エンゲルの定理のソースを表示

数学の分野である[[表現論]]において、'''エンゲルの定理''' (Engel's theorem) は[[リー代数|リー環論]]の基本的な定理の1つであり、リー環に対して[[冪零]]性の2つの概念が同一であることを主張する。定義の有用な形は、行列からなるリー環 '''L''' が冪零行列からなればすべて同時に[[狭義上三角行列]]に相似変換できるというものである。定理は数学者{{仮リンク|フリードリヒ・エンゲル (数学者)|en|Friedrich Engel (mathematician)|label=フリードリヒ・エンゲル}} (Friedrich Engel) にちなんで名づけられている。彼はその証明の概略を{{仮リンク|ヴィルヘルム・キリング|en|Wilhelm Killing}} (Wilhelm Killing) に宛てた1890年7月20日の手紙の中で書いた {{harv|Hawkins|2000|loc=p. 176}}。エンゲルの生徒 K.A. Umlauf は1891年の学位論文において完全な証明を与え、{{harv|Umlauf|2010}} として再版されている。

ベクトル空間 ''V'' 上の線型写像 ''T'' が'''冪零''' (nilpotent) であるとは、ある正の整数 ''k'' が存在して ''T''<sup>''k''</sup> = 0 となることをいう。例えば、対角線上及びそれより下で成分がすべて 0 であるような行列

:<math>  
\begin{bmatrix}
0      & a_{1 2}& a_{1 3} & \cdots & a_{1 n}  \\
0      & 0      & a_{2 3} & \cdots & a_{2 n}  \\
\vdots & \vdots & \ddots  & \ddots & \vdots   \\
0      &   0    &         & \ddots & a_{n-1 n}\\
0      &   0    & \cdots  & \cdots &   0     
\end{bmatrix}
</math>

によって与えられる任意の写像は冪零である。リー環 '''L''' の元 ''x'' が '''ad-nilpotent''' とは、
:<math> \operatorname{ad}_x (y) = [x,y]\ </math>
によって定義される '''L''' 上の線型写像が冪零であることをいう。''V'' 上の線型変換全体からなるリー環 ''L''(''V'') において、恒等写像 I<sub>''V''</sub> は ad-nilpotent である（<math> \operatorname{ad}_{I_{V}} = 0 \colon L(V) \rightarrow L(V) </math> だから）が、写像そのものは冪零ではないことに注意しよう。

リー環 '''L''' が冪零であるとは、
:<math> \mathbf{L}^0 =  \mathbf{L}, \quad \mathbf{L}^{i+1} = [\mathbf{L}, \mathbf{L}^i]\ </math>
によって[[再帰的]]に定義される[[降中心列]]が最終的に 0 に達することをいう。

'''定理''' (Engel)。有限次元リー環 '''L''' が冪零であることと、'''L''' のすべての元が ad-nilpotent であることは同値である。

基礎体についての仮定は全く必要ないことに注意しよう。

エンゲルの定理の証明における重要な補題は、次に述べる、それ自身有用な、有限次元ベクトル空間上の線型写像のリー環についての事実である。

'''L''' を ''L''(''V'') の部分Lie環とする。すると '''L''' が冪零写像からなることと、''V'' の部分ベクトル空間の列

:<math> V_0 \subsetneq V_1 \subsetneq \cdots \subsetneq V_n\ </math>

であって <math>V_0 = 0</math>, <math>V_n = V</math> および

: <math> \mathbf{L} \, V_{i+1} \subseteq V_i, \quad \forall i \leq n-1\ </math>

なるものが存在することは同値である。したがって冪零写像からなるリー環は同時狭義上三角化可能である。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|リーの定理 (リー環論)|en|Lie's theorem}}

==参考文献==
* [[Karin Erdmann|Erdmann, Karin]] & Wildon, Mark. ''Introduction to Lie Algebras'', 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
*{{Citation | last1=Hawkins | first1=Thomas | title=Emergence of the theory of Lie groups | url=https://books.google.com/books?isbn=978-0-387-98963-1 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences | isbn=978-0-387-98963-1 | mr=1771134 | year=2000}}
* G. Hochschild, ''The Structure of Lie Groups'', Holden Day, 1965.
* J. Humphreys, ''Introduction to Lie Algebras and Representation Theory'', Springer, 1972.
*{{Citation | last1=Umlauf | first1=Karl Arthur | title=Über Die Zusammensetzung Der Endlichen Continuierlichen Transformationsgruppen, Insbesondre Der Gruppen Vom Range Null | origyear=1891 | url=https://books.google.com/books?isbn=978-1141588893 | publisher=Nabu Press | language=German | series=Inaugural-Dissertation, Leipzig | isbn=978-1-141-58889-3 | year=2010}}

{{DEFAULTSORT:えんけるのていり}}
[[Category:表現論の定理]]
[[Category:リー環の表現論]]
[[Category:数学に関する記事]]