カラビ・ヤウ多様体のソースを表示

{{要改訳}}
[[File:CalabiYau5.jpg|thumb|320px|6次元カラビ・ヤウ・クインティックの 2次元スライス]]
<!---[[Image:Calabi yau.jpg|thumb|5次カラビ・ヤウ3次元多様体の断面([[3次元射影]])]]-->
'''カラビ・ヤウ多様体'''（カラビ・ヤウたようたい、英:Calabi-Yau manifold）は、[[代数幾何]]などの[[数学]]の諸分野や[[数理物理]]で注目を浴びている特別なタイプの[[多様体]]である。特に[[超弦理論]]では、[[時空]]の余剰次元が6次元（実次元）のカラビ・ヤウ多様体の形をしていると予想されている。この余剰次元の考え方が、[[ミラー対称性 (弦理論)|ミラー対称性]]の考えを導くことになった。

カラビ・ヤウ多様体は、1次元の[[楕円曲線]]や2次元の[[K3曲面]]の高次元版の[[複素多様体]]であり、コンパクト[[ケーラー多様体]]で[[標準バンドル]]が自明なものとして定義されることが多い。ただし、他にも類似の（しかし互いに同値ではない）いくつかの定義がある。{{harvtxt|Candelas|Horowitz|Strominger|Witten|1985}}では、"カラビ・ヤウ空間"と呼ばれた。最初は微分幾何学の立場から、[[エウジェニオ・カラビ]]{{harvs|txt|first=E.|last=Calabi|authorlink=|year1=1954|year2=1957}}で研究され、[[シン＝トゥン・ヤウ]]が、これらが[[リッチ平坦]]<ref>リッチ曲率がゼロである多様体をリッチ平坦な多様体と言う．[[アインシュタイン多様体]]の特別な例となる。物理的には宇宙定数がゼロとなることを意味する。</ref>な計量を持つであろうという[[カラビ予想]]を証明したことから、カラビ・ヤウ多様体と命名された。
<!---[[Image:Calabi yau.jpg|thumb|A section of a quintic Calabi&ndash;Yau three-fold ([[3D projection]])]]
A '''Calabi&ndash;Yau manifold''', also known as a '''Calabi&ndash;Yau space''', is a special type of [[manifold]] that is described in certain branches of [[mathematics]] such as [[algebraic geometry]].  The Calabi–Yau manifold's properties, such as [[Ricci flat]]ness, also yield applications in [[theoretical physics]]. Particularly in [[superstring theory]], the extra dimensions of [[spacetime]] are sometimes conjectured to take the form of a 6-dimensional Calabi&ndash;Yau manifold, which led to the idea of  [[Mirror symmetry (string theory)|mirror symmetry]]. 

Calabi&ndash;Yau manifolds are [[complex manifolds]] that are higher-dimensional analogues of [[K3 surface]]s. They are sometimes defined as compact [[Kähler manifolds]] whose [[canonical bundle]] is trivial, though many other similar but inequivalent definitions are sometimes used. They were named "Calabi&ndash;Yau spaces"  by  {{harvtxt|Candelas|Horowitz|Strominger|Witten|1985}}  after {{harvs|txt|first=E.|last=Calabi|authorlink=E. Calabi|year1=1954|year2=1957}} who first studied them, and {{harvs|txt|authorlink=Shing-Tung Yau|first=S. T.|last= Yau|year=1978}} who proved the [[Calabi conjecture]] that they have [[Ricci-flat manifold|Ricci flat]] metrics.-->

==定義==
[[File:Calabi yau formatted.svg|thumb|カラビ・ヤウ空間]]
カラビ・ヤウ多様体には、いくつかの異なる定義がある。ここでは、そのうち一般的なものをいくつか挙げ、それらの関係を述べる。

n次元のカラビ・ヤウ多様体とは、次の等価な条件のうちの一つを満たすコンパクトな n次元ケーラー多様体 M である。
* M の標準バンドルが自明。
* どこでもゼロにならない正則 n形式が M 上に存在する。
* M の[[ファイバーバンドル|構造群]]が U(n) から SU(n) へ退化する。
*  [[SU(n)]] に含まれる大域的な{{仮リンク|ホロノミー|en|holonomy}}を持つ[[ケーラー計量]]が M 上に存在する。

