オイラーの公式のソースを表示

[[数学]]の[[複素解析]]における'''オイラーの公式'''（オイラーのこうしき、{{lang-en-short|Euler's formula}}）とは、[[複素指数関数]]と[[三角関数]]の間に成り立つ、以下の[[恒等式]]のことである：
:<math>e^{iz} = \cos z +i\sin z</math>
ここで <math>z</math> は任意の[[複素数]]、 <math>e</math> は[[ネイピア数]]、 <math>i</math> は[[虚数単位]]、 <math>\cos</math> は[[余弦関数]]、 <math>\sin</math> は[[正弦関数]]である。

特に、 <math>z = \varphi (\in \R)</math> とする場合がよく使われ、この場合、<math>e^{i\varphi}</math> は、[[複素数の絶対値|絶対値]] <math>1</math>, [[複素数の偏角|偏角]] <math>\varphi [\mathrm{rad}]</math>の複素数に等しい。
[[画像:Euler's Formula J.svg|225px|thumb|オイラーの公式の図形的な表現。複素数平面において、複素数 {{mvar|e{{sup|iθ}}}} は、単位円周上の偏角 {{math|''θ'' [rad]}} の点を表す。]]

オイラーの公式は、複素解析をはじめとする数学の様々な分野や、[[電気工学]]・[[物理学]]などで現れる微分方程式の解析において重要である。物理学者の[[リチャード・P・ファインマン]]はこの公式を評して''「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」'' だと述べている{{sfn|ファインマン|1977|pp=294, 307}}{{sfn|吉田|2021|p=230}}。

== 概要 ==
この公式の名前は、18世紀の数学者[[レオンハルト・オイラー]]に因むが、最初の発見者は[[ロジャー・コーツ]]とされる。コーツは[[1714年]]に
:<math> \log\left(\cos x + i\sin x \right)=ix \ </math>
を発見した<ref name="Stillwell">{{Cite book |author=John Stillwell |title=Mathematics and Its History |publisher=Springer |year=2002 |url=https://books.google.co.jp/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315&redir_esc=y&hl=ja}}</ref>が、三角関数の周期性による対数関数の[[多価関数|多価性]]を見逃した。1740年頃、オイラーは、コーツの公式を基に、指数関数と三角関数の級数展開を比較することによって、オイラーの公式を証明し、1748年に発表した<ref name="Stillwell" />。

オイラーの公式を導入することにより、極形式の複素数は、より簡素な表記に変換することができる。すなわち、複素数の極形式 {{math2|''z'' {{=}} ''r''(cos ''θ'' + ''i'' sin ''θ'')}} は {{math2|''z'' {{=}} ''re{{sup|iθ}}''}} に等しい。また、特に、{{math2|''θ'' {{=}} {{π}}}} のとき、
:<math>e^{i\pi} +1=0</math>
が導かれる。この関係式は'''[[オイラーの等式]]''' {{en|(Euler's identity)}} と呼ばれる。

オイラーの公式により、余弦関数および正弦関数は、[[双曲線関数]]に変換することができる：
:<math>\cos \theta = \cosh i \theta</math>
:<math>\sin \theta = \tfrac{1}{i} \sinh i \theta</math>
応用上では、三角関数を複素指数関数に置き換えることで、[[微分方程式]]や[[フーリエ級数]]などが利用しやすくなる。

