カリスティの不動点定理のソースを表示

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'''カリスティの不動点定理'''（カリスティのふどうてんていり、{{Lang-en-short|Caristi fixed-point theorem}}）あるいは'''カリスティ＝カークの不動点定理'''（Caristi-Kirk fixed-point theorem）と呼ばれる定理は、[[数学]]において、[[バナッハの不動点定理]]を[[完備距離空間]]からそれ自身への写像に対して一般化するものである。カリスティの不動点定理は、{{仮リンク|イヴァール・エクランド|en|Ivar Ekeland}}（1974,1979）の ''ε''-{{仮リンク|エクランドの変分原理|label=変分原理|en|Ekeland's variational principle}}を少し変えたものである。また、カリスティの定理の結論が距離完備性と同値であることは Weston (1977) によって示された。元々の結果は、数学者ジェームス・カリスティと{{仮リンク|ウィリアム・アーサー・カーク|en|William Arthur Kirk}}によるものである。

== 定理の内容 ==
(''X'',&nbsp;''d'') を完備距離空間とする。''T''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''X'' と ''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;[0,&nbsp;+∞) を ''X'' から非負の[[実数]]への[[半連続性|下半連続]]函数とする。''X'' 内のすべての点 ''x'' に対して、次が成り立つことを仮定する。

:<math>d \big( x, T(x) \big) \leq f(x) - f \big( T(x) \big).</math>

このとき ''T'' は ''X'' 内に不動点、すなわち ''T''(''x''<sub>0</sub>)&nbsp;=&nbsp;''x''<sub>0</sub> を満たす点 ''x''<sub>0</sub> を持つ。

== 参考文献 ==
* {{cite journal
|     last = Caristi
|    first = James
|    title = Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions
|  journal = [[:en:Transactions of the American Mathematical Society|Trans. Amer. Math. Soc.]]
|   volume = 215
|     year = 1976
|    pages = 241&ndash;251
|     issn = 0002-9947
|      doi = 10.2307/1999724
|      jstor = 1999724
}}
* {{cite journal
|     doi = 10.1016/0022-247X(74)90025-0
|     last = Ekeland
|    first = Ivar
|    title = On the variational principle
|  journal = J. Math. Anal. Appl.
|   volume = 47
|     year = 1974
|    pages = 324&ndash;353
|     issn = 0022-247X
|     issue = 2
}}
* {{cite journal
|     last = Ekeland
|    first = Ivar
|    title = Nonconvex minimization problems
|  journal = [[:en:Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)]]
|   volume = 1
|     year = 1979
|    issue = 3
|    pages = 443&ndash;474
|     issn = 0002-9904
|      doi = 10.1090/S0273-0979-1979-14595-6
}}
* {{cite journal
|     last = Weston
|    first = J. D.
|    title = A characterization of metric completeness
|  journal = [[:en:Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc.]]
|   volume = 64
|     year = 1977
|    issue = 1
|    pages = 186&ndash;188
|     issn = 0002-9939
|      doi = 10.2307/2041008
|      jstor = 2041008
}}
{{デフォルトソート:かりすていのふとうてんていり}}
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