これらの条件から、M の整係数第一[[チャーン類]] c<sub>1</sub>(M) がゼロになることが導かれるが、この逆は成立しない。その最も簡単な例は[[超楕円曲面]]（複素2次元の[[アーベル多様体#解析的理論|複素トーラス]]の有限商）である。超楕円曲面では、整数係数の第一チャーン類はゼロであるが、標準バンドルは自明ではない。
<!---There are many different inequivalent definitions of a Calabi&ndash;Yau manifold used by different authors. This section summarizes some of the more common definitions and the relations between them. 

A Calabi&ndash;Yau ''n''-fold or Calabi&ndash;Yau manifold of (complex) dimension ''n'' is sometimes defined as a  compact ''n''-dimensional [[Kähler manifold]] ''M'' satisfying one of the following equivalent conditions: 
* The [[canonical bundle]] of ''M'' is trivial.
* ''M'' has a holomorphic ''n''-form that vanishes nowhere.
* The structure group of ''M'' can be reduced from U(n) to SU(n).
* ''M'' has a Kähler metric with global [[holonomy]] contained in [[SU(n)]].

These conditions imply that the first integral [[Chern class]] c<sub>1</sub>(''M'') of ''M'' vanishes, but the converse is not true. The simplest examples where this happens are [[hyperelliptic surface]]s, finite quotients of a complex torus of complex dimension 2, which have vanishing first integral Chern class but the canonical bundle is not trivial.-->

コンパクトな n次元ケーラー多様体 M に対して、次の条件は互いに同値になるが、上記の条件よりは弱い条件となる。しかし、この条件をカラビ・ヤウ多様体の定義として使うこともある。
* M の第一実チャーン類は、0 である。
* M は、[[リッチ曲率]]が 0 となるケーラー計量を持つ。
* M は、[[SU(n)]] に含まれる{{仮リンク|局所ホロノミー|en|Holonomy#Local and infinitesimal holonomy}}を持つケーラー計量を持つ。
* M の標準バンドルは、ある正のべきで自明となる。
* M は、自明な標準バンドルを持つような有限被覆を持つ。
* M は、自明な標準バンドルを持つ単連結多様体とトーラスとの積となるような有限被覆を持つ。

特に、コンパクトなケーラー多様体が単連結であれば、上記の弱い定義と強い定義は一致する。[[エンリケス曲面]]は、リッチ平坦な複素多様体の例になる。エンリケス曲面の標準バンドルは自明ではないが、第二の条件に従うと、カラビ・ヤウ多様体の例となる。しかし第一の条件ではカラビ・ヤウ多様体の例にはならない。 エンリケス曲面の二重被覆は、どちらの定義も満たすカラビ・ヤウ多様体である(事実、K3曲面がその例となる)。
<!---For a compact ''n''-dimensional [[Kähler manifold]] ''M'' the following conditions are equivalent to each other, but are weaker than the conditions above, and  are sometimes used as the definition of a Calabi&ndash;Yau manifold:
* ''M'' has vanishing first real [[Chern class]].
* ''M'' has a Kähler metric with vanishing [[Ricci curvature]].
* ''M'' has a Kähler metric with local [[holonomy]] contained in [[SU(n)]].
*  A positive power of the [[canonical bundle]] of ''M'' is trivial.
* ''M'' has a finite cover that has trivial canonical bundle.
* ''M'' has a finite cover that is a product of a torus and a simply connected  manifold with trivial canonical bundle.

In particular if a compact Kähler manifold is simply connected  then the weak definition above is equivalent to the stronger definition. [[Enriques surface]]s give examples of complex manifolds  that have Ricci-flat metrics, but their canonical bundles are not trivial so they are  Calabi&ndash;Yau manifolds according to the second but not the first definition above. Their double covers are Calabi&ndash;Yau manifolds for both definitions (in fact K3 surfaces). -->

上記の様々な条件の同値性を証明するときに最も難しい箇所は、リッチ計量の存在を証明する部分である。このことは[[カラビ予想]]のヤウによる証明から従う。つまり、第一実チャーン類がゼロとなるコンパクトなケーラー多様体は、リッチ計量がゼロである同じ類のケーラー計量を持つことを意味する(ケーラー計量の類はケーラー計量に結び付いている2-形式のコホモロジー類である)。 カラビはそのような計量が唯一であることを示した。

