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'''カスプ形式'''(cusp form)、もしくは'''尖点形式'''とは、[[モジュラー形式]]のうちカスプでの[[フーリエ級数]]展開の定数項が 0 であるものをいう。

==概要==
カスプ形式は[[フーリエ級数]]展開（{{仮リンク|q-展開|en|q-expansion}}(q-expansion)を参照）

:<math>\Sigma a_n q^n</math>

の定数係数 a<sub>0</sub> が 0 である。このフーリエ展開は、変換

:<math>z\mapsto z+1</math>

の[[上半平面]]のモジュラー群の作用の結果として現れる。

他の群の場合には、複数のカスプを持つ場合があり、それに応じて複数のフーリエ展開を持つこととなる。どのカスプにおいても、q &rarr; 0 としたときの極限は上半平面の z の虚部を &rarr; &infin; としたときの極限である。商をとるとこの極限は[[モジュラー曲線]]の{{仮リンク|カスプ (特異点)|label=カスプ|en|Cusp (singularity)}}(cusp)に対応している。カスプ形式の定義は'''全て'''のカスプでゼロとなるようなモジュラー形式となる。

== 次元 ==
カスプ形式の空間の次元は、[[リーマン・ロッホの定理]]を通して、原理的には計算できる。例えば、重さ 12 のカスプ形式の空間の次元は 1 であることが計算できる。このことから、有名なラマヌジャン函数 &tau;(n) を、a<sub>1</sub> = 1 であるようなモジュラー群の重さ 12 のカスプ形式のフーリエ係数として定義する事が意味を持つ。さらに[[ヘッケ作用素]]が定数倍であることもわかる（ラマヌジャンの等式のモーデルによる証明）。重さ 12 のカスプ形式は'''[[ヴァイエルシュトラスの楕円函数#モジュラー判別式|モジュラ判別式]]'''（すなわち[[楕円曲線]]の[[ヴァイエルシュトラスの楕円函数|ヴァイエルシュトラスの方程式]]の右辺の 3 乗の[[判別式]]）
:&Delta;(z, q),
および[[デデキントのイータ函数|デデキントのエータ函数]]の 24 乗と定数倍を除いて等しい。フーリエ係数は、
:&tau;(n)
であり、とくに &tau;(1) = 1 のものが[[ラマヌジャンのタウ函数]]と呼ばれる。 

==関連する概念==
より一般の[[保型形式]]においては、[[スペクトル論]]の「離散スペクトル」／「連続スペクトル」とそれに伴う「離散系列の表現」／「誘導表現」という区分において、カスプ形式は[[アイゼンシュタイン級数]]を補完する形になっている。すなわち、アイゼンシュタイン級数は、カスプでの与えられた値をとるように「設計」されている。{{仮リンク|放物部分群|en|parabolic subgroup}}(parabolic subgroup)の理論や対応する[[尖点表現|カスプ表現]]の理論に基づいた一般論がある。

==参考文献==
*Serre, Jean-Pierre, '''A Course in Arithmetic''', Graduate Texts in Mathematics, No. 7, [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]], 1978. ISBN 0-387-90040-3
*Shimura, Goro, '''An Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions''', [[Princeton University Press]], 1994. ISBN 0-691-08092-5
*Gelbart, Stephen, '''Automorphic Forms on Adele Groups''', Annals of Mathematics Studies, No. 83, Princeton University Press, 1975. ISBN 0-691-08156-5

{{Normdaten}}
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