== 指数関数と三角関数 ==
実関数としての[[指数関数]] {{math|''e''{{sup|''x''}}}}, [[三角関数]] {{math|cos ''x''}}, {{math|sin ''x''}} をそれぞれ[[テイラー展開|マクローリン展開]]すると
{{numBlk|:|<math>e^x = \textstyle\sum\limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{x^n}{n!} \quad (x \in \mathbb{R} )</math>|{{equationRef|Macl1|1}}}}
{{numBlk|:|<math>\cos x = \textstyle\sum\limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} \, x^{2n} \quad (x \in \mathbb{R} )</math>|{{equationRef|Macl2|2}}}}
{{numBlk|:|<math>\sin x = \textstyle\sum\limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, x^{2n+1} \quad (x \in \mathbb{R} )</math>|{{equationRef|Macl3|3}}}}
となる。これらの[[冪級数]]の[[収束半径]]が {{math|∞}} であることは、[[ダランベールの収束判定法]]によって確認することができる<ref group="注">冪級数 <math>\scriptstyle \sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n</math> の収束半径 {{mvar|R}} は、極限
:<math>\scriptstyle r=\lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|</math>
が存在すれば、{{math|''R'' {{=}} ''r''}} である。（極限が存在しない場合、収束半径はこの方法では求まらない。）
{{mvar|e{{sup|x}}}} の収束半径は
:<math>\begin{align}\scriptstyle
\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{1/n!}{1/(n+1)!} \right|
&\scriptstyle = \lim\limits_{n\to\infty} (n+1) \\ \scriptstyle 
&\scriptstyle = \infty
\end{align}</math>
となる。{{math|cos ''x''}} の収束半径は、{{math|''x''{{sup|2}}}} についての級数と考えたときの収束半径に等しい。
:<math>\begin{align} \scriptstyle
\lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{(-1)^n/(2n)!}{(-1)^{n+1}/\{ 2(n+1) \}!} \right|
&\scriptstyle = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\{2(n+1)\}!}{(2n)!} \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \lim\limits_{n\to\infty} (2n+2)(2n+1) \\ \scriptstyle 
&\scriptstyle = \infty
\end{align}</math>
{{math|sin ''x''}} の収束半径は、同様に
:<math>\begin{align} \scriptstyle
\lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{(-1)^n/(2n+1)!}{(-1)^{n+1}/\{ 2(n+1)+1 \}!} \right|
&\scriptstyle = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{(2n+3)!}{(2n+1)!} \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \lim\limits_{n\to\infty} (2n+3)(2n+2) \\ \scriptstyle 
&\scriptstyle =\infty
\end{align}</math>
以上で {{equationNote|Macl1|(1)}}, {{equationNote|Macl2|(2)}}, {{equationNote|Macl3|(3)}} の右辺の収束半径が {{math|∞}} であることが証明された。</ref>。従ってこれらの級数は、変数 {{mvar|x}} を複素数全体に拡張することができ、[[コンパクト一様収束|広義一様収束]]する。つまりこれらの級数によって表される関数は[[整関数]]である<ref group="注">これらは多項式でないので超越整関数であり、[[無限遠点]]を[[真性特異点]]に持つ</ref>。[[解析接続]]すると、[[一致の定理]]より、複素数全体での[[正則関数]]としての拡張は一意であり、この収束冪級数で表される。

ここで、 {{mvar|e{{sup|x}}}} の {{mvar|x}} を {{mvar|ix}} に置き換え、{{mvar|e{{sup|ix}}}} の冪級数が絶対収束することより級数の項の順序は任意に交換可能であることを考慮すれば
:<math>\begin{align}
e^{ix}
&= \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{i^n}{n!} x^n \\
&= \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{i^{2n}}{(2n)!}x^{2n} + \sum\limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{i^{2n+1}}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\
&= \textstyle\sum\limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + i \sum\limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\
&=  \cos x + i\sin x
\end{align}</math>
が得られる。

この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、[[複素数]]の世界では密接に結びついていることを表している。例えば、三角関数の加法定理は、指数法則 {{math|''e{{sup|a}}e{{sup|b}}'' {{=}} ''e''{{sup|''a''+''b''}}}}<ref group="注">
:<math>\begin{align}\scriptstyle
e^{a+b}
&\scriptstyle = \sum\limits_{n=0}^{\infin} \frac{(a+b)^n}{n!} \\
&\scriptstyle = \sum\limits_{n=0}^{\infin} \frac{1}{n!} \sum\limits_{r=0}^n \frac{n!}{r!(n-r)!} a^r b^{n-r} \\
&\scriptstyle = \sum\limits_{n=0}^{\infin} \sum\limits_{r=0}^n \frac{a^r b^{n-r}}{r!(n-r)!} \\
&\scriptstyle = \sum\limits_{r=0}^{\infin} \sum\limits_{n=r}^{\infin} \frac{a^r b^{n-r}}{r!(n-r)!} \\
&\scriptstyle = \sum\limits_{r=0}^{\infin} \frac{a^r}{r!} \sum\limits_{n=r}^{\infin} \frac{b^{n-r}}{(n-r)!} \ (m \, \equiv \, n-r) \\
&\scriptstyle = \sum\limits_{r=0}^{\infin} \frac{a^r}{r!} \sum\limits_{m=0}^{\infin} \frac{b^m}{m!} \\
&\scriptstyle = e^a e^b \quad //
\end{align}</math></ref>に対応していることが分かる<ref name="複素関数を学ぶ人のために" />。

