カタランの定数のソースを表示

[[数学]]において、'''カタランの定数''' {{mvar|G}}（カタランのていすう、{{lang-en|Catalan's constant}}）とは、[[ディリクレベータ関数|ディリクレベータ函数]] {{mvar|β}} を用いて以下のように定義される定数である。

: <math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} - \cdots,</math>

その数値<ref>{{cite book|last1=Papanikolaou|first1=Thomas| title=Catalan's Constant to 1,500,000 Places|url=https://www.gutenberg.org/ebooks/812|website=Gutenberg.org|date=March 1997}}</ref>はおよそ

: {{math|1=''G'' = {{val|0.915965594177219015054603514932384110774}}…}}

とされる（{{OEIS|A006752}}）。

{{unsolved|数学|カタランの定数は無理数か？もうしそうならば、超越数か？}}
{{mvar|G}} が[[無理数]]・[[超越数]]なのかは未だに分かっていない<ref>{{citation
 | last = Nesterenko | first = Yu. V.
 | date = January 2016
 | doi = 10.1134/s0081543816010107
 | issue = 1
 | journal = Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics
 | pages = 153–170
 | title = On Catalan's constant
 | volume = 292| s2cid = 124903059
 }}.</ref>。{{mvar|G}} は「無理数や超越数であるかどうかが（そうであると強く推測されながらも）今だ明らかでない最も基礎的な定数」だと言われている<ref>{{citation
 | last1 = Bailey | first1 = David H.
 | last2 = Borwein | first2 = Jonathan M.
 | last3 = Mattingly | first3 = Andrew
 | last4 = Wightwick | first4 = Glenn
 | doi = 10.1090/noti1015
 | issue = 7
 | journal = [[Notices of the American Mathematical Society]]
 | mr = 3086394
 | pages = 844–854
 | title = The computation of previously inaccessible digits of {{math|π<sup>2</sup>}} and Catalan's constant
 | volume = 60
 | year = 2013| doi-access = free
 }}</ref>。

カタランの定数は、級数の数値計算のために素早く収束する級数を発見し<ref>{{citation
 | last = Goldstein | first = Catherine | author-link = カトリーヌ・ゴールドシュタイン
 | journal = Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liège
 | mr = 3498215
 | pages = 74–92
 | title = The mathematical achievements of Eugène Catalan
 | url = https://popups.uliege.be/0037-9565/index.php?id=4830
 | volume = 84
 | year = 2015}}</ref>、[[1865年]]にその回顧録を出版した[[ウジェーヌ・カタラン]]に因んで名付けられた<ref>{{citation
 | last = Catalan | first = E. | author-link = ウジェーヌ・シャルル・カタラン
 | hdl = 2268/193841
 | language = fr
 | location = Brussels
 | series = Mémoires de l'Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique
 | title = Mémoire sur la transformation des séries et sur quelques intégrales définies
 | journal = Ers, Publiés Par l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique. Collection in 4 | volume = 33
 | year = 1865}}</ref>。

