エンリケス曲面のソースを表示

{{要改訳}}
数学では、'''エンリケス曲面'''(Enriques surfaces)は、不正則数 q = 0 で標準ラインバンドル K が非自明であるが、二乗すると自明となるような代数曲面である。エンリケス曲面は、みな射影的であり（従って複素数体上ではケーラー的であり）、種数 0 の[[楕円曲面]]である。標数が 2 ではない体上では、エンリケス曲面は[[K3曲面]]を不動点のない位数 2 の群で割った商であり、その理論は代数的K3曲面の理論に似ている。エンリケス曲面は最初に{{harvs|txt|authorlink=Federigo Enriques|last=Enriques|year=1896}}で詳細に研究された。{{harvs|txt|last=Reye|authorlink=Theodor Reye|year=1882}}で、エンリケスの研究に先立ち導入されたレーイ合同(Reye congruences)のいくつかもまたエンリケス曲面の例である。

エンリケス曲面は他の体上でも定義される。標数が 2 でない体上で、{{harvtxt|Artin|1960}} は理論が複素数上の理論と同じであることが示された。標数が 2 の体上では、定義が変更され、2つの新しい族が存在し、特異エンリケス曲面、超特異エンリケス曲面と呼ばれ、{{harvtxt|Bombieri|Mumford|1976}} に記載されている。.
<!--In [[mathematics]],  '''Enriques surfaces''' are [[algebraic surface]]s
such that the irregularity ''q'' = 0 and  the canonical line bundle ''K'' is non-trivial but has trivial square. Enriques surfaces are all projective (and therefore Kähler over the complex numbers) and are [[elliptic surface]]s of genus 0.
Over fields of characteristic not 2 they are quotients of [[K3 surface]]s by a group of order 2 acting without fixed points and their theory is similar to that of algebraic K3 surfaces. Enriques surfaces were first studied in detail by {{harvs|txt|authorlink=Federigo Enriques|last=Enriques|year=1896}}, though some of the Reye congruences introduced earlier by {{harvs|txt|last=Reye|authorlink=Theodor Reye|year=1882}} are also examples of Enriques surfaces.

Enriques surfaces can also be defined over other fields.
Over fields of characteristic other than 2, {{harvtxt|Artin|1960}} showed  that the theory is similar to that over the complex numbers. Over fields of characteristic 2 the definition is modified, and there are two new families, called  singular and supersingular Enriques surfaces, described by {{harvtxt|Bombieri|Mumford|1976}}.-->

==不変量==
n が偶数のときは、[[多重種数]] P<sub>n</sub> が 1 で、n が奇数のときは、0 である。基本群は位数が 2 である。第二コホモロジー群 H<sup>2</sup>(X, '''Z''') は、次元 10 の唯一の群の{{仮リンク|ユニモジュラ格子|en|unimodular lattice}}(unimodular lattice) II<sub>1,9</sub> と符号 -8 と位数 2 の群の和に同型である。

'''ダイアモンド'''：

           1
       0       0
   0      10       0
       0       0
           1

マーク付きのエンリケス曲面は、連結な 10-次元の族を形成し、{{harvtxt|Kondo|1994}} では有理的であることが示された。
<!--==Invariants==
The [[plurigenus|plurigenera]] ''P''<sub>''n''</sub> are 1 if ''n'' is even and 0 if ''n'' is odd. The fundamental group has order 2. The second cohomology group H<sup>2</sup>(''X'', '''Z''') is isomorphic to the sum of the unique even [[unimodular lattice]] II<sub>1,9</sub> of dimension 10 and signature -8 and a group of order 2.

'''Hodge diamond:'''
{{Hodge diamond|style=font-weight:bold
| 1
| 0 | 0
| 0 | 10 | 0
| 0 | 0
| 1
}}

Marked Enriques surfaces form a connected 10-dimensional family, which {{harvtxt|Kondo|1994}} showed is rational.-->

==標数 2 の場合==

標数が 2 の場合は、エンリケス曲面の新しい族が存在し、'''準エンリケス曲面'''(quasi Enriques surfaces)、あるいは、'''非古典的エンリケス曲面'''(non-classical Enriques surfaces)、あるいは、'''（超）特異エンリケス曲面'''((super)singular Enriques surfaces)と呼ばれることもある。標数 2 の場合のエンリケス曲面の定義は変形されていて、極小曲面の標準クラス K が 0 に数値的に同値で、第二ベッチ数が 10 であると定義される。（2 以外の標数の定義は、この定義は通常の定義に同値である。）エンリケス曲面には 3つの族があることになる。
<!--==Characteristic 2==