オイラーの公式により、三角関数を複素指数関数で表すことができる。余弦関数、正弦関数は
:<math>\begin{align}
\cos z &= \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \\
\sin z &= \frac{e^{iz} -e^{-iz}}{2i}
\end{align}</math>
となる。

== 証明 ==
この公式には、[[#指数関数と三角関数|上記の冪級数展開による証明]]の他にも異なる幾通りかの証明が知られている。ここにいくつかの例を挙げる。ただし、以下の[[微分]]を用いた証明については、実変数を複素数変数におき換えても、これらの議論が成立していることを、別途で証明する必要がある（[[複素関数論]]）。

=== 微分による証明 ===
{{math proof|
関数の[[微分]]を用いた証明を示す。実変数 {{mvar|x}} の関数 {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} を次のように定義する。
{{numBlk|:|<math>f(x) := (\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix}.</math>|{{equationRef|D1|1}}}}
{{math|''f''&thinsp;(''x'')}} を形式的に微分すると以下のようになる。
:<math>
\begin{align}
f'(x)&= (\cos x-i\sin x)'\cdot e^{ix} +(\cos x-i\sin x)\cdot (e^{ix})' \qquad \mbox{(Leibniz's rule)} \\
     &= (-\sin x-i\cos x)\cdot e^{ix} +(\cos x-i\sin x)\cdot ie^{ix} \\
     &= \left\{(-\sin x-i\cos x) +(i\cos x + \sin x)\right\}\cdot e^{ix} \qquad (i^2 = -1)\\
     &= 0
\end{align}</math>
したがって、すべての実数 {{mvar|x}} について {{math|''f{{'}}''&thinsp;(''x'') {{=}} 0}} が成り立つ。これは {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} が[[定数関数]]であることと[[同値]]である。よって {{math|''f''&thinsp;(''x'') {{=}} ''f''&thinsp;(0)}} より、
{{numBlk|:|<math>f(x)=(\cos 0-i\sin 0)\cdot e^{i\cdot 0}=1</math>|{{equationRef|D2|2}}}}
となる。{{equationNote|D2|(2)}} を {{equationNote|D1|(1)}} に代入すると次のようになる。
{{numBlk|:|<math>(\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix} =1.</math>|{{equationRef|D3|3}}}}
ここで {{equationNote|D3|(3)}} の両辺に、{{math|(cos&thinsp;''x'' - ''i''&thinsp;sin&thinsp;''x'')}} の[[複素共役]] {{math|(cos&thinsp;''x'' + ''i''&thinsp;sin&thinsp;''x'')}} を掛ければ、三角関数に関するピタゴラスの定理 {{math|sin{{sup|2}}''x'' + cos{{sup|2}}''x'' {{=}} 1}} よりオイラーの公式が得られる<ref name="複素数の取り扱い" />。
:<math>e^{ix} =\cos x+i\sin x.</math>
|drop=no}}{{math proof|
別の証明として、実変数 {{mvar|x}} の関数 {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} を次のように定義する。
{{numBlk|:|<math>f(x) := (\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}.</math>|{{equationRef|D4|4}}}}
{{math|''f''&thinsp;(''x'')}} を ''x'' について微分すると以下のようになる。
:<math>
\begin{align}
f'(x)&= (\cos x+i\sin x)'\cdot e^{-ix} +(\cos x+i\sin x)\cdot (e^{-ix})' \qquad \mbox{(Leibniz's rule)} \\
     &= (-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix} -(\cos x+i\sin x)\cdot ie^{-ix} \\
     &= (-\sin x+i\cos x-i\cos x+\sin x)\cdot e^{-ix} \qquad (i^2 = -1)\\
     &= 0.
\end{align}</math>
したがって、すべての実数 {{mvar|x}} について {{math|''f{{'}}''&thinsp;(''x'') {{=}} 0}} が成り立つ。
ゆえに {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} は定数である。
よって {{math|''f''&thinsp;(''x'') {{=}} ''f''&thinsp;(0)}} より
{{numBlk|:|<math>f(x)=(\cos 0+i\sin 0)\cdot e^{-i\cdot 0}=1</math>|{{equationRef|D5|5}}}}
が成り立つ。
{{equationNote|D5|(5)}} を {{equationNote|D4|(4)}} に代入すると
:<math>(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix} =1</math>
が導出される。この両辺に {{math|''e''{{sup|''ix''}}}} を掛け、任意の複素数 ''a'', ''b'' に対して成り立つ指数法則 {{math|''e''{{sup|''a''}}''e''{{sup|''b''}} {{=}} ''e''{{sup|''a'' + ''b''}}}} を利用すれば<ref name="複素関数を学ぶ人のために"/>
:<math>\begin{align}
e^{ix}
&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{ix}e^{-ix}\\
&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{(ix-ix)}\\
&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^0\\
&=(\cos x+i\sin x)\cdot 1.
\end{align}</math>
以上より
:<math>e^{ix} =\cos x+i\sin x.</math>{{sfn|藤田|1999}}
|drop=no}}

