カオスの縁のソースを表示

'''カオスの縁'''（カオスのふち、{{lang-en|edge of chaos}}）とは、[[クリストファー・ラングトン]]により発見され、[[ノーマン・パッカード]]により名付けられた、[[セルオートマトン]]における概念{{Sfn|Schiff|2011|p=77}}。振る舞いが秩序からカオスへ移るような[[システム]]において、秩序とカオスの境界に位置する領域{{Sfn|井庭・福原|1998|p=76}}。[[複雑系]]や[[人工生命]]、[[生命]]の[[進化]]などの研究において着目されてきた{{Sfn|Mitchell|1993|p=2}}。[[理論生物学]]においては、[[スチュアート・カウフマン]]による、生命の発生と進化には[[自然淘汰]]の他に[[自己組織化]]が必要であり、進化の結果、生命は「カオスの縁」で存在するという仮説がよく知られる{{Sfn|井庭・福原|1998|p=133}}{{Sfn|カウフマン|2008|pp=61&ndash;62}}。

==セル・オートマトン==
1980年代初頭から[[スティーブン・ウルフラム]]は1次元セル・オートマトンのルール（遷移関数）ごとの挙動を調査し、その挙動を以下のように4つにクラス分けした{{Sfn|Schiff|2011|pp=73&ndash;76}}{{Sfn|井庭・福原|1998|pp=83&ndash;84}}。
*クラスI：均一な一定状態に漸近する挙動
*クラスII：周期的な状態に漸近する挙動
*クラスIII：ランダムな状態を維持する挙動
*クラスIV：他のクラスほど厳密に定義されないが、上記の3クラスに当てはまらない挙動
ウルフラムはクラスIからIIIまでに対し、[[力学系]]の挙動とアナロジー的に該当するものを当て嵌めている{{Sfn|高橋|1990|pp=266&ndash;267}}。
*クラスI：安定[[不動点]]
*クラスII：[[リミットサイクル]]
*クラスIII：[[カオス理論|カオス]]
ウルフラムによればクラスIVについては該当する力学系の挙動が存在しない{{Sfn|高橋|1990|p=269}}。クラスIVでは非常に複雑な挙動が起こる。いくつかの局所的な構造が生み出され、それらはセル空間内を移動し、相互作用を起こし合う{{Sfn|Schiff|2011|p=76}}。また、ある初期値では全て一定状態に漸近したり、別の初期値では周期的状態に漸近したり、ランダム状態を維持したりなどの変化も見せる{{Sfn|高橋|1990|p=269}}。以下の図はウルフラムのルール番号によってルール110と呼ばれるルールを採用したときのセル・オートマトンの挙動（時間発展）を示している。初期配置は黒一点のみが存在する場合である。クラスIVに分類される{{Sfn|Schiff|2011|p=77}}。
[[File:CA rule110s.png|center|650px]]


クリストファー・ラングトンはクラスIVについてさらに調べるために、次のようなパラメータを導入した{{Sfn|井庭・福原|1998|p=84}}。
:<math>\lambda = \frac{k^\rho-n_q}{k^\rho}</math>
ここで、''k'' は状態数、 ''ρ'' は近傍数を意味し、''k<sup>ρ</sup>'' は可能な近傍の状態数となる{{Sfn|Schiff|2011|p=45}}。状態数 ''k'' の内の任意な一つの状態 ''q'' を「静止状態」と呼ぶとする{{Sfn|Mitchell|1993|p=6}}。''n<sub>q</sub>'' は ''k<sup>ρ</sup>'' の内の次の時刻に静止状態（すなわち ''q'' ）となる数を示す{{Sfn|Schiff|2011|p=45}}。''λ'' は静止状態とならない割合を示しており、一般には ''λ'' パラメータなどと呼ばれる{{Sfn|井庭・福原|1998|p=84}}。あるいは、ラングトン自身は ''λ'' パラメータのことを「あるレベルの挙動の複雑さに関連する統計量」と位置づけている{{Sfn|Schiff|2011|p=81}}。