== 適用事例 ==
* [[低次元トポロジー]]において、カタランの定数はイデアルな双曲[[八面体]]の体積の1/4であり、したがってホワイトヘッド環の[[補集合]]の[[双曲体積]]の1/4である<ref>{{citation
 | last = Agol | first = Ian | author-link = イアン・アゴル
 | doi = 10.1090/S0002-9939-10-10364-5
 | issue = 10
 | journal = [[Proceedings of the American Mathematical Society]]
 | mr = 2661571
 | pages = 3723–3732
 | title = The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds
 | volume = 138
 | year = 2010| arxiv = 0804.0043| s2cid = 2016662 }}.</ref>。また、[[ボロミアン環]]の補集合の体積の1/8である<ref>{{Citation |author=William Thurston|author-link=ウィリアム・サーストン |date=March 2002 |title=The Geometry and Topology of Three-Manifolds |url=http://library.msri.org/books/gt3m/ |chapter=7. Computation of volume |chapter-url=http://library.msri.org/books/gt3m/PDF/7.pdf |page=165}}</ref>。
* [[組み合わせ数学]]と[[統計力学]]において、{{仮リンク|格子グラフ|en|Lattice_graph}}上の[[ドミノタイリング]]<ref>{{citation
 | last1 = Temperley | first1 = H. N. V. | author1-link = Harold Neville Vazeille Temperley
 | last2 = Fisher | first2 = Michael E. | author2-link = マイケル・フィッシャー
 | date = August 1961
 | doi = 10.1080/14786436108243366
 | issue = 68
 | journal = [[フィロソフィカル・マガジン|Philosophical Magazine]]
 | pages = 1061–1063
 | title = Dimer problem in statistical mechanics—an exact result
 | volume = 6| bibcode = 1961PMag....6.1061T }}</ref>や[[全域木]]<ref>{{citation
 | last = Wu | first = F. Y.
 | doi = 10.1088/0305-4470/10/6/004
 | issue = 6
 | journal = Journal of Physics
 | mr = 489559
 | pages = L113–L115
 | title = Number of spanning trees on a lattice
 | volume = 10
 | year = 1977| bibcode = 1977JPhA...10L.113W
 }}</ref>、[[ハミルトン路]]<ref>{{citation
 | last = Kasteleyn | first = P. W. | author-link = ピーター・カステリン
 | doi = 10.1016/S0031-8914(63)80241-4
 | journal = [[Physica (journal)|Physica]]
 | mr = 159642
 | pages = 1329–1337
 | title = A soluble self-avoiding walk problem
 | volume = 29
 | year = 1963| issue = 12 | bibcode = 1963Phy....29.1329K }}</ref>の数え上げと関連している。
* [[数論]]において、カタランの定数は[[ウラムの螺旋#ハーディ・リトルウッドのF予想|ハーディ・リトルウッドのF予想]]での  {{math|''n''<sup>2</sup> + 1}} という形で表される[[素数]]の個数の漸近式に現れる。しかしながら、この形式をした素数が無限個存在するかどうかすら未解決（{{仮リンク|ランダウの問題|en|Landau%27s_problems}}の1つ）である<ref>{{citation
 | last = Shanks | first = Daniel | author-link = ダニエル・シャンクス
 | journal = Mathematical Tables and Other Aids to Computation
 | mr = 105784
 | pages = 78–86
 | title = A sieve method for factoring numbers of the form {{math|n<sup>2</sup>+1}}
 | volume = 13
 | year = 1959| doi = 10.2307/2001956 | jstor = 2001956 }}</ref>。
* [[渦巻銀河]]の{{仮リンク|質量分布|en|Mass distribution}}の計算においてカタランの定数が現れる<ref>{{citation
 | last1 = Wyse | first1 = A. B.
 | last2 = Mayall | first2 = N. U.
 | bibcode = 1942ApJ....95...24W
 | date = January 1942
 | doi = 10.1086/144370
 | journal = [[The Astrophysical Journal]]
 | pages = 24–47
 | title = Distribution of Mass in the Spiral Nebulae Messier 31 and Messier 33.
 | volume = 95}}</ref><ref>{{citation
 | last = van der Kruit | first = P. C.
 | bibcode = 1988A&A...192..117V
 | date = March 1988
 | journal = [[Astronomy & Astrophysics]]
 | pages = 117–127
 | title = The three-dimensional distribution of light and mass in disks of spiral galaxies.
 | volume = 192}}</ref>。
* [[双曲線正割分布]]において、分布の[[エントロピー]]はカタランの定数の <math>4/\pi</math> 倍である。
* [[グーデルマン関数]] <math>y=\operatorname{gd}x</math> のグラフ、''y''軸および[[漸近線]]で囲まれる領域（のうち有限領域であるほう）の[[面積]]は、カタランの定数の4倍に等しい。