=== 微分方程式による証明 ===
{{math proof|continue=
[[微分方程式]]を用いた証明を示す。{{mvar|x}} を実数、{{mvar|x}} の関数 {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} を以下のように定義する。
:<math>f(x) := \cos x + i\sin x.</math>
また記法を簡潔にするために補助的な方程式
:<math>y = f(x)</math>
によって {{mvar|y}} を定める。これらをまとめると以下の方程式を得る。
{{numBlk|:|<math>y = \cos x+ i\sin x.</math>|{{equationRef|DE1|1}}}}
{{equationNote|DE1|(1)}} に {{math|''x'' {{=}} 0}} を代入すると
{{numBlk|:|<math>y = \cos 0 + i\sin 0 = 1</math>|{{equationRef|DE2|2}}}}
を得る。{{equationNote|DE1|(1)}} の両辺を {{mvar|x}} について微分し、両辺に虚数単位 {{mvar|i}} を掛けると以下のようになる。
{{numBlk|:|<math>i\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} 
= \underbrace{-i\sin x}_{\frac{\mathrm{d}\cos x}{\mathrm{d}x} = -\sin x} 
- \underbrace{\cos x}_{\frac{\mathrm{d}\sin x}{\mathrm{d}x} = \cos x}</math>|{{equationRef|DE3|3}}}}
{{equationNote|DE3|(3)}} と {{equationNote|DE1|(1)}} より
{{numBlk|:|<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =iy</math>|{{equationRef|DE4|4}}}}
を得る<ref group="注">{{math|''i''{{sup|2}} {{=}} &minus;1}} より {{math|''i'' {{=}} &minus;{{sfrac|1|''i''}}}} であることを利用した。</ref>。任意の 0 でない複素数 {{mvar|&alpha;}} について、関数 {{math|''e''{{sup|''&alpha;x''}}}} は次の関係を満たす。
{{numBlk|:|<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}(\alpha x)}e^{\alpha x} = e^{\alpha x}.</math>|{{equationRef|DE5|5}}}}
{{equationNote|DE4|(4)}} と {{equationNote|DE5|(5)}} を見比べ、{{math|''&alpha;'' {{=}} ''i''}} と置き換えれば、''f''(0) = 1 より
{{numBlk|:|<math>y=e^{ix}</math>|{{equationRef|DE6|6}}}}
が成り立つ。最後に {{equationNote|DE1|(1)}} および {{equationNote|DE6|(6)}} から {{mvar|y}} を消去すればオイラーの公式が得られる。
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x.</math>
|drop=no}}

