup|2}} &minus; ''n''|2}}, {{sfrac|''n''{{sup|2}} &minus; ''n''|2}}}} 個ずつ存在するから、次元は {{math2|''n'' + {{sfrac|''n''{{sup|2}} &minus; ''n''|2}} + {{sfrac|''n''{{sup|2}} &minus; ''n''|2}} {{=}} ''n''{{sup|2}}}} であることが分かる。ただし、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]である。
* エルミート行列 {{Mvar|A}} の {{Mvar|n}} 個の正規直交固有ベクトル <math>u_1,\ldots,u_n</math> を選び、それを列ベクトルとする行列を {{Mvar|U}} と書けば、{{mvar|A}} の{{仮リンク|行列の固有分解|en|Eigendecomposition of a matrix|label=固有分解}} <div style="margin: 1ex 2em"><math>
  A = U \Lambda U^\dagger\qquad (UU^\dagger = I = U^\dagger U)
</math></div> が成り立って、対角行列 {{math|Λ}} の主対角線上に並ぶ固有値を {{Math|''&lambda;''<sub>''j''</sub>}} として<div style="margin: 1ex 2em"><math>
  A = \textstyle\sum\limits_j \lambda_j u_j u_j^{\dagger}
</math></div>と書くことができる。
* 任意の正方行列とその共軛転置との和 <math>(C + C^{\dagger})</math> はエルミートである。
* 任意の正方行列とその共軛転置との差 <math>(C - C^{\dagger})</math> は[[歪エルミート行列|歪エルミート]]である。したがってまた、二つのエルミート共軛の[[交換子|交換子積]]は歪エルミートになる。
* 任意の正方行列 {{Mvar|C}} はエルミート行列 {{Mvar|A}} と歪エルミート行列 {{Mvar|B}} との和<div style="margin: 1ex 2em;"><math>C = A+B \quad\mbox{with}\quad A = \frac{1}{2}(C + C^{\dagger}) \quad\mbox{and}\quad B = \frac{1}{2}(C - C^{\dagger})</math></div> に一意的に分解される。
* エルミート行列の行列式は実数である。これは行列式は固有値の積であり、エルミート行列の固有値が実数であることから従う。あるいは直接計算で確かめるならば、転置行列の行列式がもとの行列のそれと等しいこと、および複素共軛行列の行列式がもとの行列の行列式の複素共軛であること<div style="margin:1ex 2em"><math>
 \det(A) = \det(A^{\top}),\quad \det(\bar{A}) = \overline{\det(A)}
</math></div>から<div style="margin: 1ex 2em"><math>
  A=A^\dagger \implies \det(A) = \overline{\det(A)}
</math></div>を得る。

== 関連項目 ==
* [[歪エルミート行列]]
* {{仮リンク|ヘインズワースの慣性加法公式|en|Haynsworth inertia additivity formula}}
* [[エルミート形式]]
* [[自己随伴作用素]]
* [[ユニタリ行列]]

== 参照 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|2616|エルミート行列とその性質，ユニタリ対角化の証明}}
* {{MathWorld|urlname=HermitianMatrix|title=Hermitian Matrix}}
* {{PlanetMath|urlname=HermitianMatrix|title=Hermitian matrix}}
* {{SpringerEOM|title=Hermitian matrix|urlname=Hermitian_matrix}}
* [http://people.ofset.org/~ckhung/b/la/hermitian.en.php Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo], by Chao-Kuei Hung from Shu-Te University, gives a more geometric explanation.
* {{MathPages|id=home/kmath306/kmath306|title=Hermitian Matrices}}

{{線形代数}}

{{DEFAULTSORT:えるみいときようれつ}}
[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]