カップ積のソースを表示

[[数学]]、とくに[[代数トポロジー]]において、'''カップ積'''（{{lang-en-short|cup product}}）は次数 ''p'', ''q'' の2つの{{仮リンク|コサイクル (代数トポロジー)|en|Cocycle (algebraic topology)|label=コサイクル}}から次数 ''p'' + ''q'' の新しいコサイクルを作る手法である。カップ積はコホモロジーに結合的（かつ分配的）な次数付きの可換な積演算を定義し、空間 ''X'' のコホモロジーは次数付き環 ''H''<sup>∗</sup>(''X'') となる。これを[[コホモロジー環]]と呼ぶ。カップ積は1935年から1938年に{{仮リンク|James Waddell Alexander II|en|James Waddell Alexander II|label=J. W. Alexander}}、{{仮リンク|Eduard Čech|en|Eduard Čech}}、{{仮リンク|Hassler Whitney|en|Hassler Whitney}}の研究によって導入され、1944年に [[Samuel Eilenberg]] によって完全なる一般性をもって導入された。

==定義==
[[特異コホモロジー]]において、'''カップ積''' (cup product) は[[位相空間]] ''X'' の[[次数環|次数付き]][[コホモロジー環]] ''H''<sup>∗</sup>(''X'') 上の積を与える構成である。

構成はまず{{仮リンク|コチェイン (代数トポロジー)|label=コチェイン|en|Cochain (algebraic topology)}}の積から考える。''c''<sup>''p''</sup> が ''p''-コチェインで ''d''<sup>''q''</sup> が ''q''-コチェインのとき、
:<math>(c^p \smile d^q)(\sigma) = c^p(\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}) \cdot d^q(\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q})</math>
とする。ここで σ は[[特異ホモロジー|特異]] (''p'' + ''q'') -[[単体 (数学)|単体]]で、<math>\iota_S , S \subset \{0,1,...,p+q \} </math> は頂点が <math>\{0,...,p+q \}</math> によって添え字付けられている <math>(p+q)</math>-単体の中への ''S'' によって張られた単体の標準的な[[埋め込み (数学)|埋め込み]]である。

インフォーマルには、<math> \sigma \circ \iota_{0,1, ..., p}</math> は σ の ''p'' 番目の'''前面'''であり、<math>\sigma \circ \iota_{p, p+1, ..., p + q}</math> は ''q'' 番目の'''後面'''である。

コサイクル c<sup>''p''</sup> および d<sup>''q''</sup> のカップ積の[[コバウンダリ]]は
:<math>\delta(c^p \smile d^q) = \delta{c^p} \smile d^q + (-1)^p(c^p \smile \delta{d^q})</math>
によって与えられる。2つのコサイクルのカップ積は再びコサイクルであり、コバウンダリとコサイクルの積は（どちらの順でも）コバウンダリである。したがってカップ積はコホモロジー上の双線型演算
: <math> H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X) </math>
を誘導する。

==性質==
コホモロジーのカップ積は恒等式
:<math>\alpha^p \smile \beta^q = (-1)^{pq}(\beta^q \smile \alpha^p)</math>
を満たすので対応する積は{{仮リンク|次数付き可換|en|supercommutative}} (graded-commutative) である。

カップ積は次の意味で[[関手]]的である。
:<math>f\colon X\to Y</math>
が連続写像であり、
:<math>f^*\colon H^*(Y)\to H^*(X)</math>
がコホモロジーに誘導された[[準同型]]であれば、
:<math>f^*(\alpha \smile \beta) =f^*(\alpha) \smile f^*(\beta),</math>
が全ての類 α, β &isin; ''H'' <sup>*</sup>(''Y'') に対して成り立つ。言い換えると、''f'' <sup>*</sup> は（次数付き）[[環準同型]]である。
<!--
==解釈==
カップ積 <math> \smile \colon H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X)</math> を次の合成から誘導されたとみることができる：

<math> \displaystyle C^\bullet(X) \times C^\bullet(X) \to C^\bullet(X \times X) \overset{\Delta^*}{\to} C^\bullet(X) </math>

in terms of the [[chain complex]]es of <math>X</math> and <math>X \times X</math>, where the first map is the [[Künneth formula|K&uuml;nneth map]] and the second is the map induced by the [[diagonal functor|diagonal]] <math> \Delta \colon X \to X \times X</math>.