カラビ・ヤウ多様体の定義には、他にも等価ではない多くのものがある。以下に、それらの間の主な差異を示す:
* 第一チャーン類が、整係数の類としてがゼロとなるのか、それとも実係数の類としてゼロになるのか。
* 大半の定義は、カラビ・ヤウ多様体がコンパクトな場合であるが、非コンパクトな場合にも通用する定義もある。非コンパクトな多様体への一般化の中では、差異となっている <math>(\Omega\wedge\bar\Omega - \omega^n/n!)</math> が漸近的にゼロに近づく必要がある。 ここに <math>\omega</math> はケーラー計量 <math>g</math> に付随するケーラー形式である{{harvs|last=[[Gang Tian]];[[Shing-Tung Yau]]|year1=1990|year2=1991}}。
* カラビ・ヤウ多様体の[[基本群]]に対して、それが有限群あるいは自明群というような制約条件を課すこともある。任意のカラビ・ヤウ多様体は、トーラスと単連結カラビ・ヤウ多様体の積となるような有限被覆を持つ。
* 定義の中には、ホロノミーをSU(n)の部分群ではなくSU(n)そのものとするものもあり、これは[[ホッジ数]] <math>h^{i,0}</math> が 0 < i < dim(M) に対してゼロとなることを意味する。[[アーベル曲面]]は、ホロノミーが SU(2) よりも（ SU(2) 自体は含まない）小さいホロノミーであるリッチ計量を持つ（実際に、自明）ので、厳密に SU(2) にホロノミーが一致するという定義の下ではカラビ・ヤウ多様体にはならない。
* カラビ・ヤウ多様体の大半の定義はリーマン計量を持っていることを前提としているが、計量のない複素多様体を扱っている定義もある。
* 大半の定義は多様体が非特異であることを前提としているが、マイルドな特異点を許容することもある。特異点を持つカラビ・ヤウ多様体ではチャーン類をうまく定義できないが、特異点がすべて{{仮リンク|ゴレンシュタイン|en|Gorenstein_ring}}特異点であれば標準バンドルと標準類を定義することはでき、滑らかなカラビ・ヤウ多様体での定義を、特異点を持つカラビ・ヤウ多様体へと拡張することが可能である。
<!---By far the hardest part of proving the equivalences between the various properties above is proving the existence of Ricci-flat metrics. This follows from Yau's proof of the [[Calabi conjecture]], which implies that a compact [[Kähler manifold]] with a vanishing first real [[Chern class]] has a Kähler metric in the same class with vanishing Ricci curvature. (The class of a Kähler metric is the cohomology class of its associated 2-form.) Calabi showed  such  a metric is unique.

There are  many other inequivalent definitions of Calabi&ndash;Yau manifolds that are sometimes used, which differ in the following ways (among others):
* The first Chern class may vanish as an integral class or as a real class.
* Most definitions assert that Calabi&ndash;Yau manifolds are compact, but some allow them to be non-compact. In the generalization to non-compact manifolds, the difference <math>(\Omega\wedge\bar\Omega - \omega^n/n!)</math> must vanish asymptotically. Here, <math>\omega</math> is the Kähler form associated with the Kähler metric, <math>g</math> {{harvs|last=[[Gang Tian]];[[Shing-Tung Yau]]|year1=1990|year2=1991}}.
* Some definitions put restrictions on the [[fundamental group]] of a Calabi&ndash;Yau manifold, such as demanding that it be finite or trivial. Any Calabi&ndash;Yau manifold has a finite cover that is the product of a torus and a simply-connected Calabi&ndash;Yau manifold.
* Some definitions require that the holonomy be exactly equal to SU(n) rather than a subgroup of it, which implies  that the [[Hodge number]]s ''h''<sup>''i'',0</sup> vanish for 0 < i < dim(''M''). Abelian surfaces have a Ricci flat metric with holonomy strictly smaller than SU(2) (in fact trivial) so are not Calabi&ndash;Yau manifolds according to such definitions.
* Most definitions assume that a Calabi&ndash;Yau manifold has a Riemannian metric, but some treat them as complex manifolds without a metric.
* Most definitions assume the manifold is non-singular, but some allow mild singularities. While the Chern class fails to be well-defined for singular Calabi&ndash;Yau's, the canonical bundle and canonical class may  still be defined if all the singularities are Gorenstein, and so may be used to extend the definition of a smooth Calabi&ndash;Yau manifold to a possibly singular Calabi&ndash;Yau variety.-->