=== 2階線型微分方程式による証明 ===
{{math proof|
2階[[線型微分方程式]]を用いた証明を示す。実数 {{mvar|x}} を変数とする関数
{{numBlk|:|<math>\begin{cases}
\displaystyle y = e^{ix} \\
\displaystyle y = \cos x \\
\displaystyle y = \sin x
\end{cases}</math>|{{equationRef|2DE1|1}}}}
はいずれも以下の2階の線型常微分方程式の解である。
{{numBlk|:|<math>\frac{\mathrm{d}^2y}{{\mathrm{d}x}^2} + y = 0.</math>|{{equationRef|2DE2|2}}}}
{{equationNote|2DE2|(2)}} は斉次な方程式なので、一般解は[[基本解]]の[[線型結合]]として表すことができる。
{{math|cos&thinsp;''x''}} と {{math|sin&thinsp;''x''}} は {{equationNote|2DE2|(2)}} の基本解である。実際、[[ロンスキー行列式]]
:<math>\begin{vmatrix}
\cos x & \sin x\\
-\sin x & \cos x
\end{vmatrix} = \cos^2x + \sin^2x = 1</math>
は 0 にならない。よって、{{equationNote|2DE1|(1)}} および {{equationNote|2DE2|(2)}} より
{{numBlk|:|<math>e^{ix} = C_1 \cos x + C_2 \sin x</math>|{{equationRef|2DE3|3}}}}
が成立する。また、{{equationNote|2DE3|(3)}} の両辺を微分したものは
{{numBlk|:|<math>ie^{ix}=-C_1\sin x + C_2 \cos x</math>|{{equationRef|2DE4|4}}}}
となる。{{equationNote|2DE3|(3)}}, {{equationNote|2DE4|(4)}} に {{math|''x'' {{=}} 0}} を代入したものはそれぞれ、
{{numBlk|:|<math>\begin{align}
1 = C_1\\
i = C_2
\end{align}</math>|{{equationRef|2DE5|5}}}}
となるので<ref group="注">{{math|''e''{{sup|0}} {{=}} 1}} および {{math|sin&thinsp;0 {{=}} 0, cos&thinsp;0 {{=}} 1}} を利用した。</ref>、{{equationNote|2DE5|(5)}} より {{equationNote|2DE3|(3)}} の線型結合はオイラーの公式を与える<ref name="kwansei-univ-euler" />。
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x.</math>
|drop=no}}

=== ロンスキー行列による証明 ===
{{math proof|
:<math>|W|=\begin{vmatrix}
e^{ix} & \cos x +i\sin x \\
ie^{ix} & -\sin x+i\cos x
\end{vmatrix}=e^{ix}(-\sin x + i\cos x) - e^{ix}(i\cos x - \sin x)=0</math>
として {{math|cos&thinsp;''x'' + ''i''&thinsp;sin&thinsp;''x''}} と {{math|''e''{{sup|''ix''}}}} が線型従属であることを確認する。
ここで、ある定数 {{mvar|C}} について
:<math>e^{ix} = C(\cos x + i\sin x)</math>
が成立する<ref group="注">{{math|cos&thinsp;''x'' + ''i''&thinsp;sin&thinsp;''x''}} は関数として 0 でないので。</ref>。ここで {{math|''x'' {{=}} 0}} を代入すると {{math|''C'' {{=}} 1}} となり
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>
が得られる<ref>[http://www.is.oit.ac.jp/~shinkai/lecture/diffeq09b/deq2009_sol_3.pdf 2階微分方程式]</ref>。
|drop=no}}

