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{{要改訳}}
[[数学]]において'''カラビ予想'''（{{lang-en-short|Calabi conjecture}}）とは、ある種の[[複素多様体]]上に「良い」性質を持つ[[リーマン計量]]が存在することを主張する予想である。{{harvs |txt |authorlink=エウジェニオ・カラビ |first=Eugenio |last=Calabi |year =1954 |year2=1957}} が1950年代に提出し、1977年頃に{{harvs |txt |authorlink=シン＝トゥン・ヤウ |first=Shing-Tung |last= Yau |year1=1977 |year2= 1978}}により解決された。この証明を理由のひとつとしてヤウは1982年[[フィールズ賞]]を受賞した。

カラビ予想とは、[[コンパクト空間|コンパクト]] [[ケーラー多様体]]は、2-形式により与えられる任意の[[リッチ曲率]]<ref>本記事では、Ricci curvatureとRicci formを同じ訳語とし、「リッチ曲率」に統一する。</ref>に対し、リッチ曲率の所属する第一チャーン類に対し、多様体上に一意にケーラー計量が決まるであろうという予想である。特に、第一チャーン類がゼロである場合には、[[リッチ曲率]]がゼロとなる同じクラスのなかに一意的にケーラー計量が決まり、これらを[[カラビ・ヤウ多様体]]と言う。

さらに公式に、カラビ予想を記述すると、
:M がケーラー計量 <math>g\;</math> とケーラー形式 <math>\omega\;</math> を持つ[[コンパクト空間|コンパクト]][[ケーラー多様体]]で R が多様体 M の第一[[チャーン類]]を表す[[微分形式|(1,1)-形式]]とすると、一意にケーラー計量 <math>\tilde{g}</math> とケーラー形式 <math>\tilde{\omega}</math> が M 上に存在し、<math>\omega\;</math> と <math>\tilde{\omega}</math> が[[コホモロジー]] H<sup>2</sup>(M,'''R''') の同じクラスを表し <math>\tilde{\omega}</math> のリッチ曲率が R となる。

カラビ予想は、どのようなケーラー多様体が[[ケーラー・アインシュタイン計量]]を持つのかという問題と密接に関連する。
<!---In mathematics, the '''Calabi conjecture''' was a conjecture about the existence of certain "nice" [[Riemannian metric]]s on certain [[complex manifold]]s, made by {{harvs |txt |authorlink=Eugenio Calabi |first=Eugenio |last=Calabi |year =1954 |year2=1957}} and proved by {{harvs |txt |authorlink=Shing-Tung Yau |first=Shing-Tung |last= Yau |year1=1977 |year2= 1978}}. Yau received the [[Fields Medal]] in 1982 in part for this proof.  

The Calabi conjecture states that a [[compact space|compact]] [[Kähler manifold]] has a unique Kähler metric in the same class whose [[Ricci form]] is any given 2-form representing the first [[Chern class]]. In particular if the first Chern class vanishes there is a unique Kähler metric in the same class with vanishing [[Ricci curvature]]; these are called [[Calabi&ndash;Yau manifold]]s.

More formally, the Calabi conjecture states:
:If ''M'' is a [[compact space|compact]] [[Kähler manifold]] with Kähler metric <math>g\;</math> and Kähler form <math>\omega\;</math>, and ''R'' is any [[differential form|(1,1)-form]] representing the manifold's first [[Chern class]], then there exists a unique Kähler metric <math>\tilde{g}</math> on ''M'' with Kähler form <math>\tilde{\omega}</math> such that <math>\omega\;</math> and <math>\tilde{\omega}</math> represent the same class in [[cohomology]] H<sup>2</sup>(''M'','''R''') and the [[Ricci form]] of <math>\tilde{\omega}</math> is ''R''.