==例==
最も重要な基本的事実として、一般に射影空間に埋め込まれた滑らかな代数多様体はケーラー多様体であるということがある。このことを示すには、射影空間に自然に入る[[フビニ・スタディ計量]]をその代数多様体に制限すればよいからである。X をカラビ・ヤウ多様体、ωを X 上のケーラー計量とすると、定義から標準バンドル K<sub>X</sub> は自明であり、[ω<sub>0</sub>]=[ω]∈H<sup>2</sup>(X,'''R''')となるようなリッチ平坦なケーラー計量 ω<sub>0</sub> が一意的に定まる。これは[[エウゲニオ・カラビ]]により予想され、[[シン＝トゥン・ヤウ|ヤウ]](S. T. Yau)により証明された定理である（[[カラビ予想]]を参照）。

複素次元が 1 の場合、コンパクトな唯一の例は[[トーラス]]であり、これは1-パラメーター族をなす。 トーラスのリッチ計量は実際、{{仮リンク|平坦計量|en|Flat manifold}}であるので、ホロノミーは自明な群SU(1)である。 1次元カラビ・ヤウ多様体は複素[[楕円曲線]]であり、[[代数多様体]]である。
<!---The most important fundamental fact is that any smooth [[algebraic variety]] embedded in a [[projective space]] is a Kahler manifold, because there are natural [[Fubini-Study metric]] on a projective space which one can restrict to the algebraic variety. By definition, if ω is the Kahler metric on the algebraic variety X and the canonical bundle K<sub>X</sub> is trivial, then X is Calabi&ndash;Yau. Moreover, there is unique Kahler metric ω on X such that [ω<sub>0</sub>]=[ω]∈H<sup>2</sup>(X,'''R'''), a fact which was conjectured by [[Eugenio Calabi]] and proved by [[S. T. Yau]]. see [[Calabi conjecture]]

In one complex dimension, the only compact examples are [[torus|tori]], which form a one-parameter family. The Ricci-flat metric on a torus is actually a [[flat metric]], so that the [[holonomy]] is the trivial group SU(1). A one-dimensional Calabi&ndash;Yau manifold is a complex [[elliptic curve]], and in particular, [[algebraic variety|algebraic]].-->

複素次元が 2 の場合は、K3曲面が唯一のコンパクトで単連結なカラビ・ヤウ多様体である。非単連結な例は、[[アーベル多様体]]により与えられる。エンリケス曲面と超楕円曲面は、第一チャーン類が実係数コホモロジー群の元としてはゼロになるが、整係数コホモロジー群の元としてはゼロにならず、リッチ計量の存在についてのヤウの定理を適用することはできるものの、カラビ・ヤウ多様体とは見なされないことが多い。アーベル曲面はカラビ・ヤウ多様体には分類しないことも多い。その理由は、ホロノミーが自明であり、SU(2)自体に同型となるのではなく、SU(2)の[[部分群|固有部分群]]となるからである。 

