カージオイドのソースを表示

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* {{Pathnav|[[数学]]|[[幾何学]]|[[曲線]]|{{仮リンク|輪転曲線|en|Roulette (curve)}}|[[トロコイド#外トロコイド|外トロコイド]]|[[エピサイクロイド]]}}}}
[[Image:Cardioid.PNG|thumb|250px|right|カージオイド（{{mvar|a}}=1 の場合）]]

'''カージオイド'''（{{lang-en-short|cardioid}}）は、[[極座標]]の方程式
: <math>r=a(1 + \cos \theta)</math>
によって表される曲線である。'''心臓形'''（しんぞうけい）とも呼ばれる。[[心臓]]に似た形のためこの名称が付いた（{{lang-gr|καρδιοειδής}}, {{en|kardioeides}}) =「{{el|καρδιά}} ({{en|kardia}}, 心臓）」 + 「{{el|είδος}} ({{en|eidos}}, 形）」）。

[[直交座標]]の方程式では
: <math>(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 -2ax)-a^2 y^2=0</math>
で、[[媒介変数表示]]では
: <math>\begin{align}x&=a(1 + \cos \theta)\cos \theta,\\ y&=a(1 + \cos \theta)\sin \theta\end{align}</math>
で、それぞれ表される。
<gallery>
ファイル:Caustique.jpg|この写真の[[コーヒー]]の表面上に現れている[[コースティクス]]はカージオイドである。
ファイル:Cardioid in a watch.jpg|[[腕時計]]の[[ダイヤル|文字盤]]上の[[光線]]により生ずるカージオイド。
ファイル:Cardioid30.gif|外サイクロイドとしてのカージオイド曲線を[[半径]]の等しい[[外接円]]の一点の[[軌跡 (数学)|軌跡]]として表した[[アニメーション]]。
ファイル:Kardioide-parabel-1.svg|[[単位円]]（破線）に関する[[放物線]]の[[反転幾何学|反転]]として生成されるカージオイド。
</gallery>

== 性質 ==
[[File:Cardioid construction.gif|right|thumb|250px|円の垂足曲線として生成されるカージオイド。]]
[[ファイル:Kardioide-2.svg|thumb|right|250px|カージオイドの尖点を通る弦。図中の変数 a（直線体）は、本文中の変数 {{mvar|a}}（斜体）の半分に相当することに注意。]]
* [[エピサイクロイド]]の一種と見なすことができる。また[[パスカルの蝸牛形]]（リマソン）の一種と見なすこともできる。
* 半径 {{mvar|a}} の[[円 (数学)|円]]の、当該円周上の点を垂足点とする[[垂足曲線]]に相当する。
* x軸に対して[[線対称]]で、[[尖点]]は[[原点 (数学)|原点]]Oである。x軸とは原点Oと {{math| (2''a'', 0)}} で、y軸とは {{math| (0, ± ''a'')}}  で交わる。x軸から最も離れた点の座標は <math>\left(\frac{3}{4}a,\pm\frac{3\sqrt{3}}{4}a\right)</math> である。
* 曲線で囲まれる[[面積]] {{mvar|S}} と曲線の[[弧長]] {{mvar|l}} は
: <math display="block">\begin{align}
S&=\frac{3}{2} \pi a^2, \\
l&=8a
\end{align}</math> である。
* 媒介変数 {{mvar|θ}} の地点における[[曲率半径]]は <math>\frac{4a}{3}\sin\frac{\theta}{2}</math> である。
* 尖点を通る[[弦 (数学)|弦]]の長さは一定値 {{math|2''a''}} となる。当該任意の弦の[[中点]]は、尖点を通り[[直径]] {{mvar|a}} の円周上に位置する。

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|カージオイド|2=日本大百科全書(ニッポニカ)}}
* {{高校数学の美しい物語|1086|カージオイド曲線のグラフ，面積，長さ}}
* {{MathWorld|title=Cardioid|urlname=Cardioid}}

{{DEFAULTSORT:かあしおいと}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:閉曲線]]