カレント (数学)のソースを表示

{{要改訳}}
数学、特に[[函数解析]]、[[微分幾何学]]や{{仮リンク|幾何学的測度論|en|geometric measure theory}}(geometric measure theory)では、[[ジョルジュ・ド・ラーム]](Georges de Rham)の意味で'''k-カレント'''(k-current)は、[[滑らかな多様体]](smooth manifold) M の[[関数の台#コンパクト台付きの函数|コンパクトな台]]を持つ[[微分形式|微分形式 k-形式]]の空間上の[[線型汎函数|汎函数]]である。形式的なカレントの振る舞いは、微分形式上[[シュワルツの超函数]]に似ている。幾何学的な設定では、[[ディラックのデルタ函数]]や、より一般的な M の部分集合に沿った（{{仮リンク|多重極|en|multipole}}(multipole)を持つ）デルタ函数の[[方向微分]]も、一般化した部分多様体上の積分で表わすことができる。
<!--In [[mathematics]], more particularly in [[functional analysis]], [[differential topology]], and [[geometric measure theory]], a '''k-current''' in the sense of [[Georges de Rham]] is a [[linear functional|functional]] on the space of [[compactly supported]] [[differential form|differential k-forms]], on a [[smooth manifold]] ''M''. Formally currents behave like [[Schwartz distribution]]s on a space of differential forms. In a geometric setting, they can represent integration over a submanifold, generalizing the [[Dirac delta function]], or more generally even [[directional derivative]]s of delta functions ([[multipole]]s) spread out along subsets of ''M''.-->

==定義==
<math>\Omega_c^m(M)</math> で[[滑らかな多様体]](smooth manifold) <math>M</math> 上の[[関数の台#コンパクト台付きの函数|コンパクトな台]]を持つ[[微分形式|m次微分形式]]の空間を表すとする。カレントは、[[シュワルツ超函数|シュワルツの超函数]]の意味での連続である <math>\Omega_c^m(M)</math> 上の[[線型汎函数]]である。従って、線型汎函数

:<math>T\colon \Omega_c^m(M)\to \mathbb{R}</math>

は、次の意味で[[連続函数|連続]]であれば、m-カレントである。滑らかな形式の系列が、すべての同じコンパクトな集合でサポートされていて、<math>k</math> が無限に近づくとき、すべての係数の微分が 0 に均一収束するならば、<math>T(\omega_k)</math> は 0 へ収束する。

<math>M</math> 上の m-次元カレントの空間 <math>\mathcal D_m(M)</math> は、

:<math>(T+S)(\omega):= T(\omega)+S(\omega),\qquad (\lambda T)(\omega):=\lambda T(\omega)</math>

で定義される作用素を持つ[[実数|実]][[ベクトル空間]]である。

シュワルツ超函数論の大半を、最小となるよう調整されたカレントの理論に引き継ぐことができる。たとえば、カレント <math>T \in \mathcal{D}_m(M)</math> の'''サポート'''の定義を、<math>\omega \in \Omega_c^m(U)</math> であるときはいつも、<math>T(\omega) = 0</math> である最大の[[開集合]] <math>U \subset M</math> として定義することもできる。

<math>M</math> のコンパクトな部分集合である（上記の意味で）サポートをもつ <math>\mathcal D_m(M)</math> の[[線型部分空間]]は、<math>\mathcal E_m(M)</math> と表わされる。
<!--==Definition==
Let <math>\Omega_c^m(M)</math> denote the space of smooth ''m''-[[differential form|forms]] with [[compact support]] on a [[smooth manifold]] <math>M</math>.  A current is a [[linear functional]] on <math>\Omega_c^m(M)</math> which is continuous in the sense of [[distribution (mathematics)|distribution]]s.  Thus a linear functional

:<math>T\colon \Omega_c^m(M)\to \mathbb{R}</math>

is an ''m''-current if it is [[continuous function|continuous]] in the following sense: If a sequence <math>\omega_k</math> of smooth forms, all supported in the same compact set, is such that all derivatives of all their coefficients tend uniformly to 0 when  <math>k</math>  tends to infinity, then  <math>T(\omega_k)</math> tends to 0.

The space  <math>\mathcal D_m(M)</math> of ''m''-dimensional currents on <math>M</math> is a [[real number|real]] [[vector space]] with operations defined by   

:<math>(T+S)(\omega):= T(\omega)+S(\omega),\qquad (\lambda T)(\omega):=\lambda T(\omega).</math>

Much of the theory of distributions carries over to currents with minimal adjustments. For example, one may define the '''support''' of a current <math>T \in \mathcal{D}_m(M)</math> as the complement of the biggest [[open set]] <math>U \subset M</math> such that

:<math>T(\omega) = 0 </math> whenever <math>\omega \in \Omega_c^m(U)</math>

The [[linear subspace]] of <math>\mathcal D_m(M)</math> consisting of currents with support (in the sense above) that is a compact subset of <math>M</math> is denoted <math>\mathcal E_m(M)</math>.-->