== 既知の桁 ==
カタランの定数 {{mvar|G}} の既知の桁数は、ここ数十年で飛躍的に増加した。これはコンピュータの性能の向上およびアルゴリズムの改善によるものである<ref name=Gourdon>{{cite web|last1=Gourdon|first1=X.|last2=Sebah|first2=P.|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html|title=Constants and Records of Computation|access-date=11 September 2007}}</ref>。

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+ 十進法でのカタランの定数 {{mvar|G}} の既知桁数
! 日付 || 十進法での桁数 || 計算者
|-
| [[1832年]] ||align="right"| 16 || [[トーマス・クラウゼン (数学者)|トーマス・クラウゼン]]
|-
| 1858年 ||align="right"| 19 || Carl Johan Danielsson Hill
|-
| 1864年 ||align="right"| 14 || [[ウジェーヌ・シャルル・カタラン]]
|-
| 1877年 ||align="right"| 20 || [[ジェームズ・ウィットブレッド・リー・グレーシャー|ジェームズ・W・L・グレーシャー]]
|-
| 1913年 ||align="right"| 32 ||[[ジェームズ・ウィットブレッド・リー・グレーシャー|ジェームズ・W・L・グレーシャー]]
|-
| 1990年 ||align="right"| {{val|20000}} || Greg J. Fee
|-
| 1996年 ||align="right"| {{val|50000}} || Greg J. Fee
|-
| [[1996年]][[8月14日]] ||align="right"| {{val|100000}} || Greg J. Fee & [[サイモン・プラウフ]]
|-
| [[1996年]][[9月29日]] ||align="right"| {{val|300000}} || Thomas Papanikolaou
|-
| 1996 ||align="right"| {{val|1500000}} || Thomas Papanikolaou
|-
| 1997 ||align="right"| {{val|3379957}} || Patrick Demichel
|-
| [[1998年]] ||align="right"| {{val|12500000}} || Xavier Gourdon
|-
| [[2001年]] ||align="right"| {{val|100000500}} || Xavier Gourdon & Pascal Sebah
|-
| 2002 ||align="right"| {{val|201000000}} || Xavier Gourdon & Pascal Sebah
|-
| 2006年10月 ||align="right"| {{val|5000000000}} || 近藤茂 & Steve Pagliarulo<ref>{{Cite web |url=http://ja0hxv.calico.jp/pai/ecatalan.html |title=Shigeru Kondo's website |access-date=2008-01-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20080211185703/http://ja0hxv.calico.jp/pai/ecatalan.html |archive-date=2008-02-11 |url-status=dead }}</ref>
|-
| [[2008年]]8月 ||align="right"| {{val|10000000000}} || 近藤茂 & Steve Pagliarulo<ref name=Gourdon />
|-
| [[2009年]][[1月31日]] ||align="right"| {{val|15510000000}} || Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref name=yee_chan>{{cite web| url = http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html| title = Large Computations |accessdate=31 January 2009}}</ref>
|-
| [[2009年]][[4月16日]] ||align="right"| {{val|31026000000}} || Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref name=yee_chan/>
|-
| [[2015年]][[6月7日]] ||align="right"| {{val|200000001100}} || Robert J. Setti<ref name=setti>{{cite web| url = http://www.numberworld.org/digits/Catalan/| title = Catalan's constant records using YMP |access-date=14 May 2016}}</ref>
|-
| [[2016年]][[4月12日]] ||align="right"| {{val|250000000000}} || Ron Watkins<ref name=setti/>
|-
| [[2019年]][[2月16日]]  ||align="right"| {{val|300000000000}} || Tizian Hanselmann<ref name=setti/>
|-
| [[2019年]][[3月29日]]  ||align="right"| {{val|500000000000}} || Mike A & Ian Cutress<ref name=setti/>
|-
| [[2019年]][[6月16日]]  ||align="right"| {{val|600000000100}} || Seungmin Kim<ref name=yee>{{cite web |url = http://www.numberworld.org/y-cruncher/ |title = Catalan's constant records using YMP |archive-url=https://web.archive.org/web/20190722034426/http://www.numberworld.org/y-cruncher/ |archive-date=22 July 2019 |url-status=dead |access-date=22 July 2019}}</ref><ref name=kim>{{cite web| url = https://ehfd.github.io/world-record/catalans-constant/| title = Catalan's constant world record by Seungmin Kim| date = 23 July 2019 |access-date=17 October 2020}}</ref>
|-
| [[2020年]][[9月6日]]  ||align="right"| {{val|1000000001337}} || Andrew Sun<ref>{{Cite web|title=Records set by y-cruncher|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|access-date=2022-02-13|website=www.numberworld.org}}</ref>
|-
|}

