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{{要改訳}}
数学において、特に[[代数的位相幾何学|代数トポロジー]]において、[[レオンハルト・オイラー]](Leonhard Euler)の名前のついた'''オイラー類'''(Euler class)は、{{仮リンク|ベクトルバンドルの向き付け|label=向き付けられた|en|Orientation of a vector bundle}}(oriented)実[[ベクトルバンドル]]の[[特性類]]である。他の特性類と同様に、オイラー類は、ベクトルバンドルがどれくらい「ツイストしている」かを測る。オイラー類は古典的概念である[[オイラー標数]]を、滑らかな[[多様体]]の[[接バンドル]]の場合へ一般化したものである。

本記事を通して、''E'' → ''X'' は向き付けられた、ランク ''r'' の実ベクトルバンドルである。
<!--In [[mathematics]], specifically in [[algebraic topology]], the '''Euler class''', named after [[Leonhard Euler]], is a [[characteristic class]] of [[Orientation of a vector bundle|oriented]], real [[vector bundle]]s. Like other characteristic classes, it measures how "twisted" the vector bundle is. In the case of the [[tangent bundle]] of a smooth [[manifold]], it generalizes the classical notion of [[Euler characteristic]].

Throughout this article ''E'' → ''X'' is an oriented, real vector bundle of [[rank of a vector bundle|rank]] ''r''.-->

== 定義 ==
オイラー類 ''e''(''E'') は、次のように構成された整数係数[[コホモロジー群]]

:<math>H^r(X; \mathbf{Z})</math>

の元である。''E'' の[[向き付け]]は、零元 ''F''<sub>0</sub> の補集合 <math>F\setminus F</math> の{{仮リンク|相対コホモロジー|label=相対|en|relative cohomology}}(relative)であるそれぞれのファイバー ''F'' のコホモロジー

:<math>H^r(F, F \setminus F_0; \mathbf{Z})</math>

の生成子を連続的に選択することに相当する。{{仮リンク|トム同型|en|Thom isomorphism}}(Thom isomorphism)より、このコホモロジーは、[[零切断]]の補集合 <math>E\setminus E</math> に相対な ''E'' のコホモロジーの中の'''向き付け類'''(orientation class)

:<math>u \in H^r(E, E \setminus E_0; \mathbf{Z})</math>

を導く。包含関係

:<math>(X, \emptyset) \hookrightarrow (E, \emptyset) \hookrightarrow (E, E \setminus E_0),</math>

ここに ''X'' は零切断として ''E'' に含まれる、は写像

:<math>H^r(E, E \setminus E_0; \mathbf{Z}) \to H^r(E; \mathbf{Z}) \to H^r(X; \mathbf{Z})</math>

を誘導する。'''オイラー類'''(Euler class) ''e''(''E'') はこれらの写像の合成による ''u'' の像である。
<!--== Formal definition ==
The Euler class ''e''(''E'') is an element of the integral [[cohomology]] group 

:<math>H^r(X; \mathbf{Z}),</math>

constructed as follows. An [[orientability|orientation]] of ''E'' amounts to a continuous choice of generator of the cohomology

:<math>H^r(F, F \setminus F_0; \mathbf{Z})</math>

of each fiber ''F'' [[relative cohomology|relative]] to the complement ''F''\''F''<sub>0</sub> of its zero element ''F''<sub>0</sub>. From [[Thom isomorphism]], this induces an '''orientation class'''

:<math>u \in H^r(E, E \setminus E_0; \mathbf{Z})</math>

in the cohomology of ''E'' relative to the complement ''E''\''E''<sub>0</sub> of the [[zero section]] ''E''<sub>0</sub>. The inclusions

:<math>(X, \emptyset) \hookrightarrow (E, \emptyset) \hookrightarrow (E, E \setminus E_0),</math>

where ''X'' includes into ''E'' as the zero section, induce maps

:<math>H^r(E, E \setminus E_0; \mathbf{Z}) \to H^r(E; \mathbf{Z}) \to H^r(X; \mathbf{Z}).</math>

