オイラーのφ関数のソースを表示

{{出典の明記|date=2017-12}}
[[画像:EulerPhi100.PNG|thumb|φ(''n'')最初の100個の値のグラフ]]
[[画像:EulerPhi.svg|thumb|φ(''n'')の最初の1000個の値]]

'''オイラーのトーシェント関数'''（オイラーのトーシェントかんすう、{{lang-en-short|Euler's totient function}}{{refnest|英語の[[:en:wikt:totient|totient]]はラテン語の[[:en:wikt:tot#Latin|tot]]に由来する<ref>{{Cite book |last=Schwartzman |first=S. |year=1994 |title=The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English |url={{google books|iuoZSkSOBQsC|plainurl=yes}} |publisher=Mathematical Association of America |isbn=0-88385-511-9 |mr=1270906 |zbl=0864.00007}}</ref>。}}）とは、正の[[整数]] {{mvar|n}} に対して、 {{mvar|n}} と[[互いに素 (整数論)|互いに素]]である {{math|1}} 以上 {{mvar|n}} 以下の自然数の個数 {{math|''φ''(''n'')}} を与える[[数論的関数]] {{mvar|φ}} である<ref name="Sándor2004">{{Cite book
 |last1=Sándor
 |first1=J.
 |last2=Crstici
 |first2=B.
 |year=2004
 |title=The many facets of Euler's totient
 |book-title=Handbook of Number Theory II
 |publisher=Springer Netherlands
 |address=Dordrecht
 |pages=179–327
 |isbn=978-1-4020-2547-1
 |doi=10.1007/1-4020-2547-5_3
 |url=https://doi.org/10.1007/1-4020-2547-5_3
}}</ref>。
これは
:<math>\varphi(n) = \textstyle\sum\limits_{1 \le m \le n \atop (m,n)=1} 1</math>
と表すこともできる（ここで {{math2|(''m'', ''n'')}} は {{mvar|m}} と {{mvar|n}} の[[最大公約数]]を表す）。慣例的に[[ギリシャ文字]]の {{math|''[[φ]]''}}（あるいは<math>\phi</math>）で表記されるため、オイラーの '''{{mvar|φ}} 関数'''（ファイかんすう、{{lang|en|phi function}}）とも呼ばれる。また、簡略的に'''オイラーの関数'''と呼ぶこともある。

[[1761年]]に[[レオンハルト・オイラー]]が発見したとされるが、それより数年前に[[日本]]の[[久留島喜内|久留島義太]]が言及したとも言われる。

== 例 ==

* {{math2|1, 2, 3, 4, 5, 6}} のうち {{math|6}} と互いに素なのは {{math2|1, 5}} の 2個であるから、 {{math2|1=''φ''(6) = 2}} である。
* {{math2|1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}} のうち {{math|7}} 以外は全て {{math|7}} と互いに素だから、{{math2|1=''φ''(7) = 6}} である。

{{math|1}} から {{math|20}} までの値は以下の通りである<ref>{{OEIS|A000010}}</ref>。
:1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8,…
== 性質 ==
{{mvar|p}} を[[素数]]とすると、{{math|1}} から {{math2|''p'' &minus; 1}} のうちに {{mvar|p}} の素因子である {{mvar|p}} を因子として含むものは存在しないから、{{math2|1=''φ''(''p'') = ''p'' &minus; 1}} が成り立つ。さらに、{{mvar|k}} を自然数としたとき、{{math|1}} から {{mvar|p{{sup|k}}}} の中で {{mvar|p}} を因子として含むもの、すなわち {{mvar|p}} の倍数は {{math2|''p''{{sup|''k'' &minus; 1}}}} 個あるから、次が成立することが確かめられる。
{{math theorem|<math>\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^{k-1} (p-1) = p^k \left( 1 - \frac{1}{p} \right)</math>}}
また、{{math2|''m'', ''n''}} を互いに素な自然数とすると、{{math2|1=''φ''(''mn'') = ''φ''(''m'')''φ''(''n'')}} が成り立つ。これをオイラーの関数は（互いに素な数の積に関して）'''[[乗法的関数|乗法的]]'''であると言う<ref name="Sándor2004" />。これらのことからさらに、任意の自然数 {{mvar|n}} における値を知ることができる。実際に、{{mvar|p{{sub|k}}}} はどの二つも相異なる[[素因数]]であるとして、以下のように {{math2|''φ''(''n'')}} を計算することができる。
{{math theorem|''n'' の[[素因数分解]]が次のように
:<math>n = \textstyle\prod\limits_{k=1}^d {p_k}^{e_k}</math>
と与えられているならば、
:<math>\varphi(n) = \textstyle\prod\limits_{k=1}^d \left( {p_k}^{e_k}-{p_k}^{e_k-1} \right) = n \prod\limits_{k=1}^d \left( 1-\dfrac{1}{p_k} \right)</math>}}

自然数 {{math2|''n'', ''d''}} で {{mvar|d}} が {{mvar|n}} を割り切るものとすると、{{math|1}} から {{mvar|n}} までの自然数のうち {{mvar|n}} との[[最大公約数]]が {{math|{{sfrac|''n''|''d''}}}} であるものの数は {{math2|''φ''(''d'')}} 個である。特に、{{math|1}} から {{mvar|n}} までの自然数は {{mvar|n}} との最大公約数によって類別されるから、{{mvar|d}} が {{mvar|n}} の正の約数全てをわたる和に関して等式
:<math>\textstyle\sum\limits_{d \mid n} \varphi(d) = n</math>
が成り立つ（{{math2|''d'' {{!}} ''n''}} は {{mvar|d}} が {{mvar|n}} を割り切るの意）。