== 積分表示 ==
Seán Stewart が述べたように、「カタランの定数と等しい、あるいはカタランの定数で表現できる定積分は非常に多く、いくらでも存在するかのようである」<ref>{{citation | last = Stewart | first = Seán M. | doi = 10.1017/mag.2020.99 | issue = 561 | journal = [[The Mathematical Gazette]] | mr = 4163926 | pages = 449–459 | title = A Catalan constant inspired integral odyssey | volume = 104 | year = 2020| s2cid = 225116026 }}</ref>。そのうちいくつかを以下に示す。
<math display=block>\begin{align}
G &= -\frac{1}{\pi i}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln\ln \tan x \ln \tan x \,dx \\[3pt]
G &= \iint_{[0,1]^2} \! \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy \\[3pt]
G &= \int_0^1\int_0^{1-x} \frac{1}{1 -x^2-y^2} \,dy\,dx \\[3pt]
G &= \int_1^\infty \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt = -\int_0^1 \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt = \frac{1}{2} \int_{0}^\frac{\pi}{2} \frac{t}{\sin t} \,dt = \frac{1}{4} \int_0^{{\pi^2}/{4}} \csc \sqrt{t} \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^\frac{\pi}{4} \ln \cot t \,dt = \int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2} \ln \tan t \,dt = -\int_0^\frac{\pi}{4} \ln \tan t \,dt \\[3pt]
G &= \frac{1}{2} \int_0^\frac{\pi}{2} \ln \left( \sec t +\tan t \right) \,dt = \frac{1}{2} \int_0^\frac{\pi}{2} \operatorname{gd}^{-1}t \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^1 \frac{\arccos t}{\sqrt{1+t^2}} \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^1 \frac{\operatorname{arcsinh} t}{\sqrt{1-t^2}} \,dt \\[3pt]
G &= \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\arctan t}{t\sqrt{1+t^2}} \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^\infty \arccot e^{t} \,dt = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^0 \left(\operatorname{gd}t+\frac{\pi}{2}\right) \,dt \\[3pt]
G &= \frac{1}{16} \left(\pi^2 + 4\int_1^\infty \arccsc^2 t \,dt\right) \\[3pt]
G &= \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{t}{\cosh t} \,dt  \\[3pt]
G &= \frac{\pi}{2} \int_1^\infty \frac{\left(t^4-6t^2+1\right)\ln\ln t}{\left(1+t^2\right)^3} \,dt \\[3pt]
G &= 1 + \lim_{\alpha\to{1^-}}\!\left\{\int_0^{\alpha}\!\frac{\left(1+6t^2+t^4\right)\arctan{t}}{t\left(1-t^2\right)^2}\,dt
+  2\operatorname{artanh}{\alpha} - \frac{\pi\alpha}{1-\alpha^2} \right\} \\[3pt]
G &= 1 - \frac18 \iint_{\R^2}\!\!\frac{x\sin\left(2xy/\pi\right)}{\,\left(x^2+\pi^2\right)\cosh x\sinh y\,}dxdy \\[3pt]
G &= \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt[4]{x} \left(\sqrt{x} \sqrt{y}-1\right)}{(x+1)^2 \sqrt[4]{y} (y+1)^2 \log (x y)}dxdy
\end{align}</math>