The '''Euler class''' ''e''(''E'') is the image of ''u'' under the composition of these maps.-->

== 性質 ==
オイラー類は、以下の性質を満たし、これらの性質は特性類の公理である。

*'''函手性'''(Functoriality)： ''F'' → ''Y'' が別の向き付けられた、実ベクトルバンドルで、''f'' : ''Y'' → ''X'' が連続で向きを保つ写像 ''F'' → ''E'' により被覆されているとすると、''e''(''F'') = ''f*e''(''E'') である。特に、''e''(''f*E'') = ''f*e''(''E'') である。
*'''[[ハスラー・ホイットニー|ホイットニー]]'''(Whitney)'''の和公式'''： ''F'' → ''X'' を別の向き付けられた実ベクトルバンドルとすると、これらの[[直和]]のオイラー類は、 <math>e(E \oplus F) = e(E) \smile e(F)</math> で与えられる。
*'''正規化'''(Normalization): ''E'' がどこでも 0 とならない切断を持つと、''e''(''E'') = 0 である。
*'''向き'''(Orientation): {{overline|''E''}} を ''E'' とは反対の向きとすると、''e''({{overline|''E''}}) = −''e''(''E'') である。

「正規化」は、オイラー類によって 0 にはならない切断の存在が分かるという性質であることに注意する。

他の特性類とは「異なり」、オイラー類はひとつの次元に集中していて、バンドル ''e''(''E'') ∈ ''H<sup>r</sup>'' のランクに依存している。すなわち、''e''<sub>0</sub>, ''e''<sub>1</sub>, .... があるわけではない。特に、''c''<sub>0</sub>(''E'') = ''p''<sub>0</sub>(''E'') = 1 ∈ ''H''<sup>0</sup>(''X''; '''Z''') であり、''w''<sub>0</sub>(''E'') = 1 ∈ ''H''<sup>0</sup>(''X''; '''Z'''/2'''Z''') であるが、''e''<sub>0</sub> は存在しない。このことは、以下に述べるように、オイラー類が[[#不安定|不安定]]であるという事実を反映している。
<!--== Properties ==
The Euler class satisfies these properties, which are axioms of a characteristic class:

*'''Functoriality:''' If ''F'' → ''Y'' is another oriented, real vector bundle and ''f'' : ''Y'' → ''X'' is continuous and covered by an orientation-preserving map ''F'' → ''E'', then ''e''(''F'') = ''f*e''(''E''). In particular, ''e''(''f*E'') = ''f*e''(''E'').
*'''[[Hassler Whitney|Whitney]]''' '''sum formula:''' If ''F'' → ''X'' is another oriented, real vector bundle, then the Euler class of their [[direct sum of vector bundles|direct sum]] is given by <math>e(E \oplus F) = e(E) \smile e(F).</math>
*'''Normalization:''' If ''E'' possesses a nowhere-zero section, then ''e''(''E'') = 0.
*'''Orientation:''' If {{overline|''E''}} is ''E'' with the opposite orientation, then ''e''({{overline|''E''}}) = −''e''(''E'').

Note that "Normalization" is a distinguishing feature of the Euler class, so that it detects the existence of a non-vanishing section

Also ''unlike'' other characteristic classes, it is concentrated in a single dimension, which depends on the rank of the bundle: ''e''(''E'') ∈ ''H<sup>r</sup>'' — there are no ''e''<sub>0</sub>, ''e''<sub>1</sub>, .... In particular, ''c''<sub>0</sub>(''E'') = ''p''<sub>0</sub>(''E'') = 1 ∈ ''H''<sup>0</sup>(''X''; '''Z''') and ''w''<sub>0</sub>(''E'') = 1 ∈ ''H''<sup>0</sup>(''X''; '''Z'''/2'''Z'''), but there is no ''e''<sub>0</sub>. This reflects the fact that the Euler class is [[#Unstable|unstable]], as discussed below.-->

