エンネパー曲面のソースを表示

[[File:EnneperSurfaceAnimated.gif|frame|エンネパー曲面の一部]]

[[数学]]の分科、[[微分幾何学]]と[[代数幾何学]]における'''エンネパー曲面'''（エンネパーきょくめん、{{Lang-en-short|Enneper surface}}）とは、次の[[媒介変数|媒介変数表示]]で書ける、自己交差性を持つ[[曲面]]である。
: <math> x = u(1 - u^2/3 + v^2)/3,\ </math> 
: <math> y = -v(1 - v^2/3 + u^2)/3,\ </math> 
: <math> z = (u^2 - v^2)/3 </math> 
この曲面は1864年、{{仮リンク|アルフレッド・エンネパー|en|Alfred Enneper|de|Alfred Enneper}}によって[[極小曲面]]理論との関わりから導入された<ref>J.C.C. Nitsche, "Vorlesungen über Minimalflächen" , Springer (1975)</ref><ref>[http://www.ugr.es/~fmartin/dvi/survey.pdf Francisco J. López, Francisco Martín, Complete minimal surfaces in R3]</ref><ref name="dierkes">Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny (2010). Minimal Surfaces. Berlin Heidelberg: Springer. {{ISBN2|978-3-642-11697-1}}.</ref><ref>{{MathWorld|title=Enneper's Minimal Surface|urlname=EnnepersMinimalSurface}}</ref>。

{{仮リンク|ワイエルシュトラス–エンネパーの媒介変数表示|en|Weierstrass–Enneper parameterization}}は非常に簡単で、<math>f(z)=1, g(z)=z</math> となる。実変数での媒介変数表示はこの式から容易に計算できる。この曲面は共役極小曲面（conjugate minimal surface）が自分自身と一致する（{{仮リンク|随伴極小曲面|en|Associate family}}を参照）。

代数幾何の[[陰関数]]表示では、上式で与えたエンネパー曲面の各点は次の9次[[多項式]]を満たす。
: <math>64 z^9 - 128 z^7 + 64 z^5 - 702 x^2 y^2 z^3 - 18 x^2 y^2 z + 144 (y^2 z^6 - x^2 z^6)\ </math> 
: <math>{} + 162 (y^4 z^2 - x^4 z^2) + 27 (y^6 - x^6) + 9 (x^4 z + y^4 z) + 48 (x^2 z^3 + y^2 z^3)\ </math> 
: <math>{} - 432 (x^2 z^5 + y^2 z^5) + 81 (x^4 y^2 - x^2 y^4) + 240 (y^2 z^4 - x^2 z^4) - 135 (x^4 z^3 + y^4 z^3) = 0 </math>

双対的に、媒介変数で与えられたある点での[[接ベクトル空間]]は <math>a + b x + c y + d z = 0\ </math>、ここで
: <math>a = -(u^2 - v^2) (1 + u^2/3 + v^2/3),\ </math>
: <math>b = 6 u,\ </math> 
: <math>c = 6 v,\ </math> 
: <math>d = -3(1 - u^2 - v^2) </math> 
と書ける。この係数は次の6次多項式を満たす。
: <math>162 a^2 b^2 c^2 + 6 b^2 c^2 d^2 - 4 (b^6 + c^6) + 54 (a b^4 d - a c^4 d) + 81 (a^2 b^4 + a^2 c^4)\ </math> 
: <math>{} + 4 (b^4 c^2 + b^2 c^4) - 3 (b^4 d^2 + c^4 d^2) + 36 (a b^2 d^3 - a c^2 d^3) = 0 </math>

[[ヤコビ行列式]]、[[ガウス曲率]]、{{仮リンク|平均曲率|en|mean curvature}}はそれぞれ
: <math> J = (1 + u^2 + v^2)^4/81,\ </math> 
: <math> K = -(4/9)/J,\ </math> 
: <math> H = 0 </math>
となる。{{仮リンク|全曲率|en|total curvature}}は <math>-4\pi</math> である。{{仮リンク|ロバート・オッサーマン|en|Robert Osserman}}は、全曲率が <math>-4\pi</math> であるような <math>\R^3</math> における[[完備距離空間|完備な]]極小曲面は{{仮リンク|懸垂面|en|catenoid}}かエンネパー曲面のいずれかであることを証明した<ref>R. Osserman, A survey of Minimal Surfaces. Vol. 1, Cambridge Univ. Press, New York (1989).</ref>。

他の性質として、全ての双3次な（バイキュービックな, bicubical）極小{{仮リンク|ベジェ曲面|en|Bézier surface}}は、[[アフィン変換]]による差を除けば、エンネパー曲面の一部になる<ref>Cosín, C., Monterde, Bézier surfaces of minimal area. In Computational Science — ICCS 2002, eds. J., Sloot, Peter, Hoekstra, Alfons, Tan, C., Dongarra, Jack. Lecture Notes in Computer Science 2330, Springer Berlin / Heidelberg, 2002. pp. 72-81 {{ISBN2|978-3-540-43593-8}}</ref>。

エンネパー曲面は、ワイエルシュトラス–エンネパーの媒介変数表示で <math>f(z)=1, g(z)=z^k</math> （k>1 は整数）とすることでより高次の[[対称式]]による曲面へと一般化することができる<ref name="dierkes" />。一方、より高次の空間へと一般化することもできる。7までのnについて空間 <math>\R^n</math> におけるエンネパー様（Enneper-like）超曲面の存在が知られている<ref>Jaigyoung Choe, On the existence of higher dimensional Enneper's surface, Commentarii Mathematici Helvetici 1996, Volume 71, Issue 1, pp 556-569</ref>。

==脚注==
{{reflist}}

==外部リンク==
* {{SpringerEOM|title=Enneper surface|urlname=Enneper_surface}}
* http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/enneper.html
* https://secure.msri.org/about/sgp/jim/geom/minimal/library/ennepern/index.html

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