オイラーのコマのソースを表示

[[力学]]において、'''オイラーのコマ'''(オイラーのこま、{{lang-en-short|Euler Top}})とは、[[剛体]]の回転運動(コマの運動)の一種。重力などの外力が全く作用しない自由な運動に相当する。[[オイラーの運動方程式|オイラー方程式]]が[[可積分]]となる例の一つとして、知られる。


==概要==
無重力状態で放られた剛体の回転運動や、重心で支えられた剛体の自由回転運動
など、外力が働かない剛体の運動をオイラーのコマと呼ぶ。
外力が作用しない場合、剛体の運動を記述する[[オイラーの運動方程式|オイラー方程式]]は、
:<math>
I_1 \frac{d \omega_1}{dt} = (I_2-I_3) \omega_2 \omega_3
</math>
:<math>
I_2 \frac{d \omega_2}{dt} = (I_3-I_1) \omega_3 \omega_1
</math>
:<math>
I_3 \frac{d \omega_3}{dt} = (I_1-I_2) \omega_1 \omega_2
</math>
で与えられる。
但し、座標原点は剛体の固定点もしくは、剛体の重心位置とし、各座標は[[慣性主軸]]方向に一致させるものとする。
ここで、定数''I''<sub>1</sub>、''I''<sub>2</sub>、''I''<sub>3</sub> は[[慣性モーメント#慣性主軸と主慣性モーメント|主慣性モーメント]]である。

オイラーのコマでは、[[運動エネルギー]]''E'' と全[[角運動量]]の大きさ'''L'''<sup>2</sup>が系の[[保存量]]となる。
:<math>
\begin{align}
E & =\frac{1}{2}(I_1 \omega_1^{\, 2}+I_2 \omega_2^{\, 2}+I_3 \omega_3^{\, 2}) \\
\mathbf{L}^2 & =I_1^{\, 2} \omega_1^{\, 2}+I_2^{\, 2} \omega_2^{\, 2}+I_3^{\,2} \omega_3^{\, 2}
\end{align}
</math>
運動エネルギー''E'' と全角運動量の大きさ'''L'''<sup>2</sup>を指定することで定まる等エネルギー面と等角運動量面は、(''&omega;<sub>1</sub>'', ''&omega;<sub>2</sub>'', ''&omega;<sub>3</sub>'')空間における2つの[[楕円面]]を成しており、運動の軌道はそれらの交わりによって定められる曲線となる。

==一般解==
オイラーのコマは可積分な系の一つであり、その解は楕円関数で記述できる<ref>L.D. Landau and E.M. Lifshitz (1969), chapter.VI</ref>。

;''I''<sub>1</sub><''I''<sub>2</sub><''I''<sub>3</sub>の場合
慣性モーメントに''I''<sub>1</sub><''I''<sub>2</sub><''I''<sub>3</sub> の関係が成り立つとき、運動の解はヤコビの[[楕円関数]]を用いて、
:<math>
\omega_1=\sqrt{\frac{2E I_3-\mathbf{L}^2}{I_1(I_3-I_1)}} \operatorname{cn}(\lambda t, k)
</math>
:<math>
\omega_2=\sqrt{\frac{2E I_3-\mathbf{L}^2}{I_2(I_3-I_2)}} \operatorname{sn}(\lambda t, k)
</math>
:<math>
\omega_3=\sqrt{\frac{\mathbf{L}^2-2E I_1}{I_3(I_3-I_1)}} \operatorname{dn}(\lambda t, k)
</math>
:<math>
k=\sqrt{\frac{(I_2-I_1)(2E I_3-\mathbf{L}^2)}{(I_3-I_2)(\mathbf{L}^2-2E I_1)}}
</math>
と表される。ここで、&lambda;は
:<math>
\lambda=\sqrt{\frac{(\mathbf{L}^2-2E I_1)(I_3-I_2)}{I_1I_2I_3}}
</math>
で与えられる定数であり、時間''t''は''t''=0で''&omega;<sub>2</sub>''=0となるように取り直している。

これらは次の周期''T'' を持つ周期運動である。
:<math>
T=\frac{4K}{\lambda}
</math>
但し、''K''=''K''(''k'')は第一種[[完全楕円積分]]である。

;''I''<sub>1</sub>=''I''<sub>2</sub><''I''<sub>3</sub>の場合
慣性モーメントに''I''<sub>1</sub>=''I''<sub>2</sub><''I''<sub>3</sub> の関係が成り立つとき、運動の解は
:<math>
\omega_1=\sqrt{\frac{2E I_3-\mathbf{L}^2}{I_1(I_3-I_1)}} \cos{(\lambda t)} \,
</math>
:<math>
\omega_2=\sqrt{\frac{2E I_3-\mathbf{L}^2}{I_1(I_3-I_1)}} \sin{(\lambda t)} \,
</math>
:<math>
\omega_3=\frac{I_1}{I_3-I_1}\lambda=\operatorname{const.}
</math>
となる。

== 脚注 ==
{{reflist}}

==参考文献==
* H. Goldstein，C. Poole and J. Safko, ''Classical Mechanics'';　瀬川富士、矢野忠、江沢康生 （翻訳）『古典力学〈上〉 (物理学叢書)』[[吉岡書店]] (2006) ISBN 978-4842703367
* L.D. Landau and E.M. Lifshitz, [https://archive.org/details/Mechanics_541 ''Mechanics (Volume 1 of A Course of Theoretical Physics )''], Pergamon Press 1969;　広重徹、水戸巌　（翻訳）『力学 (増訂第3版) [[理論物理学教程|ランダウ=リフシッツ理論物理学教程]]』[[東京図書]] (1986) ISBN 978-4489011603

==関連項目==
*[[独楽]]
*[[オイラーの運動方程式|オイラー方程式]]
*[[自由歳差運動]]

{{DEFAULTSORT:おいらあのこま}}
[[Category:力学]]
[[Category:古典力学]]
[[Category:可積分系]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:物理学のエポニム]]
[[Category:レオンハルト・オイラー]]