The Calabi conjecture is closely related to the question of which Kähler manifolds have [[Kähler&ndash;Einstein metric]]s.-->

==ケーラー・アインシュタイン計量==
カラビ予想と密接な関連する予想として、コンパクトケーラー多様体が負、ゼロ、正の第一チャーン類を持つと、定数倍を除外してケーラー計量としてチャーン類に対応するケーラー・アインシュタイン計量を持つという予想がある。この予想の証明は、負のチャーン類に対して、{{仮リンク|ティエリー・オービン|en|Thierry Aubin}}(Thierry Aubin)と[[シン＝トゥン・ヤウ]](Shing-Tung Yau)により1976年になされた。チャーン類が 0 のときは、ヤウにより、0 の場合の結果より証明された。

第一チャーン類が正の場合は、ヤウが 2点でブローアップした{{仮リンク|複素射影平面|en|complex projective plane}}はケーラー・アインシュタイン計量を持たないことを証明した。従って、正の場合の反例となる。また、ケーラー・アインシュタイン計量が存在しても一意には決定されないことも証明した。正の第一チャーン類に対して、さらに多くの結果がある。ケーラー・アインシュタイン計量が存在するための必要条件は、[[正則]]ベクトル場のリー代数が[[簡約群|簡約的]]であることなどがある。ヤウは、正の第一チャーン類に対しケーラー多様体がケーラー・アインシュタイン計量を持つことと、[[幾何学的不変式論]]の意味でケーラー多様体が安定なことが同値であることを予想した。
<!---==Kähler&ndash;Einstein metrics==
A  conjecture closely related to the Calabi conjecture states that if a  compact Kähler variety has a negative, zero,  or positive first Chern class then it has a [[Kähler&ndash;Einstein metric]] in the same class as its Kähler metric, unique up to rescaling.  
This was proved for negative first Chern classes independently by [[Thierry Aubin]] and [[Shing-Tung Yau]] in 1976. When the Chern class is zero it was proved by Yau as an easy consequence of the Calabi conjecture. 

It was  disproved for positive first Chern classes by Yau, who observed that the [[complex projective plane]] blown up at 2 points has no Kähler&ndash;Einstein metric and so is a counterexample. Also even when Kähler&ndash;Einstein metric exists it need not be unique.  There has been a lot of further work on the positive first Chern class case. A necessary condition for the existence of a Kähler&ndash;Einstein metric is that the Lie algebra of [[holomorphic]] vector fields is reductive.  Yau conjectured that when the first Chern class is positive, a Kähler variety has a [[Kähler&ndash;Einstein metric]] if and only if it is stable in the sense of [[geometric invariant theory]].-->

複素曲面の場合は、[[ガン・ティアン]](Gang Tian)により研究された。正のチャーン類を持つ複素曲面は、2つの射影直線（明らかにケーラー・アインシュタイン計量を持つ）の積か、もしくは一般の位置にある多くとも 8個の点ブローアップされた射影平面である。一般の位置の意味は、一直線上に 3つの点が並ばないこと、二次曲線の上に 6つの点が載っていないことを言う意味である。射影平面はケーラー・アインシュタイン計量を持っていて、1つまたは 2つの点でブローアップされた射影平面は、正則ベクトル場のリー代数が簡約的ではないので、ケーラー・アインシュタイン計量を持たない。ティアンは、一般の位置にある 3, 4, 5, 6, 7, 8 個の点でブローアップされた射影平面はケーラー・アインシュタイン計量を持つことを示した。
<!---The case of complex surfaces has been settled by [[Gang Tian]]. The complex surfaces with positive Chern class are either a product of two copies of a projective line (which obviously has a Kähler&ndash;Einstein metric) or a blowup of the projective plane in at most 8 points in "general position", in the sense that no 3 lie on a line and no 6 lie on a quadric.  The projective plane has a Kähler&ndash;Einstein metric, and the projective plane blown up in 1 or 2 points does not, as the Lie algebra of holomorphic vector fields is not reductive.
Tian showed that the projective plane blown up in 3, 4, 5, 6, 7, or 8 points in general position has a  Kähler&ndash;Einstein metric.-->

==カラビ予想の証明の概要==

カラビは、予想を複素{{仮リンク|モンジュ・アンペール方程式|en|Monge–Ampère equation}}(Monge–Ampère equation)のタイプの非線形偏微分方程式として解釈し、この方程式が多くとも 1つの解しか持たないこと、従って求められているケーラー計量は一意であることを示した。