==ホモロジー論==
コンパクトな{{仮リンク|修正可能な集合|label=修正可能な|en|rectifiable set}}(rectifiable)<ref>可算個な区分線型可能(piecewise linear)の意味で使っている。</ref>[[向き (数学)|向きつけられた]]部分多様体 M（次元 m である[[境界付き多様体]](with boundary)）上での[[積分]]は、m-カレントを
:<math>[[M]](\omega)=\int_M \omega</math>
と定義することができる。

M の[[境界 (位相空間論)|境界]](boundary) ∂M が修正可能であれば、積分によりカレントを定義するに充分であり、[[ストークスの定理]]により、

:<math>[[\partial M]](\omega) = \int_{\partial M}\omega = \int_M d\omega = [[M]](d\omega)</math>

を得る。これは M の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]上の[[境界作用素]] ∂ と[[外微分]] d とを関連付ける。

この公式から、すべてのコンパクトなサポートを持つ m-カレントに対し、カレント上の'''境界作用素'''

:<math>\partial\colon \mathcal D_{m+1} \to \mathcal D_m</math>

を

:<math>(\partial T)(\omega) := T(d\omega)\,</math>

で定義することができる。
<!--==Homological theory==
[[Integral|Integration]] over a compact [[rectifiable set|rectifiable]] [[orientation (mathematics)|oriented]] submanifold ''M'' ([[manifold with boundary|with boundary]]) of dimension ''m'' defines an ''m''-current, denoted by <math>[[M]]</math>:
:<math>[[M]](\omega)=\int_M \omega.\,</math>

If the [[Boundary (topology)|boundary]] ∂''M'' of ''M'' is rectifiable, then it too defines a current by integration, and by virtue of [[Stokes' theorem]] one has:

:<math>[[\partial M]](\omega) = \int_{\partial M}\omega = \int_M d\omega = [[M]](d\omega).</math>

This relates the [[exterior derivative]] ''d'' with the [[boundary operator]] ∂ on the [[homology (mathematics)|homology]] of ''M''.

In view of this formula we can ''define'' a '''boundary operator''' on arbitrary currents

:<math>\partial\colon \mathcal D_{m+1} \to \mathcal D_m</math>

by

:<math>(\partial T)(\omega) := T(d\omega)\,</math>

for all compactly supported (''m''&minus;1)-forms ω.-->

==トポロジーとノルム==
カレントの空間は、自然に[[弱位相]](weak-* topology)を持ち、さらに単純化して'''弱収束'''と呼ばれる。カレントの[[系列]] T<sub>k</sub> が

:<math>T_k(\omega) \to T(\omega),\qquad \forall \omega.\,</math>

であるとき、カレントは[[収束]]すると言う。

全カレントの空間上でいくつかの[[ノルム]]を定義することが可能である。 そのようなノルムのうちのひとつが'''質量ノルム'''(mass norm)である。ω が m-形式であれば'''余質量'''(comass)が、

:<math> \|\omega\| := \sup\{|\langle \omega,\xi\rangle|\colon\xi \mbox{ is a unit, simple, }m\mbox{-vector}\}.</math> 

により定義することができる。ω が{{仮リンク|テンソルランク|label=単純|en|tensor rank}}(simple)な m-形式とすると、その質量ノルムは、係数の普通の L<sup>∞</sup>-ノルムである。従って、カレント T の'''質量'''は、

:<math>\mathbf M (T) := \sup\{ T(\omega)\colon \sup_x |\vert\omega(x)|\vert\le 1\}</math>

で定義される。

カレントの質量は、一般化された曲面の'''ウェイト領域'''(weighted area)を表わす。'''M'''(T)&nbsp;<&nbsp;∞ であるカレントは、適切なウェイトを測ることのできる部分多様体上の積分により表現することができる。このことが、{{仮リンク|ホモロジカルな積分|en|homological integration}}(homological integration)の出発点である。

中間のノルムは、ホイットニーの'''平坦ノルム'''(flat norm)であり、

:<math> \mathbf F (T) := \inf \{\mathbf M(T - \partial A) + \mathbf M(A) \colon A\in\mathcal E_{m+1}\}</math>

により定義される。

2つのカレントは、それらが小さなほうから離れていれば、質量ノルムの中で閉である。一方、小さな変形で一致すれば、平坦ノルムと一致する。
<!--==Topology and norms==
The space of currents is naturally endowed with the [[weak-* topology]], which will be further simply called ''weak convergence''. A [[sequence]] ''T''<sub>''k''</sub> of currents, [[limit point|converges]] to a current ''T'' if  

:<math>T_k(\omega) \to T(\omega),\qquad \forall \omega.\,</math>

It is possible to define several [[norm (mathematics)|norms]] on subspaces of the space of all currents.  One such norm is the ''mass norm''.  If ω is an ''m''-form, then define its '''comass''' by