=== 切断の消滅 ===
（''X'' を向き付けられた滑らかな閉多様体というような）緩やかな条件の下で、オイラー類は、次のような方法で ''E'' の切断が消滅する（0 となる）ことへ対応する。σ : ''X'' → ''E'' を{{仮リンク|本質的性質|label=本質的に|en|generic property}}(generic)滑らかな切断とし、''Z'' ⊆ ''X'' をその軌跡とすると、''Z'' は ''X'' の余次元 ''r'' の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]類 [''Z''] を表し、''e''(''E'') は [''Z''] の[[ポアンカレ双対]]を表す。

=== 自己交叉 ===
たとえば、''Y'' をコンパクト多様体とすると、''X'' の中の ''Y'' の{{仮リンク|法バンドル|en|normal bundle}}(normal bundle)は自然に ''X'' の中での ''Y'' の{{仮リンク|自己交叉|en|self-intersection}}(self-intersection)と同一視できる。
<!--=== Vanishing of section ===
Under mild conditions (such as ''X'' a smooth, closed, oriented manifold), the Euler class corresponds to the vanishing of a section of ''E'' in the following way. Let σ : ''X'' → ''E'' be a [[generic property|generic]] smooth section and ''Z'' ⊆ ''X'' its zero locus. Then ''Z'' represents a [[homology (mathematics)|homology]] class [''Z''] of [[codimension]] ''r'' in ''X'', and ''e''(''E'') is the [[Poincaré dual]] of [''Z''].

=== Self-intersection ===
For example, if ''Y'' is a compact submanifold, then the Euler class of the [[normal bundle]] of ''Y'' in ''X'' is naturally identified with the [[self-intersection]] of ''Y'' in ''X''.-->

== 他の不変量との関係 ==
問題のバンドル ''E'' がコンパクトで向き付けられた ''r''-次元多様体の接バンドルである特別な場合は、オイラー類は多様体のコホモロジーの最高次数の元であり、自然に[[基本類|基本ホモロジー類]]上の整数係数のコホモロジー類と同一視される。この同一視により、接バンドルのオイラー類は、多様体のオイラー標数に等しくなる。特性数の言葉では、[[オイラー標数]]はオイラー類に対応する特性数である。

このように、オイラー類は接バンドル以外へのオイラー標数の一般化であり、ベクトルバンドル以外の特性類の原型となった。それぞれの最高次数の特性類は、次のようにオイラー類である。

2 による剰余をとることは、写像

:<math>H^r(X, \mathbf{Z}) \to H^r(X, \mathbf{Z}/2)</math>

を引き起こす。この写像によりオイラー類の像は、最高次数の[[スティーフェル・ホイットニー類]] ''w<sub>r</sub>''(''E'') である。スティーフェル・ホイットニー類は、向き付けを無視したオイラー類とみなすこともできる。

複素ランク ''d'' の複素ベクトルバンドル ''V'' は実ランク 2''d'' の向き付けられた実ベクトルバンドルとみなすことができる。複素ベクトルバンドルの最高次数の[[チャーン類]] ''c<sub>d</sub>''(''V'') は、実バンドルのオイラー類 ''e''(''E'') に等しい。

ホットニー和 ''E'' ⊕ ''E'' は、ランク ''r'' の複素ベクトルバンドルである ''E'' の複素化 ''E'' ⊗ '''C''' に同型である。オイラー類と比較すると、

:<math>e(E) \cup e(E) = e(E \oplus E) = e(E \otimes \mathbf{C}) = c_r(E \otimes \mathbf{C}) \in H^{2r}(X, \mathbf{Z})</math>

であることが分かる。
<!--== Relations to other invariants ==
In the special case when the bundle ''E'' in question is the tangent bundle of a compact, oriented, ''r''-dimensional manifold, the Euler class is an element of the top cohomology of the manifold, which is naturally identified with the integers by evaluating cohomology classes on the [[fundamental class|fundamental homology class]]. Under this identification, the Euler class of the tangent bundle equals the Euler characteristic of the manifold. In the language of [[characteristic number]]s, the Euler characteristic is the characteristic number corresponding to the Euler class.