ヤウは、この方程式の解を[[連続の方法]]を使いカラビ予想を証明した。連続の方法とは、最初はより簡単な方程式を解き、続いて難しい方程式へ連続的に変形することができる簡単な方程式の解を示すことを意味する。ヤウの解法の最も困難な部分は、解の微分に対するある{{仮リンク|アプリオリ評価|en|a priori estimate}}(a priori estimate)を証明するところにある。
<!---==Outline of the proof of the Calabi conjecture==

Calabi transformed the Calabi conjecture  into  a non&ndash;linear partial differential equation of complex [[Monge–Ampère equation|Monge&ndash;Ampere]] type, and showed that this equation has at most one solution, thus establishing the uniqueness of the required Kähler metric.

Yau proved the Calabi conjecture by constructing a solution of  this equation using the [[continuity method]]. This involves first solving an easier equation, and then showing that a solution to the easy equation can be continuously deformed to a solution of the hard equation. The hardest part of Yau's solution is proving certain [[a priori estimate]]s for the derivatives of solutions.-->

===カラビ予想の微分方程式への変換===

M をケーラー形式 ω を持つコンパクト複素多様体とする。同じクラスに中の任意の他のケーラー形式は、定数を加えることを除き、一意に M 上のある滑らかな函数 φ に対し
:<math>\omega+dd'\phi</math>
となる。従って、カラビ予想は次の問題と同値となる。

:F=e<sup>f</sup> を平均値 1 を持つ M 上の正の滑らかな函数とする。すると、滑らかな実函数 &phi; が存在して、

::<math>(\omega+dd'\phi)^m = e^f\omega^m</math>

:を満たし、&phi; は定数を加えることを除き一意に決まる。
<!---===Transformation of the Calabi conjecture to a differential equation===

Suppose that ''M'' is a complex compact manifold with a Kahler form ω.
Any other Kahler form in the same class is of the form
:<math>\omega+dd'\phi</math>
for some smooth function φ on ''M'', unique up to addition of a constant. The Calabi conjecture is therefore equivalent to the following problem:

:Let ''F''=''e''<sup>''f''</sup> be a positive smooth function on ''M'' with average value 1. Then there is a smooth real function &phi; with
::<math>(\omega+dd'\phi)^m = e^f\omega^m</math>
:and &phi; is unique up to addition of a constant.-->

これは、単一の函数 φ についての複素モンジュ・アンペールタイプの方程式である。この方程式は、高次の項が非線形であるため、解くことが特に困難な偏微分方程式である。f = 0 のときに、φ = 0 が解であることは簡単である。連続法のアイデアは、方程式を解くことができる全ての f の集合が開集合かつ閉集合であることを示すことである。 解くことのできる f の集合が空でなければ、全ての f の集合は連結であるから、全ての f に対して方程式を解くことが可能であることが示される。

次の式により定義される φ から F への滑らかな函数どうしの写像は、単射でも全射でもない。

::<math>F=(\omega+dd'\phi)^m/\omega^m</math>

φ に定数を加えることで F は変化しないので単射ではないし、F は正であり、かつ平均値 1 を取らねばならないので全射ではない。従って、平均値 0 を取るように正規化された φ に函数を限定した写像を考え、この写像が平均値 1 を取る正の F=e<sup>f</sup> の集合の上への写像となるかを問うことになる。カラビとヤウは、実際、この写像が同型となることを証明した。下記に示すように、この証明はいくつかのステップを踏む。
<!---This is an equation of complex Monge&ndash;Ampere type for a single function φ.
It is a particularly hard partial differential equation to solve, as it is non-linear in the terms of highest order. 
It is trivial to solve it when ''f''=0, as φ=0 is a solution. The idea of the continuity method is to show that it can be solved for all ''f'' by showing that the set of ''f'' for which it can be solved is both open and closed. Since the set of ''f'' for which it can be solved is non-empty, and the set of all ''f'' is connected, this shows that it can be solved for all ''f''.