このうち、最後の3式は{{仮リンク|カール・ヨハン・マルムステン|en|Carl_Johan_Malmsten|label=マルムステン}}の積分と関連している<ref>{{Cite journal| first1=Iaroslav| last1=Blagouchine| title=Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results| year=2014| doi=10.1007/s11139-013-9528-5| url=https://iblagouchine.perso.centrale-marseille.fr/publications/Blagouchine-Malmsten-integrals-and-their-evaluation-by-contour-integration-methods-(Ramanujan-J-2014).pdf| volume=35| journal=The Ramanujan Journal| pages=21–110| s2cid=120943474| access-date=2018-10-01| archive-url=https://web.archive.org/web/20181002020243/https://iblagouchine.perso.centrale-marseille.fr/publications/Blagouchine-Malmsten-integrals-and-their-evaluation-by-contour-integration-methods-(Ramanujan-J-2014).pdf| archive-date=2018-10-02| url-status=dead }}</ref>。

{{math|K(''k'')}} を楕円率 {{mvar|k}} の函数とした[[楕円積分#第一種完全楕円積分|第一種完全楕円積分]]とすると、次の式が成り立つ。
<math display="block"> G = \frac{1}{2} \int_0^1 \mathrm{K}(k)\,dk </math>

{{math|E(''k'')}} を楕円率 {{mvar|k}} の函数とした[[楕円積分#第二種完全楕円積分|第二種完全楕円積分]]とすると、次の式が成り立つ。
<math display="block"> G = -\frac{1}{2}+\int_0^1 \mathrm{E}(k)\,dk </math>

[[ガンマ函数]] {{math|1=Γ(''x'' + 1) = ''x''!}} を用いて
<math display="block">\begin{align}
G &= \frac{\pi}{4} \int_0^1 \Gamma\left(1+\frac{x}{2}\right)\Gamma\left(1-\frac{x}{2}\right)\,dx \\
&= \frac{\pi}{2} \int_0^\frac12\Gamma(1+y)\Gamma(1-y)\,dy
\end{align}</math>

次の積分は{{仮リンク|逆正接積分|en|Inverse tangent integral}}として知られる特殊函数であり、[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]によって詳しく研究された。
<math display="block"> G = \operatorname{Ti}_2(1)=\int_0^1 \frac{\arctan t}{t}\,dt </math>

== 他の特殊函数との関係 ==
{{mvar|G}} は{{仮リンク|トリガンマ関数|en|Trigamma function|label=トリガンマ函数}}として知られる第二[[ポリガンマ関数|ポリガンマ函数]]の分数変数に対応する従属変数として現れる。
<math display="block">\begin{align}
\psi_1 \left(\tfrac14\right) &= \pi^2 + 8G \\
\psi_1 \left(\tfrac34\right) &= \pi^2 - 8G
\end{align}</math>

[[サイモン・プラウフ]]はトリガンマ函数、{{math|π<sup>2</sup>}} およびカタランの定数の間で成立する（[[グラフ_(離散数学)|グラフ]]上の[[道 (グラフ理論)|道]]として表現可能な）無限個の恒等式を与えている。

カタランの定数は[[クラウゼン関数|クラウゼン函数]]、{{仮リンク|逆正接積分|en|Inverse tangent integral}}、[[逆正弦積分]]、[[バーンズのG関数|バーンズの {{mvar|G}} 函数]]などとの関係や、前述の函数を用いた積分・級数においてよく現れる。