{{mvar|G}} を位数 {{mvar|n}} の[[巡回群]]とすれば、{{mvar|n}} の約数 {{mvar|d}} に対して {{mvar|G}} の位数 {{mvar|d}} の[[元 (数学)|元]]は {{math|''φ''(''d'')}} 個存在する。特に、巡回群 {{mvar|G}} の[[生成元]]になりうる元は {{math2|''φ''(''n'')}} 個存在する。

自然数 {{math2|''a'', ''m'' (1 ≤ ''a'' < ''m'')}} とするとき、[[剰余類環|剰余環]] {{math2|'''Z'''/''m'''''Z'''}} に属する剰余類 {{math2|''a'' + ''m'''''Z'''}} が既約、つまり {{math2|'''Z'''/''m'''''Z'''}} の単数である必要十分な条件は代表元 {{mvar|a}} が {{mvar|m}} と互いに素であることであるから、既約剰余類の数は {{math|''φ''(''m'')}} に等しい。同じことだが、群 {{mvar|G}} の[[位数 (群論)|位数]]を {{math|#''G''}}, 環 {{mvar|R}} の[[単数群]]を {{math|''R''{{sup|×}}}} で表すとき、等式
:<math>\varphi(m) = \#(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times</math>
が成立する。これは特に、[[オイラーの定理 (数論)|オイラーの定理]] <math>a^{\varphi(m)} \equiv 1\pmod m</math> の成立を意味する。また同じ式から、[[1の冪根|{{math|1}} の {{mvar|m}} 乗根]]で原始的であるものの一つを {{mvar|ζ}} とし、既約剰余類群 {{math|('''Z'''/''m'''''Z'''){{sup|×}}}} を円分拡大 {{math2|'''Q'''(ζ)/'''Q'''}} の[[ガロア群]]と見れば {{math2|''φ''(''m'')}} が円の {{mvar|m}} 分多項式の次数に等しいことも従う。

{{math2|''n'' > 1}} ならば {{math2|''φ''(''n'') < ''n''}} である。また、{{math2|''n'' > 3}} ならば
:<math>\varphi(n) \geq e^{-\gamma} \cfrac{n}{\log\log n+\cfrac{2.50637}{e^{\gamma}\log\log n}}</math>
が成り立つ。ここで {{mvar|γ}} は[[オイラー定数]]である。もし {{math2|''n'' ≠ [[223092870|2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23]]}} であれば {{math|2.50637}} のかわりに {{math|2.5}} とおくことができる。一般に任意の {{math2|''ε'' > 0}} に対して
:<math>\varphi(n) > n^{1 - \varepsilon}</math>
が十分大きな {{mvar|n}} に対して成り立つ<ref>{{Cite book |title=Additive Number Theory: The Classic Bases |author=M. B. Nathanson |year=1996 |publisher=Springer |isbn=0-387-94656-X |page=315}}</ref>。簡明な下界として <math>\varphi(n) \ge \sqrt{\frac{n}{2}}</math> がある<ref>{{Cite web |title=Is the Euler phi function bounded below? |url=https://math.stackexchange.com/questions/301837 |work=Mathematics Stack Exchange |accessdate=2020-03-26}}</ref>。

{{math2|''σ''(''n'')}} を[[約数関数]]とすると、{{math2|''n'' > 1}} において、
:<math>\frac {6 n^2} {\pi^2} < \varphi(n) \sigma(n) < n^2</math>
が成り立つ。

トーシェント関数の[[値域]]に含まれない自然数を[[ノントーシェント]]という。

{{mvar|x}} が {{math|1}} より大きい奇数の時、{{mvar|x}} は[[ノントーティエント|ノントーシェント]]である。また、偶数であるノントーシェントは無数に存在することが知られている。{{math|''φ''(''n'') {{=}} ''x''}} となる {{mvar|n}} が存在するならば、それは少なくとも2つ存在するだろうと予想されているが、未だに証明されていない。一方、任意の {{math2|''k'' > 1}} に対して、{{math2|1=''φ''(''n'') = ''x''}} となる {{mvar|n}} の個数がちょうど {{mvar|k}} 個であるような {{mvar|x}} は無数に存在することが知られている。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[完全トーシェント数]]
* [[久留島喜内]]
* [[初等整数論]]
* [[フェルマーの小定理]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|667|オイラーのファイ関数のイメージと性質}}
* {{MathWorld|title=Totient Function|urlname=TotientFunction}}
* Kevin Ford, [http://www.math.uiuc.edu/~ford/wwwpapers/sierp.pdf The number of solutions of φ(x)=m], Ann. of Math. 150(1999), 283--311.
* D. Miyata & M. Yamashita, [http://yamashita-lab.net/open/mathconf-0.pdf Note on  derived logarithmic functions of Euler's functions ]

{{DEFAULTSORT:おいらあのふあいかんすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:整数論的関数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:レオンハルト・オイラー]]
[[Category:数学のエポニム]]