The map from smooth functions to smooth functions taking φ to  ''F'' defined by 
::<math>F=(\omega+dd'\phi)^m/\omega^m</math>
is neither injective nor surjective. It is not injective because adding a constant to φ does not change ''F'', and it is not surjective 
because ''F'' must be positive and have average value 1. So we consider the map restricted to functions φ that are normalized to have average value 0, and ask if this map is an isomorphism onto the set of positive ''F''=''e''<sup>''f''</sup> with average value 1. Calabi and Yau proved that it is indeed an isomorphism. This is done in several steps, described below.-->

===解の一意性===

解の一意性を証明することは、 
:<math>(\omega+dd'\varphi_1)^m = (\omega+dd'\varphi_2)^m</math>
の時に、φ<sub>1</sub> と φ<sub>2</sub> が定数のみ異なることを示すことである（すると、正規化されていて、平均値が 0 であることの双方を示すと同一であるはずである）。カラビは、このことを
:<math>|d(\varphi_1-\varphi_2)|^2</math>
の平均値が多くとのゼロである表現により与えられることを証明した。少なくともゼロであることが示すと、ゼロとなるはずであるから、 
:<math>d(\varphi_1-\varphi_2) = 0</math>
となり、このことは φ<sub>1</sub> と φ<sub>2</sub> が定数しか異なっていないことを示していることとなる。
<!---===Uniqueness of the solution===

Proving that the solution is unique involves showing that if 
:<math>(\omega+dd'\varphi_1)^m = (\omega+dd'\varphi_2)^m</math>
then φ<sub>1</sub> and φ<sub>2</sub> differ by a constant
(so must be the same if they are both normalized to have average value 0). 
Calabi proved this by showing that the average value of
:<math>|d(\varphi_1-\varphi_2)|^2</math>
is given by an expression that is at most 0. As it is obviously at least 0, it must be 0, so 
:<math>d(\varphi_1-\varphi_2) = 0</math>
which in turn forces φ<sub>1</sub> and φ<sub>2</sub> to differ by a constant.-->

===F の集合が開集合であること===

可能な F の集合が（平均値が 1 の滑らかな函数の集合の中で）開集合であることを証明するためには、ある F に対して方程式が解けるならば F に十分近いすべての函数に対しても方程式が解けることを示す必要がある。カラビは、[[バナッハ空間]]の[[陰関数#陰函数定理|陰函数定理]]を使いこれを証明した。これを適用するための主要なステップは上の微分作用素の「線形化」が可逆なことを示すステップである。
<!---===The set of ''F'' is open===

Proving that the set of possible ''F'' is open (in the set of smooth functions with average value 1) involves showing that if it is possible to solve the equation for some ''F'', then it is possible to solve it for all sufficiently close ''F''. Calabi proved this by using the [[implicit function theorem]] for [[Banach space]]s: in order to apply this, the main step is to show that the ''linearization'' of the differential operator above is invertible.-->

===F の集合が閉集合であること===
証明の最も困難な部分で、ヤウによりこの部分が証明された。

F が可能な函数 φ の像の閉包に含まれるとする。このことは、函数の列 φ<sub>1</sub>, φ<sub>2</sub>, ...
が存在して、対応する函数 F<sub>1</sub>, F<sub>2</sub>,... が F へ収束することを意味する。問題はある部分列が解 φ へ収束することを示すことである。収束することを証明するために、ヤウは、log(f<sub>i</sub>) の高次導函数を用いて函数 φ<sub>i</sub> とそれらの高次導関数を評価した({{仮リンク|アプリオリ評価|en|a priori bound}}(a priori bound))。これらの評価を導くために、困難な評価をたくさん行って、評価を少しずつ良くしていく必要がある。ヤウの得た評価は、函数 φ<sub>i</sub> がある函数バナッハ空間の中のコンパクトな部分集合の中にあることを示すに十分であったので、収束部分列をとることができる。この部分列は、F を像として持つ函数 φ へ収束し、可能な像 F の集合が閉集合であることが分かる。
<!---===The set of ''F'' is closed===
This is the hardest part of the proof, and was the part done by Yau.
Suppose that ''F'' is in the closure of the image of possible
functions φ. This means that there is a sequence of 
functions φ<sub>1</sub>, φ<sub>2</sub>, ...
such that the corresponding functions ''F''<sub>1</sub>, ''F''<sub>2</sub>,...
converge to ''F'', and the problem is to show that some subsequence of the φs converges to a solution φ. In order to do this, Yau finds some [[a priori bound]]s for the functions φ<sub>''i''</sub> and their higher derivatives
in terms of the higher derivatives of log(''f''<sub>''i''</sub>). Finding these bounds requires a long sequence of hard estimates, each improving slightly on the previous estimate. The bounds Yau gets are enough to show that the functions φ<sub>''i''</sub> all lie in a compact subset of a suitable Banach space of functions, so it is possible to find a convergent subsequence.
This subsequence converges to a function φ with image ''F'', which 
shows that the set of possible images ''F'' is closed.-->