=== ド・モアブルの定理による証明 ===
{{math proof|
[[ド・モアブルの定理]]を用いた証明を示す<ref name="野海正俊" />。
ド・モアブルの定理より
:<math>\begin{align}
\cos n\theta+i\sin n\theta
&=(\cos \theta+i\sin \theta)^n,\\
\cos n\theta-i\sin n\theta
&=(\cos \theta-i\sin \theta)^n.
\end{align}</math>
辺々加えて
:<math>2\cos n\theta = (\cos \theta+i\sin \theta)^n+(\cos \theta-i\sin \theta)^n.</math>
右辺の 2 つの項を[[二項定理]]によって展開すれば、{{mvar|i}} の[[奇数]]乗の項は[[相殺]]し、{{mvar|i}} の[[偶数]]乗の項だけを二重に加えることになるので
:<math>\begin{align}
\cos n\theta
&=\sum_{k=0}^{\left[\tfrac{n}{2}\right]} (-1)^k\binom{n}{2k}\ (\cos \theta)^{n-2k}(\sin \theta)^{2k}\\
&=\sum_{k=0}^{\left[\tfrac{n}{2}\right]} (-1)^k\binom{n}{2k}\ (\cos \theta)^n (\tan \theta)^{2k}
\end{align}</math>
を得る。これが {{math|cos&thinsp;''θ''}} の [[三角関数の公式の一覧#倍角公式|{{mvar|n}} 倍角の公式]]の閉じた表示式である（{{math|[''s'']}} は {{mvar|s}} の[[整数部分]]）。
この式において {{math|''nθ'' {{=}} ''x''}} と置き換えると
:<math>\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k}
\left(\cos \frac{x}{n}\right)^n \left(\tan \frac{x}{n}\right)^{2k}.</math>
[[加法|和]]の上端を {{math|&infin;}} に書き直したが、{{math|''k'' &gt; ''n''/2}} のとき[[二項係数]]の部分が {{math|0}} になるので、これは {{math|{{sfrac|''n''|2}}}} までの和に等しい。
{{math|''n'' → &infin;}} の[[極限]]においては
:<math>\cos \frac{x}{n} \sim 1\ ,\ \sin \frac{x}{n} \sim \frac{x}{n}\ ,\ \tan \frac{x}{n} \sim \frac{x}{n}</math>
となり、各項目において[[ランダウの記号|漸近的に等しい]]ことが確認できる。
したがって
:<math>\binom{n}{2k} \sim \frac{n^{2k}}{(2k)!}\ ,\ \left(\cos \frac{x}{n}\right)^n \sim 1\ ,\ \left(\tan \frac{x}{n}\right)^{2k} \sim \frac{x^{2k}}{n^{2k}}</math>
となる。よって
:<math>\cos x = \sum^{\infin}_{k=0} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}</math>
が得られる。
同様に {{math|sin&thinsp;''x''}} について考えれば
:<math>
\sin x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k+1}
\left (\cos \frac{x}{n}\right)^n \left (\tan \frac{x}{n} \right)^{2k+1}
</math>
より
:<math>\sin x = \sum^{\infin}_{k=0} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}</math>
が得られる。
ここで、{{math|''n'' → &infin;}} の極限を取った際の誤差項の挙動を考えると
:<math>\cos \frac{x}{n} = 1+a_n</math>
とおけば
:<math>\begin{align}
\left(\cos \frac{x}{n} \right)^n 
&= \left(1+a_{n} \right)^n\\ 
&= 1+na_n +\binom{n}{2} {a_n}^2+ \dotsb
\end{align}</math>
であるから、{{mvar|a{{sub|n}}}} が小さいとき、{{mvar|n}} 乗すると誤差はおよそ {{mvar|n}} 倍されるが、{{mvar|a{{sub|n}}}} が {{math|{{sfrac|1|n}}}} よりも早く {{math|0}} に近づくときには、極限に影響しない。
本議論において
:<math>\begin{align}
a_n &=\cos \frac{x}{n}-1\\
&=-2\sin^2 \frac{x}{2n}
\end{align}</math><ref group="注">三角関数の半角公式を利用した。</ref>
であるから
:<math>a_n \sim -\frac{x^2}{2n^2}</math>
となる。
したがって、[[ランダウの記号]]を用いて漸近挙動を示せば
:<math>\cos \frac{x}{n}=1+O\left(\frac{1}{n^2}\right).</math>
ゆえに
:<math>\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{n} \right)^n=1.</math>
ここで、ド・モアブルの定理に立ち返って
:<math>\cos n\theta+i\sin n\theta = (\cos \theta+i\sin \theta)^n.</math>
上記式において {{math|''nθ'' {{=}} ''x''}} とおくと
:<math>\cos x+i\sin x = \left(\cos \frac{x}{n}+i\sin \frac{x}{n}\right)^n.</math>
ここで、{{math|''n'' → &infin;}} の極限をとったとき
:<math>\cos \frac{x}{n}+i\sin \frac{x}{n}=1+\frac{ix}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)</math>
であるから
:<math>\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{n}+i\sin \frac{x}{n}\right)^n
= \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = e^{ix}.</math>
よって
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>
が得られる。
|drop=no}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 参照 ===
{{Reflist|refs=
<ref name="野海正俊">[http://www.sci.kobe-u.ac.jp/old/seminar/pdf/noumi2007.pdf オイラーの数学から — 『無限解析序説』への招待 － 野海 正俊]</ref>
<ref name="複素数の取り扱い">[https://web.archive.org/web/20141014004043/http://www.kutl.kyushu-u.ac.jp/~member/noro/KikanButsuri_IA/4_keiji.pdf 複素数の取り扱いとオイラーの公式]</ref>
<ref name="kwansei-univ-euler">[http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~shimeno/math/euler/euler.pdf {{math|e{{sup|π''i''}} + 1 {{=}} 0}}]</ref>
<ref name="複素関数を学ぶ人のために">[http://collie.low-temp.sci.yamaguchi-u.ac.jp/~ashida/work/comp.pdf 複素関数を学ぶ人のために － 山口大学 理学部 物理・情報科学科 - 芦田 正巳]</ref>
}}