In characteristic 2 there are some new families of Enriques surfaces,
sometimes called '''quasi Enriques surfaces''' or '''non-classical Enriques surfaces''' or '''(super)singular Enriques surfaces'''.
In characteristic 2 the definition of Enriques surfaces is modified: they are defined to be minimal surfaces whose canonical class ''K'' is numerically equivalent to 0 and whose second Betti number is 10. (In characteristics other than 2 this is equivalent to the usual definition.) There are now 3 families of Enriques surfaces:-->

*古典的： dim(H<sup>1</sup>(O)) = 0、これは 2K = 0 であるが K は 0 でなく、Pic<sup>τ</sup> は Z/2Z であることを意味する。そのような曲面は群スキーム μ<sub>2</sub> による被約な特異ゴレンシュタイン曲面(Gorenstein surface)の商である。
*特異：  dim(H<sup>1</sup>(O)) = 1 で、フロベニウス自己準同型が非自明に作用している。このことは K = 0 であり、Pic<sup>τ</sup> は μ<sub>2</sub> であることを意味する。そのような曲面は、群スキーム Z/2Z によるK3曲面の商である。
*超特異：  dim(H<sup>1</sup>(O)) = 1 でフロベニウス自己準同型が自明に作用している。これは、K = 0 であり、Pic<sup>τ</sup> は α<sub>2</sub> であることを意味する。そのような曲面は、群スキーム α<sub>2</sub> による被約な特異ゴレンシュタイン曲面の商である。

全てのエンリケス曲面は楕円的か準楕円的である。
<!--*Classical: dim(H<sup>1</sup>(O)) = 0. This implies 2K=0 but K is nonzero, and Pic<sup>τ</sup> is Z/2Z. The surface is a quotient of a reduced singular Gorenstein surface by the group scheme μ<sub>2</sub>.
*Singular:  dim(H<sup>1</sup>(O)) = 1 and is acted on non-trivially by the Frobenius endomorphism. This implies  K=0, and Pic<sup>τ</sup> is μ<sub>2</sub>. The surface is a quotient of a K3 surface by the group scheme Z/2Z.
*Supersingular:  dim(H<sup>1</sup>(O)) = 1 and is acted on trivially by the Frobenius endomorphism. This implies  K=0, and Pic<sup>τ</sup> is α<sub>2</sub>. The surface is a quotient of a reduced singular Gorenstein surface by the group scheme α<sub>2</sub>.

All Enriques surfaces are elliptic or quasi elliptic.-->

==例==

*レーイ合同(Reye congruence)は、'''P'''<sup>3</sup> の中の 4次曲面の与えられた 3-次元線型系の内の少なくとも 2つの 4次曲面を持つ直線の族である。線型系が生成的(generic)であれば、レーイ合同はエンリケス曲面である。これらは {{harvtxt|Reye|1882}} により発見され、エンリケス曲面の最も初期の例かもしれない。

* 4面体の縁に沿った二重線を持つ 3次元射影空間の中の 6次曲面を、次のようにとる。
:次数 2 の一般的な同次多項式に対し、
:<math>w^2x^2y^2 + w^2x^2z^2 + w^2y^2z^2 + x^2y^2z^2 + wxyzQ(w,x,y,z) = 0</math>

すると、この正規化はエンリケス曲面である。これは、{{harvtxt|Enriques|1896}}により発見された。
<!--==Examples==

*A Reye congruence is the family of lines contained in at least 2 quadrics of a given 3-dimensional linear system of quadrics in '''P'''<sup>3</sup>. If the linear system is generic then the Reye congruence is an Enriques surface. These were found by {{harvtxt|Reye|1882}}, and may be the earliest examples of Enriques surfaces.

* Take a surface of degree 6 in 3 dimensional projective space with double lines along the edges of a tetrahedron, such as
:<math>w^2x^2y^2 + w^2x^2z^2 + w^2y^2z^2 + x^2y^2z^2 + wxyzQ(w,x,y,z) = 0</math>
:for some general homogeneous polynomial ''Q'' of degree 2. Then its normalization is an Enriques surface. This is the family of examples found by {{harvtxt|Enriques|1896}}.-->