== 脚注 ==
<references/>

==参考文献==
*T. Aubin, ''Nonlinear Analysis on Manifolds, Monge&ndash;Ampère Equations'' ISBN 0-387-90704-1 This gives a proof of the Calabi conjecture and of Aubin's results on Kaehler&ndash;Einstein metrics.
*{{Citation | last1=Bourguignon | first1=Jean-Pierre | title=Séminaire Bourbaki, 30e année (1977/78) | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Math. | doi=10.1007/BFb0069970 | year=1979 | volume=710 | chapter=Premières formes de Chern des variétés kählériennes compactes [d'après E. Calabi, T. Aubin et S. T. Yau] | pages=1–21 | mr=554212 | isbn=978-3-540-09243-8}} This gives a survey of the work of Aubin and Yau.
*{{Citation | last1=Calabi | first1=Eugenio | chapter=The space of Kähler metrics |title= Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam |volume=2 |year=1954 |pages= 206&ndash;207 | url=http://mathunion.org/ICM/ICM1954.2/ | chapter-url=http://mathunion.org/ICM/ICM1954.2/Main/icm1954.2.0206.0207.ocr.pdf}}
*{{Citation | last1=Calabi | first1=Eugenio | editor1-last=Fox | editor1-first=Ralph H. | editor2-last=Spencer | editor2-first=D. C. | editor3-last=Tucker | editor3-first=A. W. | title=Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz | url=https://books.google.co.jp/books?id=n_ZQAAAAMAAJ&redir_esc=y&hl=ja | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Princeton Mathematical Series | mr=0085583 | year=1957 | volume=12 | chapter=On Kähler manifolds with vanishing canonical class | pages=78–89}}
*Dominic D. Joyce ''Compact Manifolds with Special Holonomy'' (Oxford Mathematical Monographs) ISBN 0-19-850601-5 This gives a simplified proof of the Calabi conjecture.
*G. Tian,  [http://www.springerlink.com/content/k6w204w55607k5t2/ ''On Calabi's conjecture for complex surfaces with positive first Chern class.''] Invent. Math. 101 (1990), no. 1, 101&ndash;172.
*{{Citation | last1=Yau | first1=Shing Tung | title=Calabi's conjecture and some new results in algebraic geometry | url=http://www.pnas.org/content/74/5/1798 | year=1977 | journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]] | issn=0027-8424 | volume=74 | issue=5 | pages=1798–1799 | mr=0451180 | doi=10.1073/pnas.74.5.1798}}
*{{Citation | last1=Yau | first1=Shing Tung | title=On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I | doi=10.1002/cpa.3160310304 | mr=480350 | year=1978 | journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] | volume=31 | issue=3 | pages=339–411}}
*{{Citation | last1=Hassan | first1=Jolany | title=Calabi conjecture, Master thesis, Aix-Marseille University, https://arxiv.org/abs/1211.4171 }}
*{{cite book |first=啓 |last=中島 |title=非線型問題と複素幾何学 |year=1999 |series=現代数学の展開 |volume=20 |publisher=岩波書店 |location=Tokyo |isbn=4-00-010656-2 }}

==外部リンク==
*{{citation |last=Yau |first=S. T. |url=http://www.scholarpedia.org/article/Calabi-Yau_manifold |title=Calabi-Yau manifold |publisher=Scholarpedia |doi=10.4249/scholarpedia.6524 |year=2009 |journal=Scholarpedia |volume=4 |issue=8 |pages=6524}}

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