一例として、{{仮リンク|逆正接積分|en|Inverse tangent integral}}を閉じた形（つまりはクラウゼン函数）で表し、そのクラウゼン函数をバーンズの {{mvar|G}} 函数で表すことで次の式が得られる。
<math display="block">G=4\pi \log\left( \frac{ G\left(\frac{3}{8}\right) G\left(\frac{7}{8}\right) }{ G\left(\frac{1}{8}\right) G\left(\frac{5}{8}\right) } \right) +4 \pi \log \left( \frac{ \Gamma\left(\frac{3}{8}\right) }{ \Gamma\left(\frac{1}{8}\right) } \right) +\frac{\pi}{2} \log \left( \frac{1+\sqrt{2} }{2 \left(2-\sqrt{2}\right)} \right)</math>

{{仮リンク|レルヒゼータ関数|en|Lerch zeta function|label=レルヒゼータ函数}}と関連した'''レルヒ超越函数''' {{math|Φ(''z'', ''s'', ''α'')}}（{{lang-en|Lerch transcendent}}）を
<math display="block">\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac { z^n} {(n+\alpha)^s}</math>
と定義すると、次の関係が成り立つ。
<math display="block"> G = \tfrac{1}{4}\Phi\left(-1, 2, \tfrac{1}{2}\right)</math>

== 収束の早い級数 ==
以下の2公式は収束の早い級数を含んでおり、数値計算に適している。
<math display="block">\begin{align}
G & = 3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}
\left(-\frac{1}{2(8n+2)^2}+\frac{1}{2^2(8n+3)^2}-\frac{1}{2^3(8n+5)^2}+\frac{1}{2^3(8n+6)^2}-\frac{1}{2^4(8n+7)^2}+\frac{1}{2(8n+1)^2}\right)- \\
& \qquad -2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}}
\left(\frac{1}{2^4(8n+2)^2}+\frac{1}{2^6(8n+3)^2}-\frac{1}{2^9(8n+5)^2}-\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2}-\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2}+\frac{1}{2^3(8n+1)^2}\right)
\end{align}</math>
<math display="block">G = \frac{\pi}{8}\log\left(2 + \sqrt{3}\right) + \frac{3}{8}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2 \binom{2n}{n}}</math>
2公式の理論的基盤はそれぞれブロードハースト<ref>{{cite arXiv|first1=D. J. |last1=Broadhurst|eprint=math.CA/9803067 |title=Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of {{math|''ζ''(3)}} and {{math|''ζ''(5)}}| year=1998}}</ref>（Broadhurst）およびラマヌジャン<ref>{{cite book|first=B. C.|last=Berndt|title=Ramanujan's Notebook, Part I|publisher=Springer Verlag|date=1985|page=289|isbn=978-1-4612-1088-7}}</ref>によって与えられている。カタラン定数の早い評価アルゴリズムはE・カラツバ（Karatsuba）によって構築された<ref>{{cite journal|first=E. A.| last=Karatsuba| title=Fast evaluation of transcendental functions|journal=Probl. Inf. Transm.|volume=27|issue=4| pages=339–360| date=1991|zbl=0754.65021|mr=1156939}}</ref><ref>{{cite book|first=E. A.|last=Karatsuba|contribution=Fast computation of some special integrals of mathematical physics|title=Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods| url=https://archive.org/details/scientificcomput00wals_919|url-access=limited|editor1-first=W.|editor1-last=Krämer| editor2-first=J. W.|editor2-last=von Gudenberg|pages=[https://archive.org/details/scientificcomput00wals_919/page/n35 29]–41|date=2001|doi=10.1007/978-1-4757-6484-0_3}}</ref>。これらの級数を用いることで、今日では[[アペリーの定数]] {{math|ζ(3)}} に匹敵する速さでカタランの定数を計算できる<ref name="Yee_formulas"/>。

