オイラー作用素のソースを表示

{{otheruses|{{mvar|x&sdot;{{fraction|d|dx}}}}|その他|{{仮リンク|オイラー作用素 (曖昧さ回避)|en|Euler operator}}}}
[[数学]]において'''オイラー作用素'''（オイラーさようそ、{{lang-en-short|Euler operator}}）あるいは'''テータ作用素'''（テータさようそ、{{lang-en-short|''theta operator''}}）{{mvar|θ}} は、
: <math>\theta = z {d \over dz} </math>
と定義される[[微分作用素]]である<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/ThetaOperator.html |title=Theta Operator - from Wolfram MathWorld |publisher=Mathworld.wolfram.com |date= |accessdate=2013-02-16}}</ref><ref>{{cite book|last=Weisstein|first=Eric W.|title=CRC Concise Encyclopedia of Mathematics.|year=2002|publisher=CRC Press|location=Hoboken|isbn=1420035223|pages=2976–2983|edition=2nd}}</ref>。オイラー作用素は {{mvar|z}} に関する任意の[[単項式]]を[[固有関数]]に持ち、特に
: <math>\theta (z^k) = k z^k,\quad k=0,1,2,\ldots </math>
を満たす（すなわち、[[斉次多項式]]に作用するとき[[固有値]]としてその次数を返す）から、ときに斉次次数 (''homogeneity'') 作用素とも呼ばれる。{{mvar|n}}-変数における斉次次数作用素 {{mvar|{{unicode|𝜗}}}} は
: <math>\vartheta = \sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial}{\partial x_k}</math>

で与えられる。一変数のときと同様に、{{mvar|{{unicode|𝜗}}}} の[[固有空間]]は[[斉次多項式]]全体から成る空間であり、対応する固有値は斉次多項式の次数である。

{{seealso|{{仮リンク|コーシー&ndash;オイラー作用素|en|Cauchy–Euler operator}}}}

== 注釈 ==
{{reflist}}
==  参考文献==
*{{cite book|last=Watson|first=G.N.|title=A treatise on the theory of Bessel functions|year=1995|publisher=Univ. Press|location=Cambridge|isbn=0521483913|edition=Cambridge mathematical library ed., [Nachdr. der] 2.}}
== 関連項目 ==
* [[微分作用素]]
* [[デルタ作用素]]
* [[楕円型作用素]]
* [[分数階微積分学]]
* {{仮リンク|不変微分演算子|en|Invariant differential operator}}
* [[可換環上の微分法|可換代数上の微分学]]

{{analysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:おいらーさようそ}}
[[Category:微分作用素]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]