エルンスト方程式のソースを表示

'''エルンスト方程式'''（エルンストほうていしき, Ernst equation）は[[一般相対性理論]]において定常軸対称時空における[[重力場]]を定める方程式である<ref>{{Cite book |和書 |author=前田恵一 |year=2008 |title=重力理論講義 : 相対性理論と時空物理学の進展 |publisher=サイエンス社 |pages=82-83}}</ref>。1968年に[[:sl:Frederick Joseph Ernst|Frederick Joseph Ernst]]によって導かれた<ref name="Ernst1968a">{{cite journal|last1=Ernst|first1=Frederick J.|title=New Formulation of the Axially Symmetric Gravitational Field Problem|journal=Physical Review|volume=167|issue=5|year=1968|pages=1175–1178|issn=0031-899X|doi=10.1103/PhysRev.167.1175}}</ref><ref name="Ernst1968b">{{cite journal|last1=Ernst|first1=Frederick J.|title=New Formulation of the Axially Symmetric Gravitational Field Problem. II|journal=Physical Review|volume=168|issue=5|year=1968|pages=1415–1417|issn=0031-899X|doi=10.1103/PhysRev.168.1415}}</ref>。

== 概要 ==
真空の軸対称定常時空の[[計量テンソル|計量]]は、円柱座標 <math>( t, \rho, \phi, z )</math> を用いるとき、一般に関数 <math>f ( \rho, z )</math>, <math>\omega ( \rho, z )</math>, <math>\gamma ( \rho, z )</math> を用いて
:<math>ds^2 = f^{-1} \left[ e^{2 \gamma} ( dz^2 + d\rho^2 ) + \rho^2 d\phi^2 \right] - f ( dt - \omega \, d\phi )^2</math>
という形（[[ワイル計量|ワイル座標]]<ref name="LenellsPei2019">{{cite journal|last1=Lenells|first1=Jonatan|last2=Pei|first2=Long|title=Exact Solution of a Neumann Boundary Value Problem for the Stationary Axisymmetric Einstein Equations|journal=Journal of Nonlinear Science|volume=29|issue=4|year=2019|pages=1621–1657|issn=0938-8974|doi=10.1007/s00332-018-9527-1}}</ref>）に表示できる<ref name="Ernst1968a"/>。このとき真空中の[[アインシュタイン方程式]]から <math>f</math> および <math>\omega</math> が方程式
:<math>f \nabla^2 f = \mathbf{\nabla} f \cdot \mathbf{\nabla} f - \rho^{-2} f^4 \mathbf{\nabla} \omega \cdot \mathbf{\nabla} \omega</math>
:<math>\mathbf{\nabla} \cdot ( \rho^{-2} f^2 \mathbf{\nabla} \omega ) = 0</math>
を満たすことが導かれる<ref name="Ernst1968a"/>。<math>\gamma</math> は他の関数が定まればアインシュタイン方程式の残りの成分から容易に特定できる<ref>{{cite book |last1=Stephani |first1=Hans |last2=Kramer |first2=Dietrich |last3=MacCallum |first3=Malcolm |last4=Hoenselaers |first4=Cornelius |last5=Herlt |first5=Eduard |date=2009 |title=Exact solutions of Einstein's field equations |publisher=Cambridge University Press |doi=10.1017/CBO9780511535185 |page=305}}</ref><ref name="Kramer1987">{{cite journal|last1=Kramer|first1=D.|title=The Ernst equation in general relativity|journal=Czechoslovak Journal of Physics|volume=37|issue=3|year=1987|pages=350–358|issn=0011-4626|doi=10.1007/BF01597261}}</ref>。<math>\omega</math> の代わりとなるポテンシャル <math>b</math> を、<math>\mathbf{n}</math> を方位角方向の単位ベクトルとして
:<math>f^{-2} \mathbf{\nabla} b = - \rho^{-1} \mathbf{n} \times \mathbf{\nabla} \omega</math>
によって導入することができる<ref name="Ernst1968a"/>。<math>f</math> および <math>b</math> からエルンストポテンシャル
:<math>\mathcal{E} = f + i b</math>
を定義するとき、上の方程式系はエルンスト方程式
:<math>( \mathsf{Re} \, \mathcal{E} ) \nabla^2 \mathcal{E} = \mathbf{\nabla} \mathcal{E} \cdot \mathbf{\nabla} \mathcal{E}</math>
に帰着される<ref name="Ernst1968a"/>。あるいは、エルンストポテンシャルとして <math>\mathcal{E}</math> の代わりに
:<math>\xi = \frac{ 1 - \mathcal{E} }{ 1 + \mathcal{E} }</math>
を用いることもあり、この場合、Ernst 方程式は
:<math>(\xi \xi^* - 1) \nabla^2 \xi = 2 \xi^* \mathbf{\nabla} \xi \cdot \mathbf{\nabla} \xi= 0</math>
となる<ref name="Ernst1968a"/>。

