オイラー角のソースを表示

[[Image:Eulerangles.svg|thumb|300px|z-x-z系のオイラー角]]
[[File:Euler2a.gif|thumb|オイラー角アニメーション]]
'''オイラー角'''（オイラーかく、{{lang-en-short|Euler angles}}）とは、三次元ユークリッド空間中の2つの[[直交座標系]]の関係を表現する方法の一つである。
[[レオンハルト・オイラー]]により考案された。
[[剛体]]に固定された座標系を考えることで、剛体の姿勢を表すことができる。

オイラー角は3つの角度の組で表される。
一方の座標系を (''x'', ''y'', ''z'') で表し、他方を (''X'', ''Y'', ''Z'') で表す。簡単のために、2つの座標系は原点を共有するものと考える。
#''z''軸と''Z''軸のなす角度を ''&beta;'' とする。
#''&beta;'' が 0°または180°ではない場合には、''xy''平面と''XY''平面は一つの直線で交わる。この交線を''N''とする。
#''x''軸と交線''N''のなす角度を ''&alpha;'' とし、''X''軸と交線''N''のなす角度を''&gamma;'' とする。

このとき <math>(\alpha,\beta,\gamma)</math> がオイラー角である<ref>[[#landau|ランダウ, リフシッツ『力学』]] pp.138-139</ref>。
オイラー角は座標軸まわりの[[回転]]を繰り返すことで表すこともできる。
#<math>(x,y,z)</math>を''z''軸まわりに角度''&alpha;''回転させ、<math>(x^\prime,y^\prime,z^\prime)</math> とする。
#<math>(x^\prime,y^\prime,z^\prime)</math>を ''x'''軸まわりに角度''&beta;''回転させ、<math>(x'',y'',z'')</math> とする。
# <math>(x'',y'',z'')</math>を <math>z''</math>軸まわりに角度''&gamma;''回転させれば (''X'', ''Y'', ''Z'') となる。

<!--
対象座標系で<math>(X,Y,Z)^T</math>と成分表示されるベクトルの、基準座標系での成分表示は、
:<math>
\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = R_z(\gamma) R_x(\beta) R_z(\alpha) \begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\end{pmatrix}
</math>
ここで、<math>R_x</math>と<math>R_z</math>はそれぞれ x軸とz軸まわりの回転行列で、
:<math>
R_x(\theta) = \begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0 \\
-\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix},
R_z(\theta) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & \sin\theta \\
0 & -\sin\theta & \cos\theta \\
\end{pmatrix}
</math>
-->

上記の定義は ''z''軸-''x''軸-''z''軸の順に回転するので ''z''-''x''-''z''系のオイラー角とよばれる。
実際にはどの軸のまわりに回転させるかに任意性があり、同じ座標系をあらわすのに以下のように全部で
12通りの表現法がある。

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:30em"
|-
| ''x''-''y''-''z'' || ''x''-''z''-''y'' || ''y''-''x''-''z'' || ''y''-''z''-''x'' || ''z''-''x''-''y'' || ''z''-''y''-''x''
|-
| ''x''-''y''-''x'' || ''x''-''z''-''x'' || ''y''-''x''-''y'' || ''y''-''z''-''y'' || ''z''-''x''-''z'' || ''z''-''y''-''z''
|-
|}

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|author=L.D.ランダウ, E.M.リフシッツ
|title=力学
|series=理論物理学教程
|publisher=[[東京図書]]
|isbn=4-489-01160-1
|ref=landau
}}

{{Commons|Euler angles}}
{{physics-stub}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:おいらあかく}}
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[[Category:座標]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:レオンハルト・オイラー]]
[[Category:数学のエポニム]]