''n<sub>q</sub>'' の最小から最大までの範囲は、0 &le; ''n<sub>q</sub>'' &le; ''k<sup>ρ</sup>'' なので、''λ'' の範囲は 0 &le; ''λ'' &le; 1 となる。ラングトンによれば、''λ'' = 0 で最少である[[複雑性]]は、''λ'' の増加とともにも複雑性も増加し、''λ'' がある値となったところで極大となり、その後は複雑性は減少していき、''λ'' = 1 でまた最少となる{{Sfn|Langton|1990|p=32}}。複雑性が極大となる臨界値は ''λ<sub>c</sub>'' で表される。ウルフラムのクラスと一緒にまとめると、挙動とクラスと ''λ'' パラメータは以下のような関係の下に変化する{{Sfn|Mitchell|1993|p=6}}{{Sfn|Schiff|2011|p=82}}。

{|style="border-spacing: 2px; border: 1px solid darkgray; margin:0 auto; width: 70%; text-align:right"
|-
|挙動：|| 不動点|| || 周期的|| ||"複雑"|| ||カオス{{0}}
|-
|ウルフラムのクラス： ||クラス I|| &rArr; || クラスII||&rArr;||クラスIV||&rArr;||クラスIII{{0}}
|-
|''λ'' パラメータ：|| 0 ||  || ||  || ''λ<sub>c</sub>'' || ||
|}
ただし、上記の区分は ''k'' や ''ρ'' が大きな値のときは良く機能するが、小さいときはあまりうまく働かない{{Sfn|Schiff|2011|p=82}}{{Sfn|井庭・福原|1998|p=85}}。

このように、クラスIVはカオス的・ランダム的振る舞いと秩序的・静的振る舞いの境界に存在し、この領域を「カオスの縁」と呼ぶ{{Sfn|Schiff|2011|pp=76&ndash;77}}{{Sfn|井庭・福原|1998|p=87}}。

==脚注==
{{Reflist|2}}

==参照文献==
*{{Cite book ja-jp
|author = Joel Linn Schiff
|translator=足立進・磯川悌次郎・今井克暢・小松崎俊彦・李佳
|others=梅雄博司・Ferdinand Peper（監訳）
|year= 2011年
|title = セルオートマトン
|publisher = 共立出版
|edition=初版
|isbn = 978-4-320-12295-6
|ref={{Sfnref|Schiff|2011}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 井庭崇・福原義久
|year= 1998年
|title = 複雑系入門―知のフロンティアへの冒険
|publisher = NTT出版
|edition=初版
|isbn = 4-87188-560-7
|ref={{Sfnref|井庭・福原|1998}}
}}
*{{cite book ja-jp 
|title=カオス―カオス理論の基礎と応用
|chapter    = セルオートマトンにおけるカオスとフラクタル
|author=高橋智
|editor=合原一幸
|publisher=サイエンス社 
|year=1990
|edition=初版
|isbn= 4-7819-0592-7
|ref= {{Sfnref|高橋|1990}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = スチュアート・カウフマン
|translator=森弘之・五味壮平・藤原進
|others=米沢富美子（監訳）
|series=ちくま学芸文庫
|year= 2008年
|title = 自己組織化と進化の論理─宇宙を貫く複雑系の法則 
|publisher = 筑摩書房
|edition=初版
|isbn = 978-4-480-09124-6
|ref={{Sfnref|カウフマン|2008}}
}}
*{{Cite journal
 |author1=Melanie Mitchell
 |author2=Peter T. Hraber
 |author3=James P. Crutchfield
 |title=Revisiting the Edge of Chaos: Evolving Cellular Automata to Perform Computations 
 |journal=SFI Working Paper
|url=http://www.santafe.edu/research/working-papers/abstract/b844be5bf9c3d5e37658a77978f2e2ed/
 |year=1993
 |publisher=Santa Fe Institute
 |pages=1&ndash;39
|ref={{Sfnref|Mitchell|1993}}
 }}
*{{Cite journal
 |author=Chris G. Langton
 |title=Computation at the edge of chaos: Phase transitions and emergent computation
 |journal=Physica D: Nonlinear Phenomena
|doi=10.1016/0167-2789(90)90064-V
 |year=1990
|volume=42
|issue= 1&ndash;3
 |publisher=Elsevier 
 |pages=12&ndash;37
|ref={{Sfnref|Langton|1990}}
 }}

{{DEFAULTSORT:かおすのふち}}
[[Category:セル・オートマトン]]
[[Category:複雑系]]
[[Category:カオス理論]]