This composition passes to the quotient to give a well-defined map in terms of cohomology, this is the cup product. This approach explains the existence of a cup product for cohomology but not for homology: <math> \Delta \colon X \to X \times X</math> induces a map <math>\Delta^* \colon H^\bullet(X \times X) \to H^\bullet(X)</math> but would also induce a map <math>\Delta_* \colon H_\bullet(X) \to H_\bullet(X \times X)</math>, which goes the wrong way round to allow us to define a product. This is however of use in defining the [[cap product]].

Bilinearity follows from this presentation of cup product, i.e. <math> (u_1 + u_2) \smile v = u_1 \smile v + u_2 \smile v </math> and <math> u \smile (v_1 + v_2) = u \smile v_1 + u \smile v_2. </math>

==例==
Cup products may be used to distinguish manifolds from wedges of spaces with identical cohomology groups.  The space <math>X:= S^2\vee S^1\vee S^1</math> has the same cohomology groups as the torus ''T'', but with a different cup product.  In the case of ''X'' the multiplication of the [[cochain]]s associated to the copies of <math>S^1</math> is degenerate, whereas in ''T'' multiplication in the first cohomology group can be used to decompose the torus as a 2-cell diagram, thus having product equal to '''Z''' (more generally ''M'' where this is the base module).
-->
==他の定義==

===カップ積と微分形式===
[[ド・ラームコホモロジー]]において、微分形式のカップ積は[[外積代数|ウェッジ積]]によって誘導される。言い換えると、2つの閉形式のウェッジ積は2つのもとのド・ラーム類のカップ積のド・ラーム類に属する。

===カップ積と幾何学的交叉===
[[File:Linking Number 1.svg|thumb|[[絡み数]]は絡み目の補集合上の消えないカップ積のことばで定義できる。これらの2つの絡まった円の補集合は、消えないカップ積を持つトーラスに変位レトラクトする。]]
[[滑らかな多様体]]の2つの部分多様体が[[横断的に交わる]]とき、その交叉は再び部分多様体である。これらの多様体の基本ホモロジー類をとることによって、これはホモロジーに双線型な積をもたらす。この積はカップ積に双対である、すなわち2つの部分多様体の交叉のホモロジー類はそれらのポワンカレ双対のカップ積のポワンカレ双対である。

同様に、[[絡み数]]は、次元を1ずらして交叉のことばで定義することもできるし、絡み目の補集合上の消えないカップ積のことばでも定義できる。

==Massey積==
[[File:BorromeanRings.svg|thumb|[[Massey product]]s generalize cup product, allowing one to define "higher order linking numbers", the [[Milnor invariants]].]]
{{main|{{仮リンク|Massey積|en|Massey product}}}}
カップ積は二項演算であるが、それを一般化して、{{仮リンク|Massey積|en|Massey product}}と呼ばれる、三項やそれ以上の演算を定義できる。これは高次の{{仮リンク|コホモロジー演算|en|cohomology operation}}であり、部分的にしか定義されない（ある三つ組に対してしか定義されない）。

==関連項目==
*[[特異ホモロジー]]
*[[ホモロジー論]]
*[[キャップ積]]
*{{仮リンク|Massey積|en|Massey product}}
*{{仮リンク|Torelli群|en|Torelli group}}

==参考文献==
* James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback)
* [[Glen E. Bredon]], "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3
* Allen Hatcher, "[http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Algebraic Topology]", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0

{{DEFAULTSORT:かつふせき}}
[[Category:ホモロジー論]]
[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:二項演算]]
[[Category:数学に関する記事]]