以下は Guillera および Pilehrood による{{仮リンク|チュドノフスキー・アルゴリズム|en|Chudnovsky algorithm}}を利用した級数である<ref name="Yee_formulas">{{cite web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/internals/formulas.html|title=Formulas and Algorithms|author=Alexander Yee|date=14 May 2019|access-date=5 December 2021}}</ref>。

:<math>G = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty }\frac{(-8)^{k}(3k+2)}{(2k+1)^{3}{\binom{2k}{k}}^{3}}</math>

:<math>G = \frac{1}{64}\sum_{k=1}^{\infty }\frac{256^{k}(580k^2-184k+15)}{k^3(2k-1)\binom{6k}{3k}\binom{6k}{4k}\binom{4k}{2k}}</math>

:<math>G = -\frac{1}{1024}\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-4096)^k(45136k^4-57184k^3+21240k^2-3160k+165)}{k^3(2k-1)^3}\left( \frac{(2k)!^6(3k)!^3}{k!^3(6k)!^3} \right)</math>

これらの{{仮リンク|時間計算量|en|Time_complexity|redirect=1}}は {{math|''O''(''n''log(''n'')<sup>3</sup>)}} となる<ref name="Yee_formulas"/>。

== 連分数 ==
{{mvar|G}} は次のように表せられる<ref>{{cite journal | journal=Acta Arithmetica |volume=103 |issue=4 |pages=329–342 | author=Bowman, D. | author2=Mc Laughlin, J.| name-list-style=amp | title=Polynomial continued fractions | language=English | year=2002 |doi=10.4064/aa103-4-3 |arxiv=1812.08251 |bibcode=2002AcAri.103..329B |s2cid=119137246 | url=https://www.wcupa.edu/sciences-mathematics/mathematics/jMcLaughlin/documents/4paper1.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20200413012537/https://www.wcupa.edu/sciences-mathematics/mathematics/jMcLaughlin/documents/4paper1.pdf |archive-date=2020-04-13 |url-status=live}}</ref>。
:<math>G=\cfrac{1}{1+\cfrac{1^4}{8+\cfrac{3^4}{16+\cfrac{5^4}{24+\cfrac{7^4}{32+\cfrac{9^4}{40+\ddots}}}}}}</math>
より単純な連分数表記を以下に示す<ref>{{Cite web |title=A014538 - OEIS |url=http://oeis.org/A014538 |access-date=2022-10-27 |website=oeis.org}}</ref>。
:<math>G=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{88+\ddots}}}}}}</math>
この連分数の項が無限個存在することは {{mvar|G}} が無理数であることと同値であり、未解決のままである。

== 関連項目 ==
* [[ギーゼキング多様体]]
* {{仮リンク|数学定数の一覧|en|List_of_mathematical_constants}}
* [[数学定数]]
* [[リーマンゼータ関数の特殊値|リーマンゼータ函数の特殊値]]

== 脚注 == 
{{reflist}}

== 関連文献 ==
* {{cite journal
 |first        = Victor
 |last         = Adamchik
 |year         = 2002
 |journal      = Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen
 |volume       = 21
 |issue        = 3
 |pages        = 1–10
 |url          = http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/csum.html
 |title        = A certain series associated with Catalan's constant
 |mr           = 1929434
 |doi          = 10.4171/ZAA/1110
 |doi-access   = free
 |access-date  = 2005-07-14
 |archive-date = 2010-03-16
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20100316074306/http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/csum.html
 |url-status   = dead
}}
* {{cite conference
 | last = Fee | first = Gregory J.
 | editor1-last = Watanabe | editor1-first = Shunro
 | editor2-last = Nagata | editor2-first = Morio
 | contribution = Computation of Catalan's Constant Using Ramanujan's Formula
 | doi = 10.1145/96877.96917
 | isbn    = 0201548925
 | s2cid   = 1949187
 | pages = 157–160
 | publisher = ACM
 | title = Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC '90, Tokyo, Japan, August 20-24, 1990
 | year = 1990| doi-access = free
 }}
* {{Cite journal
  | first   = David M.
  | last    = Bradley
  | title   = A class of series acceleration formulae for Catalan's constant
  | doi     = 10.1023/A:1006945407723
  | year    = 1999
  | journal = The Ramanujan Journal
  | volume  = 3
  | issue   = 2
  | pages   = 159–173
  | mr      = 1703281
  | arxiv   = 0706.0356
  | s2cid   = 5111792
  }}
* {{Cite journal
  | first   = David M.
  | last    = Bradley
  | title   = A class of series acceleration formulae for Catalan's constant
  | arxiv   = 0706.0356
  | year    = 2007
  | doi     = 10.1023/A:1006945407723
  | volume  = 3
  | issue   = 2
  | journal = The Ramanujan Journal
  | pages   = 159–173
  | bibcode = 2007arXiv0706.0356B
  | s2cid   = 5111792
  }}