複素次元が 3 の場合は、カラビ・ヤウ多様体の分類問題は未解決だが、有限個の族が存在するとヤウにより予想されている。ただし、その数は20年前に彼が見積もった数より遥かに大きくなる。さらには、マイルス・リード(Miles Reid)は、3次元カラビ・ヤウ多様体の位相的な種類が無限個あることを予想し、それらすべてを（たとえば、{{仮リンク|コニフォールド|en|conifold}}(conifold)のような）マイルドな特異性を通して、リーマン面で可能なように、連続的に変換することが可能なことも予想している<ref>Reid, Miles (1987), "The Moduli Space of 3-Folds with K = 0 May Nevertheless be Irreducible", ''Math. Ann.'', '''278''', 329</ref> 3次元カラビ・ヤウ多様体の一つの例として、[[複素射影空間|'''CP'''<sup>4</sup>]]の中の非特異な[[クインティックスリーフォールド]]は、'''CP'''<sup>4</sup> の同次座標での同次 5次[[多項式]]のゼロ点からなる[[代数多様体]]がある。もう一つの例は、{{仮リンク|バース・ニエトの5次多様体|en|Barth–Nieto quintic}}(Barth–Nieto quintic)のスムースなモデルである。クインティックスリーフォールドの '''Z'''<sub>5</sub> 作用による離散的な商もカラビ・ヤウ多様体となり、多くの文献で注目を集めている。これらうちの一つが、[[ミラー対称性 (弦理論)]]により、元々のクインティックスリーフォールドと関連付けられている。
<!---In two complex dimensions, the [[K3 surface]]s furnish the only compact simply connected Calabi&ndash;Yau manifolds.  Non simply-connected examples are given by [[abelian surface]]s.  [[Enriques surface]]s and [[hyperelliptic surface]]s have first Chern class that vanishes as an element of the real cohomology group, but not as an element of the integral cohomology group, so Yau's theorem about the existence of a Ricci-flat metric still applies to them but they are sometimes not  considered to be Calabi&ndash;Yau manifolds.  Abelian surfaces are sometimes excluded from the classification of being Calabi&ndash;Yau, as their holonomy (again the trivial group) is a [[subgroup|proper subgroup]] of SU(2), instead of being isomorphic to SU(2). 

In three complex dimensions, classification of the possible Calabi&ndash;Yau manifolds is an open problem, although Yau suspects that there is a finite number of families (albeit a much bigger number than his estimate from 20 years ago).  In turn, it has also been conjectured by Miles Reid that the number of topological types of Calabi-Yau 3-folds is infinite, and that they can all be transformed continuously (through certain mild singularizations such as [[conifold]]s) one into another&mdash;much as Riemann surfaces can.<ref>Reid, Miles (1987), "The Moduli Space of 3-Folds with K = 0 May Nevertheless be Irreducible", ''Math. Ann.'', '''278''', 329</ref>  One example of a three-dimensional Calabi&ndash;Yau manifold is a non-singular [[quintic threefold]] in [[complex projective space|'''CP'''<sup>4</sup>]], which is the [[algebraic variety]] consisting of all of the zeros of a homogeneous quintic [[polynomial]] in the homogeneous coordinates of the '''CP'''<sup>4</sup>.  Another example is a smooth model of the [[Barth–Nieto quintic]]. Some discrete quotients of the quintic by various '''Z'''<sub>5</sub> actions are also Calabi&ndash;Yau and have received a lot of attention in the literature.  One of these is related to the original quintic by [[mirror symmetry (string theory)|mirror symmetry]].-->

すべての正の整数 n に対して、複素射影空間 '''CP'''<sup>n+1</sup> の同次座標における同次 n+2 多項式の非特異な[[ゼロ点集合]]は、コンパクトなカラビ-ヤウ多様体となる。その n = 1 の場合が楕円曲線、n = 2 の場合がK3曲面である。

すべての[[超ケーラー多様体]]は、カラビ・ヤウ多様体である。
<!---For every positive integer ''n'', the [[zero set]] of a non-singular homogeneous degree ''n+2'' polynomial in the homogeneous coordinates of the complex projective space '''CP'''<sup>''n''+1</sup> is a compact Calabi&ndash;Yau ''n''-fold.  The case ''n=1'' describes an elliptic curve, while for ''n=2'' one obtains a K3 surface.

