オイラーの四平方恒等式のソースを表示

[[数学]]において、'''オイラーの四平方恒等式''' (Euler's four-square identity) とは、4つの[[平方数]]の和である2数の積は再び4つの平方数の和になることをいうものである。具体的は、次のようになる。

::<math>\begin{align}&(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)\\
=&(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4)^2\\
+&(a_1 b_2 - a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2\\
+&(a_1 b_3 - a_2 b_4 - a_3 b_1 + a_4 b_2)^2\\
+&(a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 - a_4 b_1)^2.
\end{align}</math>

[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]は[[クリスティアン・ゴルトバハ|ゴールドバッハ]]宛ての1748年5月4日付の手紙でこの恒等式について書いている<ref>''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy'', R.E. Bradley and C.E. Sandifer (eds), Elsevier, 2007, p. 193</ref><ref>''Mathematical Evolutions'', A. Shenitzer and J. Stillwell (eds), Math. Assoc. America, 2002, p. 174</ref>（が上記とは異なる符号の取り方をしている）。恒等式は[[初等代数学]]で証明でき、任意の[[可換環]]において成り立つ。<math>a_k</math> と <math>b_k</math> が[[実数]]であれば、よりエレガントな証明が可能である。恒等式は、2つの[[四元数]]の積の絶対値が絶対値の積に等しいと言う事実を表しているのである。（[[ブラーマグプタの二平方恒等式]]では[[複素数]]に対して同様であるのと同じように。）

恒等式は[[ジョセフ・ルイ・ラグランジュ|ラグランジュ]]が[[ラグランジュの四平方定理]]を証明するために使った。正確に言えば、[[素数]]に対して定理を証明すれば一般の場合が従うので十分であるということを恒等式は意味している。上記式の符号の取り方は2つの四元数を掛けて得られる符号に対応している。他の符号の取り方は、任意の ''a<sub>k</sub>'' を &minus;''a<sub>k</sub>'' に、あるいは ''b<sub>k</sub>'' を &minus;''b<sub>k</sub>'' に、あるいは右辺の自乗されている任意の項の符号を変えることによって、得ることができる。

{{仮リンク|フルヴィッツの定理 (ノルム可除環)|label=フルヴィッツの定理|en|Hurwitz's theorem (normed division algebras)}}は以下のような定理である。

:<math>(a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dotsb+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+\dotsb+b_n^2) = c_1^2+c_2^2+c_3^2+\dotsb+c_n^2\,</math>

の形の恒等式（ただし <math>c_i</math> は <math>a_i</math> と <math>b_i</math> の[[双線型写像|双線型]]写像）は、''n''&nbsp;=&nbsp;{1,&nbsp;2,&nbsp;4,&nbsp;8} に対してのみ可能である。しかしながら、より一般的な{{仮リンク|Pfisterの定理|en|Pfister's theorem}}によって、<math>c_i</math> を変数の1つの集合の単に[[有理関数]]とすれば（[[分母]]を許せば）、すべての ''n''&nbsp;=&nbsp;2<sup>''m''</sup> に対して可能である<ref>Pfister's Theorem on Sums of Squares, Keith Conrad, http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/pfister.pdf</ref>。四平方恒等式の別種は次のように与えられる。

:<math>\begin{align}&(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)\\
=&(a_1 b_4 + a_2 b_3 + a_3 b_2 + a_4 b_1)^2\\
+&(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 - a_4 b_2)^2\\
+&\left(a_1 b_2 + a_2 b_1 + \frac{a_3 u_1}{b_1^2+b_2^2} - \frac{a_4 u_2}{b_1^2+b_2^2}\right)^2\\
+&\left(a_1 b_1 - a_2 b_2 - \frac{a_4 u_1}{b_1^2+b_2^2} - \frac{a_3 u_2}{b_1^2+b_2^2}\right)^2
\end{align}</math>

ただし

:<math>\begin{align}
u_1 &= b_1^2b_4-2b_1b_2b_3-b_2^2b_4,\\
u_2 &= b_1^2b_3+2b_1b_2b_4-b_2^2b_3.
\end{align}</math>

次の副産物にも注意しよう。

:<math>u_1^2+u_2^2 = (b_1^2+b_2^2)^2(b_3^2+b_4^2).</math>

== 関連項目 ==
*[[ブラーマグプタの二平方恒等式]]（2つの平方数の和）
*{{仮リンク|Deganの8平方恒等式|en|Degen's eight-square identity}}
*{{仮リンク|Pfisterの16平方恒等式|en|Pfister's sixteen-square identity}}
*[[ラテン方格]] ([[:en:Latin square|Latin square]])

== 参考文献 ==
<references/>

== 外部リンク ==
*[https://sites.google.com/site/tpiezas/005b/ A Collection of Algebraic Identities]
*[http://math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0841.pdf] Lettre CXV from Euler to Goldbach

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