カシュ環のソースを表示

[[環論]]という[[抽象代数学]]の分野において、'''右カシュ環''' (right Kasch ring) とは[[環 (数学)|環]] ''R'' であってすべての[[単純加群|単純]]右 ''R'' [[環上の加群|加群]]が ''R'' の[[右イデアル]]に同型であるようなものである<ref>このイデアルは必ず[[極小右イデアル]]である。</ref>。同様に'''左カシュ環'''の概念が定義され、2つの概念は互いに独立である。

カシュ環は数学者[[フリードリヒ・カシュ]] (Friedrich Kasch) に敬意を表して名づけられている。カシュはもともと真の[[イデアル]]が零でない[[零化域]]を持つような[[アルティン環]]を ''S-環'' (S-ring) と呼んでいた {{harv|Kasch|1954}}{{harv|Morita|1966}}。以下の特徴づけはカシュ環が S-環を一般化したものであることを示している。

==定義==
同値な定義を右カシュ環に対してのみ紹介する。左カシュ環に対しても同様のことが正しい。カシュ条件には[[零化イデアル]]の概念を用いたいくつかの同値条件があり、この記事では零化イデアルの記事に現れるのと同じ表記を用いる。

導入部で与えられた定義に加えて、以下の性質は環 ''R'' が右カシュであるための同値な定義である。{{harv|Lam|1999|loc=p. 281}} に書かれている。
# すべての単純右 ''R'' 加群 ''S'' に対して、''M'' から ''R'' への非零加群[[準同型]]が存在する。
# ''R'' の[[極大右イデアル]]は環の元の右零化イデアルである、つまり、各極大右イデアルは <math>\mathrm{r.ann}(x)\,</math>, ただし ''x'' は ''R'' の元、の形である。
# ''R'' の任意の極大右イデアル ''T'' に対して、<math>\mathrm{\ell.ann}(T)\neq\{0\}</math> である。
# ''R'' の任意の真の右イデアル ''T'' に対して，<math>\mathrm{\ell.ann}(T)\neq\{0\}</math> である。
# ''R'' の任意の極大右イデアル ''T'' に対して、<math>\mathrm{r.ann}(\mathrm{\ell.ann}(T))=T</math> である。
# ''R'' は[[稠密部分加群|稠密]]右イデアルを ''R'' 自身を除いて持たない。

==例==
以下の内容は {{harv|Faith|1999|loc=p. 109}}, {{harv|Lam|1999|loc=§§8C,19B}}, {{harv|Nicholson|Yousif|2003|loc=p.51}} などの文献において見つかる。

* ''R'' を[[半準素環]]とし ''J'' をその[[ジャコブソン根基]]とする。''R'' が可換であるかまたは ''R''/''J'' が[[単純環]]であるならば、''R'' は右カシュ（かつ左カシュ）である。とくに、可換[[アルティン環]]は右かつ左カシュである。

* 可除環 ''k'' に対し、''k'' の元を成分とする4次正方行列環のある部分環 ''R'' を考える。部分環 ''R'' は次の形の行列からなる：
:: <math>\begin{bmatrix}
a & 0 & b & c \\
0 & a & 0 & d \\
0 & 0 & a & 0 \\
0 & 0 & 0 & e \end{bmatrix}</math>
:これは右かつ左アルティン環であり、右カシュであるが、左カシュ''ではない''。
* ''S'' を体 ''F'' に係数を持つ2つの非可換な変数 ''X'', ''Y'' 上の[[冪級数]]の環とする。イデアル ''A'' を二元 ''YX'', ''Y''<sup>2</sup> によって生成されたイデアルとする。[[商環]] ''S''/''A'' は[[局所環]]であり右カシュであるが左カシュ''ではない''。
* ''R'' を無限個の例でない環 ''A''<sub>k</sub> たちの[[環の直積|直積]]環とする。''A''<sub>k</sub> たちの[[直和]]は ''R'' の真のイデアルをなす。このイデアルの左零化イデアルおよび右零化イデアルは 0 であることが容易に証明され、したがって ''R'' は右カシュでも左カシュでもない。
* 2×2の上（あるいは下）{{仮リンク|三角行列環|en|triangular matrix ring}}は右カシュでも左カシュでもない。
* right [[socle]] が 0 の環（すなわち <math>\mathrm{soc}(R_R)=\{0\}</math>）は右カシュとはなりえない、なぜならば環は[[極小右イデアル]]を含まないからである。したがって、例えば、[[可除環]]でない[[非可換整域|整域]]は右カシュでも左カシュでもない。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{citation |author=Faith, Carl |title=Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra |series=Mathematical Surveys and Monographs |volume=65 |publisher=American Mathematical Society |place=Providence, RI |year=1999 |pages=xxxiv+422 |isbn=0-8218-0993-8 |mr=1657671}}

*{{citation |author=Kasch, Friedrich |title=Grundlagen einer Theorie der Frobeniuserweiterungen
|language=German |journal=Math. Ann. |volume=127 |year=1954 |pages=453–474 |issn=0025-5831 |mr=0062724 |doi=10.1007/bf01361137}}

*{{Citation | last1=Lam | first1=Tsit-Yuen | title=Lectures on modules and rings | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics No. 189 | isbn=978-0-387-98428-5 | mr=1653294 | year=1999}}

*{{citation |author=Morita, Kiiti|title=On ''S''-rings in the sense of F. Kasch |journal=Nagoya Math. J. |volume=27 |year=1966 |pages=687–695 |issn=0027-7630 |mr=0199230}}

*{{citation |author1=Nicholson, W. K. |author2=Yousif, M. F. |title=Quasi-Frobenius rings |series=Cambridge Tracts in Mathematics |volume=158 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |year=2003 |pages=xviii+307 |isbn=0-521-81593-2 |mr=2003785 |doi=10.1017/CBO9780511546525}}

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