All [[hyper-Kähler manifold]]s are Calabi&ndash;Yau.-->

==超弦理論への応用==
カラビ・ヤウ多様体は[[超弦理論]]で重要となる。ほとんどの伝統的な超弦モデルで、[[弦理論]]で予想される次元 10 は、認識可能な4次元が6次元の{{仮リンク|ファイブレーション|en|fibration}}の一種を持つと提起されている。カラビ・ヤウ n 次元多様体での[[コンパクト化 (物理学)|コンパクト化]]は、元の[[超対称性]]のいくつかを保存するので、重要である。詳しくいうと、{{仮リンク|ラモン・ラモン場|en|Ramond–Ramond field}}（フラックス）のないところでは、カラビ・ヤウ3次元多様体（実次元は 6）は、ホロノミーが完全に SU(3) に一致している場合は、コンパクト化する前の超対称性の1/4を保存する。

さらに一般的には、ホロノミーSU(n) をもつ n-多様体でのフラックスのないコンパクト化では、もとの超対称性の 2<sup>1−n</sup> を破ることはなく、これがタイプ II のコンパクト化の場合にはスーパーチャージの 2<sup>6−n</sup> に対応し、タイプIのコンパクト化の場合にはスーパーチャージの 2<sup>5−n</sup> に対応する。フラックスを持っている場合は、超対称性条件はコンパクト化する多様体が[[一般化された複素構造#可積分性、その他の構造|一般化されたカラビ・ヤウ多様体]]となる。この考え方は{{harvtxt|Hitchin|2003}} で導入され、これらのモデルは[[コンパクト化 (物理学)#フラックスコンパクト化|フラックスコンパクト化]]として知られている。
<!---Calabi&ndash;Yau manifolds are important in [[superstring theory]]. In the most conventional superstring models, ten conjectural dimensions in [[string theory]] are supposed to come as four of which we are aware, carrying some kind of [[fibration]] with fiber dimension six. [[Compactification (physics)|Compactification]] on Calabi&ndash;Yau ''n''-folds are important because they leave some of the original [[supersymmetry]] unbroken. More precisely, in the absence of [[Ramond&ndash;Ramond field|fluxes]], compactification on a Calabi&ndash;Yau 3-fold (real dimension 6) leaves one quarter of the original supersymmetry unbroken if the [[holonomy]] is the full SU(3).  

More generally, a flux-free compactification on an ''n''-manifold with holonomy SU(''n'') leaves 2<sup>1−''n''</sup> of the original supersymmetry unbroken, corresponding to 2<sup>6−''n''</sup> supercharges in a compactification of type II [[supergravity]] or 2<sup>5−''n''</sup> supercharges in a compactification of type I.  When fluxes are included the supersymmetry condition instead implies that the compactification manifold be a [[generalized Calabi&ndash;Yau]], a notion introduced by {{harvtxt|Hitchin|2003}}.  These models are known as [[Compactification (physics)#Flux compactification|flux compactification]]s.-->

本質的には、カラビ・ヤウ多様体が弦理論の｢見えない｣6次元（空間次元）の空間を形成する。現在観測可能である長さよりも小さいために、それらを検知することが出来ない。{{仮リンク|大きな余剰次元|en|Large extra dimension}}として良く知られているモデルは、[[ブレーンワールド]]モデルで、カラビ・ヤウ多様体は大きいが、[[Dブレーン]]を横切り交叉する部分の上に、私たちが閉じ込められていることを意味している。

{{仮リンク|F-理論|en|F-theory}}の様々なカラビ・ヤウ4次元多様体でのコンパクト化は、いわゆる{{仮リンク|弦理論ランドスケープ|en|String theory landscape}}の中で、様々な古典解を見つけ出す方法を物理学者に提供する。
<!---Essentially, Calabi&ndash;Yau manifolds are shapes that satisfy the requirement of space for the six "unseen" spatial dimensions of string theory, which may be smaller than our currently observable lengths as they have not yet been detected. A popular alternative known as [[large extra dimension]]s, which often occurs in [[braneworld]] models, is that the Calabi&ndash;Yau is large but we are confined to a small subset on which it intersects a [[D-brane]].