== 外部リンク ==
* {{cite web
  | first       = Victor
  | last        = Adamchik
  | url         = http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/catalan/catalan.htm
  | title       = 33 representations for Catalan's constant
  | archiveurl  = https://web.archive.org/web/20160807111945/https://www.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/catalan/catalan.htm
  | archivedate = 2016-08-07
  | access-date = 14 July 2005
  }}
* {{cite web
  | first       = Simon
  | last        = Plouffe
  | url         = http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/IntegerRelations/identities3a.html
  | title       = A few identities (III) with Catalan
  | year        = 1993
  | archiveurl  = https://web.archive.org/web/20190626124124/https://lacim.uqam.ca/~plouffe/IntegerRelations/identities3a.html
  | archivedate = 2019-06-26
  | access-date = 29 July 2005
  }}（100の異なる恒等式が掲載されている。） (Provides over one hundred different identities).
* {{cite web
  | first       = Simon
  | last        = Plouffe
  | url         = http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/IntegerRelations/identities3.html
  | title       = A few identities with Catalan constant and Pi^2
  | year        = 1999
  | archiveurl  = https://web.archive.org/web/20190626124128/https://lacim.uqam.ca/~plouffe/IntegerRelations/identities3.html
  | archivedate = 2019-06-26
  | access-date  = 29 July 2005
  }}（グラフ化された関係が掲載されている）
* {{cite book
  | first  = Greg
  | last   = Fee
  | url    = https://www.gutenberg.org/ebooks/682
  | title  = Catalan's Constant (Ramanujan's Formula)
  | year   = 1996
  }}（上から300,000桁の値が掲載されている）
* {{citation
  | first     = David M.
  | last      = Bradley
  | title     = Representations of Catalan's constant
  | citeseerx = 10.1.1.26.1879
  | year      = 2001
  | mode = cs1
  }}
* {{cite web | first = Fredrik | last = Johansson |url = https://fungrim.org/ordner/0.915965594177219015054603514932/
 | title = 0.915965594177219015054603514932 | work = Ordner, a catalog of real numbers in Fungrim | accessdate= 21 April 2021 }}
* {{cite web
  | title     = Catalan's Constant
  | url       = https://www.youtube.com/watch?v=e5wqw2_EkxQ&list=PLW1_9UnhaSkGqlwbQphLMGCx2JvaGu1HB&index=72
  | publisher = Let's Learn, Nemo!
  | date      = 10 August 2020
  | website   = [[YouTube]]
  | access-date= 6 April 2021
  }}
* {{MathWorld |title = Catalan's Constant |urlname = CatalansConstant}}
* [https://functions.wolfram.com/Constants/Catalan/06/01// "Catalan constant: Series representations"]. [[ウルフラム・リサーチ|Wolfram]] Functions Site.
* {{springer |title = Catalan constant |id = p/c130040 | mode=cs1}}

{{DEFAULTSORT:かたらんのていすう}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:組合せ論]]
[[Category:数学定数]]
[[Category:数学のエポニム]]