== 性質 ==
=== 可積分性 ===
エルンスト方程式は[[可積分系|完全可積分]]であり、[[ラックス・ペア|ラックス表現]]を持つことや[[パンルヴェ方程式|パンルヴェ性]]が示されている<ref>Klein, p. 5.</ref>。特に、エルンストポテンシャル <math>\mathcal{E} = f + i b</math> から
:<math>J = \frac{ 1 }{ f } \begin{pmatrix}
  1 & -b \\
  -b & f^2 + b^2
\end{pmatrix}</math>
という行列を導入するとき、エルンスト方程式はヤン方程式
:<math>\partial_\rho ( \rho ( \partial_\rho ) J^{-1} ) + \partial_z ( \rho ( \partial_z J ) J^{-1} ) = 0</math>
に書き換えられることから、エルンスト方程式は <math>SL ( 2, \mathbb{R} )</math>-[[シグマモデル|シグマ模型]]と等価である<ref name="#1">Klein, p. 9.</ref>。

=== エルンストポテンシャルによる厳密解の表現 ===
[[カー解]]は定常軸対称ブラックホール時空を表すアインシュタイン方程式の厳密解であり、質量 <math>m</math> および角運動量 <math>J</math> というふたつのパラメータによって特徴づけられる。<math>J = m^2 \sin \varphi</math> によりパラメータ <math>\varphi</math> を導入するとき、カー解に対応するエルンストポテンシャルは
:<math>\mathcal{E} = \frac{ e^{- i \varphi } r_+ + e^{i \varphi} r_- - 2 m \cos \varphi }{ e^{- i \varphi } r_+ + e^{i \varphi} r_- + 2 m \cos \varphi } , \ \ r_\pm = \sqrt{ ( z \pm m \cos \varphi )^2 + \rho^2 }</math>
と表現される<ref>Klein, p. 8.</ref>。<math>\varphi = 0</math> のときこれは[[シュワルツシルト解]]に帰着する<ref name="#1"/>。エルンストは逆にエルンスト方程式を用いることでシュワルツシルト解からカー解を容易に構成できることを示した<ref name="Ernst1968a"/>。

== 歴史 ==
1963年の Roy Kerr による[[カー解|軸対称定常ブラックホール解]]の導出<ref name="Kerr1963">{{cite journal|last1=Kerr|first1=Roy P.|title=Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics|journal=Physical Review Letters|volume=11|issue=5|year=1963|pages=237–238|issn=0031-9007|doi=10.1103/PhysRevLett.11.237}}</ref>は代数的な計算によるものであり、Frederick Joseph Ernst は Kerr 解を一般化する研究の中で現在 Ernst ポテンシャルとして知られる複素ポテンシャルを導入することで定常軸対称時空に関する Einstein 方程式を極めて単純な形に書き直すことができることに気づいた<ref name="Ernst1968a"/>。

1972年にはエルンスト方程式に基づいて[[富松・佐藤解]]という新しいアインシュタイン方程式の解が発見された<ref name="TomimatsuSato1972">{{cite journal|last1=Tomimatsu|first1=Akira|last2=Sato|first2=Humitaka|title=New Exact Solution for the Gravitational Field of a Spinning Mass|journal=Physical Review Letters|volume=29|issue=19|year=1972|pages=1344–1345|issn=0031-9007|doi=10.1103/PhysRevLett.29.1344}}</ref>
。この解が動機となり、系統的な厳密解の構成や[[ソリトン]]理論のエルンスト方程式への応用といった研究が活発になされた<ref>{{Cite web|和書|author=増田哲 |date=2006 |url=https://www.riam.kyushu-u.ac.jp/fluid/meeting/17ME-S2/papers/Article_No_08.pdf |title=Ernst 方程式再訪 |accessdate=2020-12-02}}</ref>。

== 脚注 ==
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book |last=Klein |first=Christian |year=2005 |title=Ernst Equation and Riemann Surfaces |publisher=Springer |doi=10.1007/11540953 |isbn=978-3-540-31513-1}}

== 関連項目 ==
* [[アインシュタイン方程式]]
* [[ソリトン]]

{{DEFAULTSORT:えるんすとほうていしき}}
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