Thus the Euler class is a generalization of the Euler characteristic to vector bundles other than tangent bundles. In turn, the Euler class is the archetype for other characteristic classes of vector bundles, in that each "top" characteristic class equals the Euler class, as follows.

Modding out by 2 induces a map

:<math>H^r(X, \mathbf{Z}) \to H^r(X, \mathbf{Z}/2).</math>

The image of the Euler class under this map is the top [[Stiefel-Whitney class]] ''w<sub>r</sub>''(''E''). One can view this Stiefel-Whitney class as "the Euler class, ignoring orientation".

Any complex vector bundle ''V'' of complex rank ''d'' can be regarded as an oriented, real vector bundle ''E'' of real rank 2''d''. The top [[Chern class]] ''c<sub>d</sub>''(''V'') of the complex bundle equals the Euler class ''e''(''E'') of the real bundle.

The Whitney sum ''E'' ⊕ ''E'' is isomorphic to the complexification ''E'' ⊗ '''C''', which is a complex bundle of rank ''r''. Comparing Euler classes, we see that

:<math>e(E) \cup e(E) = e(E \oplus E) = e(E \otimes \mathbf{C}) = c_r(E \otimes \mathbf{C}) \in H^{2r}(X, \mathbf{Z}).</math>-->

===ポントリャーギン類の平方===
ランク ''r'' が偶数であれば、コホモロジー類 <math>e(E) \cup e(E)</math> は[[ポントリャーギン類]] ''p''<sub>''r''/2</sub>(''E'') に等しい。
<!--===Squares to top Pontryagin class===
If the rank ''r'' is even, then this cohomology class <math>e(E) \cup e(E)</math> equals the top [[Pontryagin class]] ''p''<sub>''r''/2</sub>(''E'').-->

===不安定===
他の特性類とは異なり、{{仮リンク|安定ホモトピー論|en|stable homotopy theory}}(stable homotopy theory)の意味で、オイラー類は'''不安定'''である。不安定を具体的にいうと、このことは 1 が自明バンドルとすると、''e''(''V'' ⊕ 1) ≠ ''e''(''V'') となることを意味し、安定はこれらが等しいことを意味する。実際、自明バンドルを加えることは、明白な切断を加えることであり、つまり、自明な成分上に定数を与え、他は 0 で、''e''(''V'' ⊕ 1) = 0 とすることである。

さらに具体的には、''k''-次元バンドルのオイラー類を表す[[分類空間]] [[:en:BO(n)|BSO(''k'')]] は不安定類であり、包含写像 BSO(''k'') → BSO(''k''+1) で BSO(''k''+1) の引き戻しではなくなる。直感的いうと、「次元の独立に整合性が定義されて」はいないことになる。

直感的には、オイラー類は次数がバンドル（多様体上であれば接バンドル）の次元に独立な類であることが分かる。オイラー類は常に最高次元であることに対し、他の特性類は固定された次元（第一スティーフェル・ホイットニー類であれば ''H''<sup>1</sup> の中に定義される、などなど）を持っている。