[[F-theory]] compactifications on various Calabi&ndash;Yau four-folds provide physicists with a method to find a large number of classical solution in the so-called [[string theory landscape]].-->

低エネルギーの弦の振動パターンは、カラビ・ヤウ空間の各々の穴に関係している。弦理論では我々の慣れ親しんでいる基本粒子が低エネルギーの弦の振動に対応しているので、多重化した穴の存在は、弦のパターンを多重なグループや[[世代 (素粒子)|世代]]に振り分けることになる。次のステートメントは単純化されているが、理論のロジックを含んでいる。｢カラビ・ヤウ空間が 3つの穴を持っていると、3つの振動パターンの世代ができ、粒子の 3世代は実験的に観察されるであろう。｣

論理的には、弦の振動はすべての次元を通して巻き付く数を変化させるので、それらの振動数や、従って観察される基本粒子の性質に影響を与えるであろう。例えば、アンドリュー・ストロミンジャーとエドワード・ウィッテンは、粒子の質量がカラビ・ヤウ空間の中の様々な穴の交叉のしかたに依存していることを示した。言い換えると、穴のたがいの相対位置とカラビ・ヤウ空間の物質との相対的位置は、ストロミンジャーとウィッテンによって発見され、ある方法によって粒子の質量に影響する。もちろん、これはすべての粒子について正しい。<ref>{{cite web|url=http://library.thinkquest.org/27930/stringtheory5.htm|title=The Shape of Curled-Up Dimensions|accessdate=2012-12-27|archiveurl=https://web.archive.org/web/20060913014709/http://library.thinkquest.org/27930/stringtheory5.htm|archivedate=Sep 13, 2006}}</ref>
<!---Connected with each hole in the Calabi-Yau space is a group of low-energy string vibrational patterns. Since string theory states that our familiar elementary particles correspond to low-energy string vibrations, the presence of multiple holes causes the string patterns to fall into multiple groups, or [[Generation (particle physics)|families]]. Although the following statement has been simplified, it conveys the logic of the argument: if the Calabi-Yau has three holes, then three families of vibrational patterns and thus three families of particles will be observed experimentally.

Logically, since strings vibrate through all the dimensions, the shape of the curled-up ones will affect their vibrations and thus the properties of the elementary particles observed. For example, Andrew Strominger and Edward Witten have shown that the masses of particles depend on the manner of the intersection of the various holes in a Calabi-Yau. In other words, the positions of the holes relative to one another and to the substance of the Calabi-Yau space was found by Strominger and Witten to affect the masses of particles in a certain way. This, of course, is true of all particle properties.<ref>{{cite web|url=http://library.thinkquest.org/27930/stringtheory5.htm|title=The Shape of Curled-Up Dimensions|accessdate=2006|archiveurl=https://web.archive.org/web/20060913014709/http://library.thinkquest.org/27930/stringtheory5.htm|archivedate=Sep 13, 2006}}</ref>-->