:<math> \|\omega\| := \sup\{|\langle \omega,\xi\rangle|\colon\xi \mbox{ is a unit, simple, }m\mbox{-vector}\}.</math> 

So if ω is a [[tensor rank|simple]] ''m''-form, then its mass norm is the usual L<sup>∞</sup>-norm of its coefficient. The '''mass''' of a current ''T'' is then defined as

:<math>\mathbf M (T) := \sup\{ T(\omega)\colon \sup_x |\vert\omega(x)|\vert\le 1\}. </math>

The mass of a current represents the ''weighted area'' of the generalized surface.  A current such that '''M'''(''T'')&nbsp;<&nbsp;∞ is representable by integration over a suitably weighted rectifiable submanifold.  This is the starting point of [[homological integration]].

An intermediate norm is Whitney's ''flat norm'', defined by   

:<math> \mathbf F (T) := \inf \{\mathbf M(T - \partial A) + \mathbf M(A) \colon A\in\mathcal E_{m+1}\}.</math>

Two currents are close in the mass norm if they coincide away from a small part. On the other hand they are close in the flat norm if they coincide up to a small deformation.-->

==例==

:<math>\Omega_c^0(\mathbb{R}^n)\equiv C^\infty_c(\mathbb{R}^n)\,</math>

より、次の式が 0-カレントを定義する。

:<math>T(f) = f(0).</math>

特に、すべての[[符号付き測度|符号付き]][[正則測度|正則な]][[測度 (数学)|測度]] <math>\mu</math> は 0-カレントである。

:<math>T(f) = \int f(x)\, d\mu(x).</math>

(x, y, z) を '''P'''<sup>3</sup> の座標とすると、次の式は 2-カレントを定義する（定義は多くあるがそのうちの一つ）。

:<math> T(a\,dx\wedge dy + b\,dy\wedge dz + c\,dx\wedge dz) = \int_0^1 \int_0^1 b(x,y,0)\, dx \, dy.</math>
<!--==Examples==
Recall that

:<math>\Omega_c^0(\mathbb{R}^n)\equiv C^\infty_c(\mathbb{R}^n)\,</math>

so that the following defines a 0-current:  

:<math>T(f) = f(0).\,</math>

In particular every [[signed measure|signed]] [[regular measure|regular]] [[measure (mathematics)|measure]] <math>\mu</math> is a 0-current:  

:<math>T(f) = \int f(x)\, d\mu(x).</math>

Let (''x'', ''y'', ''z'') be the coordinates in ℝ<sup>3</sup>. Then the following defines a 2-current (one of many):   

:<math> T(a\,dx\wedge dy + b\,dy\wedge dz + c\,dx\wedge dz) = \int_0^1 \int_0^1 b(x,y,0)\, dx \, dy.</math>-->

== 脚注 ==
<references/>

==関連項目==
*[[ジョルジュ・ド・ラーム]](Georges de Rham)
*{{仮リンク|ヘルベルト・フェデレール|en|Herbert Federer}}(Herbert Federer)
*[[微分幾何学]]
*{{仮リンク|ヴァリフォールド|en|Varifold}}(Varifold)
* [[正カレント]]

==参考文献==
* {{citation
|first=G.
|last=de Rham
|author-link=Georges de Rham
|title=Variétés Différentiables
|series= Actualites Scientifiques et Industrielles
|volume= 1222
|publisher=Hermann
|place=Paris
|year=1973
|edition=3rd
|pages=X+198
|language= French
|mr=
|zbl=0284.58001 
}}.
* {{citation
| last = Federer
| first = Herbert
| authorlink = Herbert Federer
| title = Geometric measure theory
| place= Berlin–Heidelberg–New York
| publisher = [[Springer-Verlag]]
| series = Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
| volume = 153
| year = 1969
| pages = xiv+676
| isbn = 978-3-540-60656-7
| id= 
| mr=0257325
| zbl= 0176.00801 
}}.
* {{citation
|first=H.
|last=Whitney
|author-link=Hassler Whitney
|title=Geometric Integration Theory
|series=Princeton Mathematical Series
|volume=21
|publisher=[[Princeton University Press]] and [[Oxford University Press]]
|place=Princeton, NJ and London
|year=1957
|pages= XV+387
|mr=0087148
|zbl=0083.28204
}}.
* {{Citation 
| last1=Lin 
| first1=Fanghua 
| last2=Yang 
| first2= Xiaoping
| title=Geometric Measure Theory: An Introduction 
| series= Advanced Mathematics (Beijing/Boston)
| volume=1
| place=Beijing/Boston
| pages=x+237
| publisher=Science Press/International Press 
| isbn=978-1-57146-125-4 
| year=2003
| mr=2030862
| zbl=1074.49011
}}

{{DEFAULTSORT:かれんと}}
[[Category:微分位相幾何学]]
[[Category:多様体論]]
[[Category:数学に関する記事]]