オイラーの和公式のソースを表示

数学において、'''オイラーの和公式'''（オイラーのわこうしき、オイラー・マクローリンの公式、{{lang-en-short|Euler–Maclaurin formula}}）は1735年頃[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]と[[コリン・マクローリン|マクローリン]]により独立に発見された級数の和を与える公式である<ref>[http://eom.springer.de/E/e036520.htm Springer Online Reference Works: Euler–MacLaurin formula]</ref>。この公式は収束の遅い[[無限級数]]の和を求めるときに便利であるが、<math>f(x)</math>が多項式であるような場合を除き、<math>m\to\infty</math>とすれば[[ベルヌーイ数]]が急速に大きくなって発散する。従って、[[漸近展開]]のように発散する前の適当なところで打ち切らなければならない。また、この公式は[[台形公式]]による[[数値積分]]の誤差を示すものと考えることもできる。
:<math>\sum_{j=0}^{n-1}f(j)=\int_{0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{k}}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{m}</math>
:<math>\sum_{j=1}^{n-1}f(j)+\frac{1}{2}\left(f(0)+f(n)\right)=\int_{0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R_{2m+1}</math>
:<math>R_{m}=(-1)^{m+1}\int_{0}^{n}\frac{B_{m}(x-\lfloor{x}\rfloor)}{m!}f^{(m)}(x)dx</math>
但し、<math>B_n</math>は[[ベルヌーイ数]]、<math>B_n(x)</math>は[[ベルヌーイ多項式]]である。
:<math>B_1=-\frac{1}{2},B_2=\frac{1}{6},B_3=0,B_4=-\frac{1}{30},B_5=0,B_6=\frac{1}{42},B_7=0,B_8=-\frac{1}{30},B_9=0,B_{10}=\frac{5}{66},\cdots</math>
:<math>B_0(x)=1,B_1(x)=x-\frac{1}{2},B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x,B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},\dots</math>
なお、<math>f^{(k)}</math>は導関数、<math>\lfloor{x}\rfloor</math>は[[床関数]]を表す。

{{ill|ダルブーの公式|en|Darboux's formula}}はこれの一般化である。

== 証明 ==
[[ベルヌーイ多項式]]の性質（若しくは定義）により
:<math>\int_{0}^1\frac{B_{k-1}(x)}{(k-1)!}f^{(k-1)}(x)dx=\int_{0}^1\left(\frac{B_{k}(x)}{k!}\right)'f^{(k-1)}(x)=\left[\frac{B_{k}(x)}{k!}f^{(k-1)}(x)\right]_0^1-\int_{0}^1\frac{B_{k}(x)}{k!}f^{(k)}(x)dx</math>
である。有限回の部分積分を繰り返して
:<math>\int_{0}^1f(x)dx=\int_{0}^1B_0(x)f(x)dx=\sum_{k=1}^{m}\left[(-1)^{k-1}\frac{B_{k}(x)}{k!}f^{(k-1)}(x)\right]_0^1+(-1)^{m}\int_{0}^1\frac{B_{m}(x)}{m!}f^{(m)}(x)dx</math>
となるが、これは<math>f(x)</math>を<math>f(j+x)</math>に置き換えても成り立つから
:<math>\begin{align}\int_{0}^{n}f(x)dx&=\sum_{j=0}^{n-1}\int_{0}^{1}f(j+x)dx\\
&=\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{k=1}^{m}\left[(-1)^{k-1}\frac{B_{k}(x)}{k!}f^{(k-1)}(x)\right]_0^1+(-1)^{m}\int_{0}^{n}\frac{B_{m}(x-\lfloor{x}\rfloor)}{m!}f^{(m)}(x)dx
\end{align}</math>
である。<math>B_1(0)=-\textstyle\frac{1}{2},</math><math>B_1(1)=\textstyle\frac{1}{2},B_{2k}(0)=B_{2k}(1)=B_{2k},</math><math>B_{2k+1}(0)=B_{2k+1}(1)=B_{2k+1}=0</math>を代入すれば
:<math>\int_{0}^{n}f(x)dx=\sum_{j=0}^{n-1}f(j)-\frac{1}{2}f(0)+\frac{1}{2}f(n)-\sum_{k=2}^{m}(-1)^{k}\frac{B_{k}}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)-R_m</math>
:<math>R_m=(-1)^{m+1}\int_{0}^{n}\frac{B_{m}(x-\lfloor{x}\rfloor)}{m!}f^{(m)}(x)dx</math>
を得る。移項して形式を整えると
:<math>\sum_{j=0}^{n-1}f(j)=\int_{x=0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{k}}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{m}</math>
となる。或いは
:<math>\begin{align}\sum_{j=1}^{n-1}f(j)+\frac{1}{2}\left(f(0)+f(n)\right)
&=\int_{0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=2}^{2m+1}\frac{B_{k}}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{2m+1}\\
&=\int_{0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R_{2m+1}\\
\end{align}</math>
となる。

== 関連文献 ==
* M.ベック、S.ロビンス著 ; 岡本吉央(訳)：「離散体積計算による組合せ数学入門」、シュプリンガー・ジャパン、ISBN 978-4-431-10077-5 (2010年7月4日)。※第10章 <math>R^d</math>におけるEuler-Maclaurin和。
== 関連項目 ==
* [[アーベル・プラナの公式]]
* [[レオンハルト・オイラー]]
* [[コリン・マクローリン]]

== 出典 ==
<references/>

{{DEFAULTSORT:おいらあのわこうしき}}
[[Category:数式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:レオンハルト・オイラー]]
[[Category:数学のエポニム]]