オメガ定数のソースを表示

{{Otheruses|数学定数|チャイティンのオメガ定数|チャイティンの定数}}

'''オメガ定数'''(オメガていすう、{{en|omega constant}}) とは、

{{Indent|<math> \Omega \times e^{\Omega} = 1 </math>}}

を満たす[[数学定数]]であり、およそ Ω ＝ 0.5671432904097838729999686622… である。

また、

{{Indent|<math>\Omega = W(1) \,</math>}}

とも定義できる（ただし、W: [[ランベルトのW関数]]）。「オメガ定数」という名前は、ランベルトのW関数の別称、「オメガ関数」によるものである。

オメガ定数は、[[黄金比]]に似た性質を持っている。これは

{{Indent|<math> e^{-\Omega}=\Omega \,</math>}}

が、

{{Indent|<math> \ln (1/\Omega) = \Omega \,</math>}}

と同値であるということである。このことから、初期値 Ω<sub>0</sub> から始めて、Ω が[[漸化式]]

{{Indent|<math> \Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}</math>}}

を用いて反復計算できることがわかる。この[[数列]]は

{{Indent|<math>\lim_{n \to \infty} \Omega_n = \Omega </math>}}

に[[収束]]する。


== 無理性 ==
Ω が[[無理数]]であることは、「''[[ネイピア数|e]]'' がすでに[[超越数]]であることが証明されている」事実を前提に、[[背理法]]で証明できる。

Ω を[[有理数]]と仮定すれば、次式を満たす[[整数]] ''p'', ''q'' が存在する。

{{Indent|<math> \frac{p}{q} = \Omega </math>}}

これをオメガ定数の定義式に代入すれば、
{{Indent|
<math> 1 = \frac p q e^\frac p q </math><br />
<math> e^p = \left( \frac q p \right) ^ q </math>
}}
これは、''e'' が ''p'' 次の[[代数的数]]であることを示しているが、''e'' は超越数であると証明されているため、[[背理法]]により Ω は無理数でなければならない。

== その他  ==
高さが無限大の[[テトレーション]] <math>{(\frac{1}{e})}^{{(\frac{1}{e})}^{.^{.^{{(\frac{1}{e})}}}}}</math> の[[極限]]は、オメガ定数 Ω に[[収束]]する。

また、<math>{(\frac{1}{\Omega})}^{(\frac{1}{\Omega})}</math>の値は、''[[ネイピア数|e]]'' に等しい。

== 関連記事 ==
* [[ランベルトのW関数]]

== 脚注 ==
<references/>

== 外部リンク ==
* Eric W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/OmegaConstant.html Omega Constant] at [[MathWorld]]

== 参考文献 ==
*{{cite book|和書
|author = 真実のみを記す会
|title = Ω1000000桁表
|publisher = [[暗黒通信団]]
|id = ISBN 978-4-87310-217-7
|year = 2014
}}

 
{{DEFAULTSORT:おめかていすう}}
[[Category:数学定数]]
[[Category:超越数]]
[[Category:数学に関する記事]]