オイラー積のソースを表示

{{出典の明記|date=2023年6月}}
'''オイラー積'''（オイラーせき、{{lang-en-short|Euler product}}）は[[ディリクレ級数]]を[[素数]]に関する[[総乗]]の形で表した[[無限積]]である。ディリクレ級数の一種の[[ベルンハルト・リーマン|リーマン]]の[[リーマンゼータ関数|ゼータ関数]]についてこの無限積が成り立つことを証明した18世紀の数学者[[レオンハルト・オイラー]]の名前にちなむ。ディリクレ級数は以下の式の左辺で定義され、右辺がオイラー積表示である。
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{a(n)}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1- \frac{a(p)}{p^s}}</math>

''a''(''n'') は ''n'' に関する[[乗法的関数]]、''p'' は全ての素数にわたり、変数 ''s'' は[[複素数]]である。このような表示が成り立つためには ''a''(''n'') が[[乗法的関数|完全乗法的関数]]、すなわち、 ''a''(1) = 1, ''a''(''mn'') = ''a''(''m'') ''a''(''n'') を全ての[[自然数]] ''m'', ''n'' について満たさなければならない。一般に複素数 ''s'' の[[複素数#定義|実部]] Re(''s'') に対して <math>\operatorname{Re}(s) > C</math> ならば上記の級数（または無限積）が[[絶対収束]]するようなある実数の定数 ''C'' が存在することが知られている。

''a''(''n'') = 1 とおいたとき
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1- \frac{1}{p^s}}</math>
となる。これがリーマンゼータ関数のオイラー積表示である。すなわち
:<math>\frac {1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots = \left( \frac{1}{1- \frac{1}{2^s}} \right) \left( \frac{1}{1- \frac{1}{3^s}} \right) \left( \frac{1}{1- \frac{1}{5^s}} \right) \cdots</math>
これはRe(''s'') > 1 のとき[[収束]]する。

== ゼータ関数に対するオイラー積 ==
リーマンゼータ関数のオイラー積は[[1737年]]にオイラーによって発見された。まずゼータ関数 ''ζ''(''s'') は ''s'' の実部が1より大きいとき、次のように定義される。
:<math> \zeta (s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac {1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots </math>

ここで両辺に最小の素数2の－''s''乗 1/2''<sup>s</sup>'' をかけると
:<math>\frac {1}{2^s} \zeta (s) = \frac {1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots</math>
となり、辺々引くと
:<math> \left(1- \frac {1}{2^s}\right) \zeta (s) = \frac {1}{1^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \cdots</math>

この両辺に今度は2の次の素数3の－''s''乗 1/3<sup>''s''</sup> をかけると

:<math> \frac {1}{3^s} \left(1- \frac {1}{2^s}\right) \zeta (s) = \frac {1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{15^s} + \cdots</math>
となり、再び辺々引くと
:<math> \left(1- \frac {1}{2^s}\right) \left(1- \frac {1}{3^s}\right) \zeta (s) = \frac {1}{1^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots</math>

以下同様に次々と素数の－''s''乗を両辺にかけて前の式から引くという操作を続けると右辺の 1/1''<sup>s</sup>'' 以外の項は（[[素因数分解の一意性]]によって）消えるので

:<math> \left(1- \frac {1}{2^s}\right) \left(1- \frac {1}{3^s}\right) \left(1- \frac {1}{5^s}\right) \left(1- \frac {1}{7^s}\right)  \cdots \zeta (s) = \frac {1}{1^s} = 1</math>
したがってゼータ関数は以下の形で表現される。
:<math>\zeta (s) = \frac{1} {{(1- \frac{1}{2^s})} {(1- \frac{1}{3^s})} {(1- \frac{1}{5^s})} {(1- \frac{1}{7^s})} \cdots }</math>

上記の式に形式的に ''s''=1 を代入すると
:<math>\zeta (1) = \frac{1} {{(1- \frac{1}{2})} {(1- \frac{1}{3})} {(1- \frac{1}{5})} {(1- \frac{1}{7})} \cdots }</math>
ここで左辺は[[調和級数]]であり、正の無限大に[[発散級数|発散]]するので右辺も同様に発散すると考えられる。このことから素数の個数は有限ではないことが導かれる。なぜならもし素数が有限個なら右辺はある有限の値に収束するからである。

== さまざまな関数に対するオイラー積 ==
ゼータ関数については上記のように
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} = \frac{1} {{(1- \frac{1}{2^s})} {(1- \frac{1}{3^s})} {(1- \frac{1}{5^s})} {(1- \frac{1}{7^s})} \cdots } = \zeta (s) </math>
である。いっぽう[[w:Liouville function|リウヴィル関数]] λ(n) については
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac {\lambda (n)}{n^s} = \frac{1} {{(1+ \frac{1}{2^s})} {(1+ \frac{1}{3^s})} {(1+ \frac{1}{5^s})} {(1+ \frac{1}{7^s})} \cdots } = \frac {\zeta (2s)} {\zeta (s)} </math>
[[メビウス関数]] μ(n) では
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac {\mu (n)}{n^s} = \left( 1- \frac{1}{2^s} \right) \left( 1- \frac{1}{3^s} \right) \left( 1- \frac{1}{5^s} \right) \left( 1- \frac{1}{7^s} \right) \cdots = \frac {1}{\zeta (s)}</math>
や左辺の分子の[[絶対値]]をとった
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac {|\mu (n)|}{n^s} = \left( 1+ \frac{1}{2^s} \right) \left( 1+ \frac{1}{3^s} \right) \left( 1+ \frac{1}{5^s} \right) \left( 1+ \frac{1}{7^s} \right) \cdots = \frac {\zeta (s)} {\zeta (2s)} </math>
という無限積が知られている。

== 関連項目 ==
* [[ディリクレ級数]]
* [[リーマンゼータ函数|ゼータ関数]]
* [[レオンハルト・オイラー]]
* [[素因数分解の一意性]]

== 外部リンク ==
* [http://mathworld.wolfram.com/EulerProduct.html Euler Product] -[[MathWorld]]
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=5609 Euler product] -[[PlanetMath]]

{{math-stub}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:おいらあせき}}
[[Category:数論|おいらあせき]]
[[Category:数学に関する記事|おいらあせき]]
[[Category:レオンハルト・オイラー]]
[[Category:数学のエポニム]]