オイラー類が不安定であるという事実は、「欠陥」とは見なすべきではない。むしろ、安定ホモトピーの観点からは、「不安定現象」を検出するオイラー類ということを意味する。たとえば、球面の接バンドルは、安定自明であるが自明ではない（普通の球面の包含写像 '''S'''<sup>''n''</sup> ⊂ '''R'''<sup>''n''+1</sup> は自明な法バンドルであり、従って、球面の接バンドルに自明バンドルを加えるとユークリッド空間の接バンドルとなり、制限写像 '''S'''<sup>''n''</sup> は自明であるのであるが、）。このように、他の特性類は球面ではすべて 0 となるが、オイラー類は偶数次元の球面に対しては 0 とはならず、非自明な不変量となる。
<!--===Unstable===
Unlike the other characteristic classes, the Euler class is ''unstable,'' in the sense of [[stable homotopy theory]]. Concretely, this means that if 1 is a trivial bundle, then ''e''(''V'' ⊕ 1) ≠ ''e''(''V''); stable would mean that these are equal. In fact, adding a trivial bundle gives an obvious section, namely a constant on the trivial component, and 0 on the other, thus ''e''(''V'' ⊕ 1) = 0.

More abstractly, the cohomology class in the [[classifying space]] [[BO(n)|BSO(''k'')]] that represents the Euler class of a ''k''-dimensional bundle is an unstable class: it is not the pull-back of a class in BSO(''k''+1) under the inclusion BSO(''k'') → BSO(''k''+1). Intuitively, it is not "consistently defined independently of dimension".

This can be seen intuitively in that the Euler class is a class whose degree depends on the dimension of the bundle (or manifold, if the tangent bundle): it is always of top dimension, while the other classes have a fixed dimension (the first Stiefel-Whitney class is in ''H''<sup>1</sup>, etc.).

The fact that the Euler class is unstable should not be seen as a "defect": rather, from the point of view of stable homotopy, it means that the Euler class "detects unstable phenomena". For instance, the tangent bundle of spheres is stably trivial but not trivial (the usual inclusion of the sphere '''S'''<sup>''n''</sup> ⊂ '''R'''<sup>''n''+1</sup> has trivial normal bundle, thus the tangent bundle of the sphere plus a trivial line bundle is the tangent bundle of Euclidean space, rectricted to '''S'''<sup>''n''</sup>, which is trivial), thus other characteristic classes all vanish for the sphere, but the Euler class does not vanish for even spheres, providing a non-trivial invariant.-->

== 例 ==

=== 球面 ===
[[N-球面|label=''n''-次元球面]] '''S'''<sup>''n''</sup> のオイラー標数は、
:<math>\chi(\mathbf{S}^n) = 1 + (-1)^n = \begin{cases}
2 & n\text{ even}\\
0 & n\text{ odd}.
\end{cases}</math>
である。従って、偶数次元の球面の接バンドルには 0 となるような切断は存在しないので、接バンドルは非自明である。つまり、'''S'''<sup>2''n''</sup> {{仮リンク|平行化可能多様体|en|parallelizable manifold}}(parallelizable manifold)ではなく、特に、[[リー群]]の構造を持たない。

奇数次元の球面 '''S'''<sup>2''n''−1</sup> ⊂ '''R'''<sup>2''n''</sup> に対しては、どこでも 0 とならない切断は、
:<math>(x_2,-x_1,x_4,-x_3,\dots,x_{2n},-x_{2n-1})</math>
で与えられ、オイラー類が消滅することを示している。これはまさに、円の上の普通の切断の ''n'' 個のコピーである。

偶数次元の球面のオイラー類が 2['''S'''<sup>2''n''</sup>] ∈ ''H''<sup>2''n''</sup>('''S'''<sup>2''n''</sup>, '''Z''') と対応するように、2つのバンドルのホイットニー和のオイラー類は 2つのバンドルのオイラー類のカップ積であるという事実を使うと、偶数次元の球面の接バンドルには非自明な部分バンドルが存在しないことが分かる。

球面の接バンドルは、安定的自明バンドルであるが自明なバンドルではないので、すべての他の特性類はその上では消滅し、オイラー類は単に、球面の接バンドルの非自明性を検出する通常のコホモロジー類である。さらに深い結果を証明するには、{{仮リンク|第二コホモロジー作用素|en|secondary cohomology operation}}(secondary cohomology operation)や [[K-理論]]を使う必要がある。