=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}

== 参考文献 ==
{{commonscat|Euler's formula}}
<!--著者名の50音順-->
*{{Cite book|和書
|author = 小笠英志
|date = 2011-01-20
|title = 相対性理論の式を導いてみよう、そして、人に話そう
|publisher = ベレ出版
|pages = 165-171
|isbn = 978-486064-267-9
|ref = {{harvid|小笠|2011}}
}}
* {{Cite book|和書
|author=杉浦光夫|authorlink=杉浦光夫
|title = 解析入門I
|date = 1980-03-31
|publisher = [[東京大学出版会]]
|isbn = 978-4-13-062005-5
|series = 基礎数学2
|ref = {{harvid|杉浦|1980}}
}}
* {{Cite book|和書
|author=田村二郎|authorlink=田村二郎
|title = 解析関数
|edition = 新版
|date = 1983-11-15
|publisher = [[裳華房]]
|isbn = 978-4-7853-1307-4
|series = 数学選書3
|ref = {{harvid|田村|1983}}
}}
* {{Citation|
|last = Dunham
|first = William
|title = Euler: The Master of Us All
|url = http://paginas.fisica.uson.mx/horacio.munguia/Personal/Documentos/Libros/Euler%20The_Master%20of%20Us.pdf<!--これは著作権的に問題ないものですか？-->
|year = 1999
|publisher = The Mathematical Association of America
|isbn = 978-0-88385-328-3
}}
**{{Cite book|和書
|author=W. ダンハム
|translator=[[黒川信重]]、[[若山正人]]、百々谷哲也
|date=2019-04
|title=オイラー入門
|series=シュプリンガー数学リーディングス 第1巻
|publisher=丸善出版
|isbn=978-4-621-06568-6
|ref={{Harvid|ダンハム|2019}}
}} - 注記：2004年6月にシュプリンガー・ジャパンより出版された同名書籍の再出版。
*{{Cite book|和書
|author=ファインマン、リチャード|authorlink=リチャード・P・ファインマン
|coauthors = レイトン、サンズ
|translator = [[坪井忠二]]
|year = 1977
|title = 力学
|series = ファインマン物理学
|volume = I
|publisher = [[岩波書店]]
|pages = 294,307
|isbn = 978-4-00-007711-8
|oclc = 47339138
|ref = {{harvid|ファインマン|1977}}
}}
* {{Cite book|和書
|author=藤田宏|authorlink=藤田宏
|title = 応用数学
|series = 放送大学教材
|date = 1999-03
|publisher = 放送大学教育振興会
|isbn = 978-4-595-56042-2
|ref = {{harvid|藤田|1999}}
}}
* {{Cite book|和書
|author=吉田武|authorlink=吉田武 (サイエンスライター)
|title = オイラーの贈物　人類の至宝 {{math|''e{{sup|iπ}}'' {{=}} &minus;1}} を学ぶ
|edition = 新装版
|date = 2021-01
|publisher = 東海教育研究所
|isbn = 978-4-924523-14-2
|ref = {{harvid|吉田|2021}}
}}
**{{Cite book|和書
|author=吉田武
|date=2001-11
|title=オイラーの贈物　人類の至宝 {{math|''e{{sup|iπ}}'' {{=}} &minus;1}} を学ぶ
|series=ちくま学芸文庫
|publisher=筑摩書房
|isbn=978-4-480-08675-4
|ref={{Harvid|吉田|2001}}
}}

== 関連項目 ==
<!--項目名の50音順-->
*[[オイラーの等式]]
*[[極座標系]]
*[[純虚指数函数]]（複素指数函数を使わないで極形式を表示する）
*[[ド・モアブルの定理]]（指数法則の一つが成り立つことを表している）
*[[微分方程式]]
*[[フーリエ級数]]
*[[複素指数函数]]
*[[複素対数函数]]（オイラーの公式は複素数の対数関数に関する研究から発見された）

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|585|オイラーの公式と複素指数関数}}
* {{Kotobank|オイラーの公式}}

{{DEFAULTSORT:おいらあのこうしき}}
[[Category:ネイピア数]]
[[Category:複素解析の定理]]
[[Category:複素数]]
[[Category:レオンハルト・オイラー]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:証明を含む記事]]