==脚注==
<references />

==参考文献==
* {{Citation | last1=Besse | first1=Arthur L. | title=Einstein manifolds | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3)| volume=10 | isbn=978-3-540-15279-8 | year=1987 | oclc=13793300}}
*Chan,Yat-Ming (2004)"[https://arxiv.org/abs/math/0410260v1 Desingularization Of Calabi&ndash;Yau 3-Folds With A Conical Singularity]"
*{{Citation | last1=Calabi | first1=Eugenio | chapter=The space of Kähler metrics|title= Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam |year=1954|volume=2|pages= 206&ndash;207|url=http://mathunion.org/ICM/ICM1954.2/}}
*{{Citation | last1=Calabi | first1=Eugenio | editor1-last=Fox | editor1-first=Ralph H. | editor2-last=Spencer | editor2-first=D. C. | editor3-last=Tucker | editor3-first=A. W. | title=Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz | url=https://books.google.co.jp/books?id=n_ZQAAAAMAAJ&redir_esc=y&hl=ja | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Princeton Mathematical Series | mr=0085583 | year=1957 | volume=12 | chapter=On Kähler manifolds with vanishing canonical class | pages=78–89}}
*Greene, Brian "[https://arxiv.org/abs/hep-th/9702155v1 String Theory On Calabi&ndash;Yau Manifolds]"
*{{citation| last1=Candelas|first1=Philip|last2=Horowitz|first2=Gary|last3=Strominger|first3=Andrew|last4=Witten|first4=Edward | year = 1985 | title = Vacuum configurations for superstrings | journal = Nuclear Physics B | volume = 258 | pages = 46–74 | doi = 10.1016/0550-3213(85)90602-9|url=http://www-lib.kek.jp/cgi-bin/img_index?8504007|bibcode = 1985NuPhB.258...46C }}
*{{Citation | last1=Gross | first1=M. | last2=Huybrechts | first2=D. | last3=Joyce | first3=Dominic | author3-link=Dominic Joyce | title=Calabi&ndash;Yau manifolds and related geometries | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-3-540-44059-8 | mr=1963559 | year=2003 | oclc=50695398}}
*{{Citation | authorlink=Nigel Hitchin | last1=Hitchin | first1=Nigel | title=Generalized Calabi&ndash;Yau manifolds | arxiv=math.DG/0209099 | mr=2013140 | year=2003 | journal=The Quarterly Journal of Mathematics  | volume=54 | issue=3 | pages=281–308 | doi=10.1093/qmath/hag025}}
* {{Citation | last1=Hübsch | first1=Tristan | title=Calabi&ndash;Yau Manifolds: a Bestiary for Physicists | publisher=[[World Scientific]] | location=Singapore, New York | isbn=981-02-1927-X | year=1994 | oclc=34989218|url=http://www.worldscibooks.com/physics/1410.html}}
*Im, Mee Seong (2008) "[http://silver.ima.umn.edu/2007-2008/SP7.14-25.08/activities/Im-Mee%20Seong/ Singularities-in-Calabi-Yau-varieties.pdf Singularities in Calabi&ndash;Yau varieties]"
* {{Citation | last1=Joyce | first1=Dominic | author1-link=Dominic Joyce | title=Compact Manifolds with Special Holonomy | publisher=[[Oxford University Press]] | isbn=978-0-19-850601-0 | year=2000 | oclc=43864470}}
*{{Citation| first1=Gang| last1=Tian| first2=Shing-Tung| last2=Yau|title=Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, I| journal=Amer. Math. Soc.| volume=3| issue=3| pages=579–609|  year=1990|doi=10.2307/1990928| jstor=1990928}}
*{{Citation| first1=Gang| last1=Tian| first2=Shing-Tung| last2=Yau| title=Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, II| journal=Invent. Math.| volume=106| issue=1| pages=27–60|  year=1991| doi=10.1007/BF01243902|bibcode = 1991InMat.106...27T }}
*{{Citation | last1=Yau | first1=Shing Tung | title=On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I | doi=10.1002/cpa.3160310304  | mr=480350 | year=1978 | journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] | volume=31 | issue=3 | pages=339–411}}
*{{Citation | last1=Yau | first1=Shing-Tung | title=Surveys in differential geometry. Vol. XIII. Geometry, analysis, and algebraic geometry: forty years of the Journal of Differential Geometry | url=http://www.scholarpedia.org/article/Calabi-Yau_manifold | publisher=Int. Press | location= Somerville, Massachusetts | series=Surv. Differ. Geom. | mr=2537089 | year=2009 | volume=4 | chapter=A survey of Calabi-Yau manifolds | pages=277–318 | doi=10.4249/scholarpedia.6524 | journal=Scholarpedia | issue=8|bibcode = 2009SchpJ...4.6524Y }}

==関連項目==
*{{仮リンク|G2多様体|en|G2 manifold}}(G2 manifold)
*{{仮リンク|カラビ・ヤウ代数|en|Calabi–Yau algebra}}(Calabi–Yau algebra)

==外部リンク==
*[http://www.th.physik.uni-bonn.de/th/Supplements/cy.html Calabi&ndash;Yau Homepage] is an interactive reference which describes many examples and classes of Calabi&ndash;Yau manifolds and also the physical theories in which they appear.
*[http://members.wri.com/jeffb/visualization/stringtheory2.shtml Spinning Calabi&ndash;Yau Space video.]
*''[http://demonstrations.wolfram.com/CalabiYauSpace/ Calabi&ndash;Yau Space]'' by Andrew J. Hanson with additional contributions by Jeff Bryant, [[Wolfram Demonstrations Project]].
*{{MathWorld |title=Calabi&ndash;Yau Space |urlname=Calabi-YauSpace}}
*{{citation|last=Yau|first=S. T. |url=http://www.scholarpedia.org/article/Calabi-Yau_manifold|title=Calabi&ndash;Yau manifold|publisher=Scholarpedia}} (similar to {{harv|Yau|2009}})

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{{DEFAULTSORT:からひやうたようたい}}

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