==== 円 ====
円筒は、円の上のラインバンドルであり、自然な射影 '''R''' × '''S'''<sup>1</sup> → '''S'''<sup>1</sup> がある。この射影はラインバンドルであるので、どこでも 0 となる切断をもり、従って、オイラー類は 0 である。円筒は円上の接バンドルとも同型であり、オイラー類が 0 であるという事実は、円のオイラー標数が 0 であるという事実と対応している。
<!--== Examples ==

=== Spheres ===
The Euler characteristic of the [[N-sphere|''n''-sphere]] '''S'''<sup>''n''</sup> is:
:<math>\chi(\mathbf{S}^n) = 1 + (-1)^n = \begin{cases}
2 & n\text{ even}\\
0 & n\text{ odd}.
\end{cases}</math>
Thus, there is no non-vanishing section of the tangent bundle of even spheres, so the tangent bundle is not trivial—i.e., '''S'''<sup>2''n''</sup> is not a [[parallelizable manifold]], and in particular does not admit a [[Lie group]] structure.

For odd spheres, '''S'''<sup>2''n''−1</sup> ⊂ '''R'''<sup>2''n''</sup>, a nowhere vanishing section is given by
:<math>(x_2,-x_1,x_4,-x_3,\dots,x_{2n},-x_{2n-1})</math>
which shows that the Euler class vanishes; this is just ''n'' copies of the usual section over the circle.

As the Euler class for an even sphere corresponds to 2['''S'''<sup>2''n''</sup>] ∈ ''H''<sup>2''n''</sup>('''S'''<sup>2''n''</sup>, '''Z'''), we can use the fact that the Euler class of a Whitney sum of two bundles is just the cup product of the Euler class of the two bundles to see that there are no non-trivial subbundles of the tangent bundle of an even sphere.

Since the tangent bundle of the sphere is stably trivial but not trivial, all other characteristic classes vanish on it, and the Euler class is the only ordinary cohomology class that detects non-triviality of the tangent bundle of spheres: to prove further results, one must use [[secondary cohomology operation]]s or [[K-theory]].

==== Circle ====
The cylinder is a line bundle over the circle, by the natural projection '''R''' × '''S'''<sup>1</sup> → '''S'''<sup>1</sup>. It is a trivial line bundle, so it possesses a nowhere-zero section, and so its Euler class is 0. It is also isomorphic to the tangent bundle of the circle; the fact that its Euler class is 0 corresponds to the fact that the Euler characteristic of the circle is 0.-->

== 参照項目 ==
* {{仮リンク|ヴァンデルモンデ多項式|en|Vandermonde polynomial}}(Vandermonde polynomial)
* {{仮リンク|トム同型|en|Thom isomorphism}}(Thom isomorphism)
* [[一般ガウス・ボネの定理]]

=== 他の特性類 ===
* [[チャーン類]]
* [[ポントリャーギン類]]
* [[スティーフェル・ホイットニー類]]

== 参考文献 ==
*{{cite book | author=[[Raoul Bott|Bott, Raoul]] and Tu, Loring W. | title=Differential Forms in Algebraic Topology |
publisher=Springer-Verlag | year=1982 | isbn=0-387-90613-4 }}
*{{cite book | author=Bredon, Glen E. | author-link=Glen Bredon | title=Topology and Geometry | publisher=Springer-Verlag | year=1993 | isbn= 0-387-97926-3 }}
*{{cite book | author1-link=John Milnor | author1=Milnor, John W. | author2=Stasheff, James D. | title=Characteristic Classes |
publisher=Princeton University Press | year=1974 | isbn=0-691-08122-0 }}

{{DEFAULTSORT:おいらあるい}}
[[Category:特性類]]
[[Category:数学に関する記事]]