* 不動点を持つ対合によるK3曲面の商はエンリケス曲面であり、標数が 2 よりも大きな場合の全てのエンリケス曲面は、この方法で構成することができる。例えば、S を K3曲面 w<sup>4</sup> + x<sup>4</sup> + y<sup>4</sup> + z<sup>4</sup> = 0 で、T を (w,x,y,z) を (w,ix,–y,–iz) とする位数 4 の自己同型とすると、T<sup>2</sup> は 2つの不動点を持つ。これらの 2つの点をブローアップし、T<sup>2</sup> による商をとると、不動点のない対合 T を持つK3曲面が得られ、これの T による商はエンリケス曲面である。別のエンリケス曲面は、元の曲面を位数 4 の自己同型 T による商をとり、商の 2つの特異点を解消することにより得ることができる。さらに別な例は、P<sub>i</sub>(u,v,w)+Q<sub>i</sub>(x,y,z) = 0 の形の 3つの 4次曲面の交叉をとり、対合 (u:v:w:x:y:z) から (–x:–y:–z:u:v:w) による商を取る。生成的(generic)な 4次曲面に対し、この対合はK3曲面の不動点を持たない対合となるので、商はエンリケス曲面である。
<!--* The quotient of a K3 surface by a fixed point free involution is an Enriques surface, and all Enriques surfaces in characteristic other than 2 can be constructed like this. For example, if ''S'' is the K3 surface ''w''<sup>4</sup> + ''x''<sup>4</sup> + ''y''<sup>4</sup> + ''z''<sup>4</sup> = 0 and ''T'' is the order 4 automorphism taking (''w'',''x'',''y'',''z'') to (''w'',''ix'',–''y'',–''iz'') then ''T''<sup>2</sup> has 2 fixed points. Blowing up these two points  and taking the quotient by ''T''<sup>2</sup> gives a K3 surface with a fixed-point-free involution ''T'', and the quotient of this by ''T'' is an Enriques surface. Alternative the Enriques surface can be constructed by taking the quotient of the original surface by the order 4 automorphism ''T'' and resolving the two singular points of the quotient. Another example is given by taking the intersection of 3 quadrics of the form ''P''<sub>''i''</sub>(''u'',''v'',''w'')+''Q''<sub>''i''</sub>(''x'',''y'',''z'')=0 and taking the quotient by the involution taking (''u'':''v'':''w'':''x'':''y'':''z'') to (–''x'':–''y'':–''z'':''u'':''v'':''w''). For generic quadrics this involution is a fixed-point-free involution of a K3 surface so the quotient is an Enriques surface.-->

==参照項目==
*{{仮リンク|代数曲面のリスト|en|list of algebraic surfaces}}(list of algebraic surfaces)
*[[エンリケス・小平の分類]]

==参考文献==

*{{citation|first=Michael|last=Artin|title=On Enriques surfaces|publisher=Harvard|series = PhD thesis|year=1960}}
*''Compact Complex Surfaces'' by Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven ISBN 3-540-00832-2 This is the standard reference book for compact complex surfaces.
*{{Citation | last1=Bombieri | first1=Enrico | author1-link=Enrico Bombieri | last2=Mumford | first2=David | author2-link=David Mumford | title=Enriques' classification of surfaces in char. p. III. | doi=10.1007/BF01390138 | mr=0491720 | year=1976 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=35 | issue=1 | pages=197–232}}
*{{Citation | last1=Cossec | first1=François R. | last2=Dolgachev | first2=Igor V. | title=Enriques surfaces. I | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston | series=Progress in Mathematics | isbn=978-0-8176-3417-9 | mr=986969 | year=1989 | volume=76}}
*{{Citation|last=Enriques | first=Federigo|title=Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche.|year=1896|journal=[[Mem. Soc. Ital. delle Scienze]]| volume=10|pages= 1–81}}
*{{Citation | last1=Enriques | first1=Federigo | title=Le Superficie Algebriche | url=http://www.math.biu.ac.il/~leyenson/library.classical-algebraic-geometry/self-scanned/enriques/enriques.le-superficie-algebriche.1949.300dpi.djvu | publisher=Nicola Zanichelli, Bologna | mr=0031770 | year=1949}}
*{{citation|last=Kondo|first= Shigeyuki |title=The rationality of the moduli space of Enriques surfaces|journal= Compositio Math.|volume= 91 |year=1994|issue= 2|pages= 159–173}}
*{{citation|first=T.|last=Reye|title=Die Geometrie der Lage|year =1882|place=Leipzig|url=https://archive.org/details/diegeometrieder01reyegoog}}

==外部リンク==
* [http://enriques.mathematik.uni-mainz.de/docs/enriques.shtml Enriques surfaces]

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