オイラーの四辺形定理のソースを表示

[[File:Euler viereck.svg|thumb]]
'''オイラーの四辺形定理'''（オイラーのしへんけいていり）は、[[凸多角形|凸]][[四角形]]における[[辺]]と[[対角線]]の長さの関係を示す定理である。

この定理は系として[[中線定理]]と[[ピタゴラスの定理]]を含む。

== 定理と系 ==
四角形の4辺の長さを <math>a, b, c, d</math>、対角線の長さを <math>e, f</math>、2つの対角線の中点間の距離を <math>g</math> と置くと以下の式が成り立つ。
:<math>a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+4g^2 </math>

四角形が[[平行四辺形]]のとき、対角線は中点で交わるため <math>g</math> は0になる。また、対辺の長さは等しいためまとめると以下の式になる。
:<math>2a^2+2b^2=e^2+f^2</math>
これを変形すると[[中線定理]]が得られる。

四角形が[[長方形]]の場合対角線の長さも同じになるため以下のようになる。
:<math>2a^2+2b^2=2e^2</math>
両辺を2で割れば[[ピタゴラスの定理]]が得られる。

言い換えると、長方形の辺の長さと対角線の長さの関係はピタゴラスの定理であらわすことができる<ref>Lokenath Debnath: ''The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute''. World Scientific, 2010, {{ISBN2|9781848165267}}, pp. [https://books.google.com/books?id=dDfICgAAQBAJ&pg=PA105 105–107]</ref>。

== 拡張 ==
[[File:Euler theorem quadrilateral.svg|thumb|upright=1.0|平行四辺形における定理]]
[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]はもともと他の定理からこの関係を導いたが、それは簡単な考察ではない。

与えられた四角形 <math>ABCD</math> に対して <math>ABED</math> が平行四辺形になるような点<math>E</math> を取ると以下の式が成り立つ。

:<math>|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|AD|^2=|AC|^2+|BD|^2+|CE|^2</math>

<math>|CE|</math> は平行四辺形を構成する点<math>E</math> と構成しない点<math>C</math> との距離である。<math>|CE|^2 </math> は元の四角形が平行四辺形とどれだけ乖離しているかを示す値であり、平行四辺形定理（平行四辺形の辺と対角線の長さの関係を示す定理）に対する補正項である<ref name=maa>Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy: ''The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons''. MAA, 2006, {{ISBN2|9780883855553}}, pp. [https://books.google.com/books?id=I9oVP8TlyqIC&pg=PA137 137–139]</ref>。

<math>M</math> は <math>AC</math> の中点である。また <math>N</math> は <math>BD</math> の中点であり、<math>AE</math> と <math>BD</math> が平行四辺形<math>ABED</math>の対角線であることから <math>N</math> は <math>AE</math> の中点でもある。よって[[中点連結定理]]から <math>CE</math> と <math>NM</math> は平行で <math>|CE|^2=(2|NM|)^2=4|NM|^2</math> を満たすことがわかる。最初の式に代入するとこの定理が得られる<ref name=maa/>。

この定理は凸でない四角形や4点が同一平面上にない四辺形にも拡張できる<ref>Geoffrey A. Kandall: ''Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals''. The College Mathematics Journal, Vol. 33, No. 5 (Nov., 2002), pp. 403–404 ([https://www.jstor.org/stable/1559015 JSTOR])</ref>。

== 脚注 ==
<references/>

<!--
== References ==
*Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy: ''The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons''. MAA, 2006, {{ISBN2|9780883855553}}, pp. [https://books.google.com/books?id=I9oVP8TlyqIC&pg=PA137 137–139]
*Lokenath Debnath: ''The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute''. World Scientific, 2010, {{ISBN2|9781848165267}}, pp. [https://books.google.com/books?id=dDfICgAAQBAJ&pg=PA105 105–107]
*C. Edward Sandifer: ''How Euler Did It''. MAA, 2007, {{ISBN2|9780883855638}}, pp. [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA33 33–36]
*Geoffrey A. Kandall: ''Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals''. The College Mathematics Journal, Vol. 33, No. 5 (Nov., 2002), pp.&nbsp;403–404 ([https://www.jstor.org/stable/1559015 JSTOR])
*Dietmar Herrmann: ''Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen''. Springer, 2013, {{ISBN2|9783642376122}}, p. [https://books.google.com/books?id=CDgiBAAAQBAJ&pg=PA418 418]
-->

== 外部リンク ==
{{commonscat|Euler's theorem for quadrilaterals}}
* {{MathWorld|title=Quadrilateral|urlname=Quadrilateral}}

{{DEFAULTSORT:おいらあのしへんけいていり}}
[[Category:四角形に関する定理]]
[[Category:レオンハルト・オイラー]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]