カイザー窓のソースを表示

[[画像:Kaiser-window.png|right|thumb|400px|Kaiser window function for ''n''=100 and &alpha;= 0.5,1,2,4,8,16.]]
'''カイザー窓'''（カイザーまど、'''Kaiser window'''）は[[デジタル信号処理]]で使用される準最適の[[窓関数]] ''w''<sub>''k''</sub> である。そして公式
:<math>w_k = \left\{ \begin{matrix} \displaystyle\frac{ I_0 \left\{ \pi \alpha \sqrt{ 1 - (\frac{2k}{n-1} - 1) ^ 2 } \right\} }{ I_0( \pi \alpha ) } & \mbox{if } 0 \leq k \leq n \\ 0 & \mbox{otherwise} \\ \end{matrix} \right.</math>
によって定義されている。ここで ''I''<sub>0</sub> は第1種の0次の[[ベッセル関数#変形ベッセル関数|変形ベッセル関数]]であり、&alpha; は窓の形状を決める任意の実数である、そして整数 ''n'' は窓の長さである。

定義から、この関数は常に ''k'' = ''n''/2、すなわち窓の中心でピークをもち、そして窓の端に向かって[[指数関数]]的に減衰する。

&alpha; の値が大きくなるほど窓は狭くなっていく。&alpha; = 0　は長方形窓に相当する。逆に言えば、より大きい &alpha; に対して、メインローブの幅は ''w''<sub>''k''</sub> の[[フーリエ変換]]後の空間で増加し、サイドローブは振幅で減衰する。このようにしてこのパラメータはメインローブの幅とサイドローブの領域を支配している。&alpha; を大きくするほどカイザー窓の形状は[[ガウス関数|ガウス型関数]]に近似したものとなる。

他の窓関数では、変更可能なパラメータが無く、得られるダイナミックレンジが固定されている場合が多いが、カイザー窓の場合は&alpha;の値を大きくするだけで、ダイナミックレンジを自由に広く取ることが可能である。

==カイザー-ベッセル派生 (KBD) 窓==
関連した窓関数は '''カイザー-ベッセル派生''' (Kaiser-Bessel derived; KBD) 窓である、これは[[修正離散コサイン変換]] (MDCT) での使用に適当であるように設計されたものである。

KBD 窓関数 ''d''<sub>''k''</sub> はカイザー窓 ''w''<sub>''k''</sub> の項で、公式
[[Image:Kbd-window.jpg|right|thumb|250px|KBD window function for ''M'' = 128 and πα = 2, 8, 24, 100.]]
:<math>d_k = \left\{ \begin{matrix}\sqrt{\frac{\sum_{j=0}^{k} w_j} {\sum_{j=0}^{n} w_j}} & \mbox{if } 0 \leq k < n \\ \\ \sqrt{\frac{\sum_{j=0}^{2n-1-k} w_j} {\sum_{j=0}^{n} w_j}} & \mbox{if } n \leq k < 2n \\ \\ 0 & \mbox{otherwise} \\ \end{matrix} \right.</math>
で定義される。

これは長さ 2''n'' の窓を定義している。ここで定義から ''d''<sub>''k''</sub> はMDCTに対する次のプリンセン-ブラッドレイ条件を満たす：
''d''<sub>''k''</sub><sup>2</sup>+''d''<sub>''k''+''n''</sub><sup>2</sup> = 1（''w''<sub>''n''-''k''</sub> = ''w''<sub>''k''</sub> を用いて示される）。

KBD 窓はもう1つの MDCT 条件である対称性 ''d''<sub>''k''</sub> = ''d''<sub>2''n''-1-''k''</sub> も満たす。

===応用===
KBD 窓関数は[[AAC|Advanced Audio Coding]]デジタル音声フォーマットで使われている。

==参考文献==
* A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, and J. R. Buck, ''Discrete-Time Signal Processing'' (Prentice-Hall, 1999).
* J. F. Kaiser, "Digital Filters," ''System Analysis by Digital Computer'' chap. 7 (Wiley: New York, 1966); F. F. Kuo and J. F. Kaiser, eds.
* [http://ccrma-www.stanford.edu/courses/422/projects/kbd/ KBD Window Page]
* {{Wayback|url=http://www9.ocn.ne.jp/~hkato111/ |title=H.Kato web page |date=20030807234258}}

[[Category:信号処理|かいさあまと]]