カーディ公式のソースを表示

物理学では、ブラックホールのエントロピーを計算するために、'''カーディ公式'''(Cardy formula)が重要である。近年、この公式は[[BTZブラックホール]]のエントロピーの計算に現れるのみならず、[[AdS/CFT対応]]や[[ホログラフィック原理]]の検証にも表れるようになっている。

{{harvtxt|Cardy|1986}} は、この公式を発見し、(1+1)-次元の[[共形場理論]](CFT)の[[エントロピー]]を次のように与えた。
:<math>S=2\pi\sqrt{\tfrac{c}{6}\bigl(L_0-\tfrac{c}{24}\bigr)}</math>
ここに ''c'' は[[中心電荷]]、''L''<sub>0</sub> は全エネルギーと系の半径の積 ''ER'' で、''c''/24 のシフトは[[カシミール効果]]により引き起こされる。ここで、''c'' と ''L''<sub>0</sub> は、この共形場理論の[[ヴィラソロ代数]]を形成する。{{harvtxt|Verlinde|2000}} は、この公式を任意次元である (''n'' + 1) 次元に拡張したので、この公式を'''カーディ・ヴァーリンデ公式'''(Cardy-Verlinde formula)とも呼ぶ。次の計量を持つ[[反ド・ジッター空間]]を考える。
:<math>ds^2=-dt^2+R^2\Omega^2_n.</math>
ここに ''R'' は ''n'' 次元球面の半径である。この双対共形場理論はAdS空間の境界となっている。双対共形場理論のエントロピーは、この公式により次のように与えることができる。
:<math>S=\frac{2\pi R}{n}\sqrt{E_c(2E-E_c)},</math>
ここに、''E<sub>c</sub>'' はカシミール効果で、''E'' は全エネルギーである。上の公式は、最大エントロピーを ''E<sub>c</sub>'' = ''E'' のときに与える。
:<math>S\le S_{max}=\frac{2\pi RE}{n}.</math>
これはまさしく、[[ベッケンシュタイン境界]]である。
<!---In physics '''Cardy formula''' is important because it gives the entropy of black holes. Recent year, this formula has appeared in not only the calculation of the entropy of [[BTZ black hole]]s but also the checking of the [[AdS/CFT correspondence]] and the [[holographic principle]]. 

In 1986 [[John Cardy|J. L. Cardy]] discovered this formula {{harvtxt|Cardy|1986}}, which gives the [[entropy]] of (1+1)-dimensional [[conformal field theory]] (CFT)
:<math>S=2\pi\sqrt{\tfrac{c}{6}\bigl(L_0-\tfrac{c}{24}\bigr)},</math>
where c is the [[central charge]], L<sub>0</sub> the product ER of the total energy and radius of system, and the shift of c/24 is caused by the [[Casimir effect]]. Here, c and L<sub>0</sub> construct the [[Virasoro algebra]] of this CFT. In 2000 [[Erik Verlinde|E. Verlinde]] extended this formula to the arbitrary (n+1)-dimensions {{harvtxt|Verlinde|2000}}, so it is also called '''Cardy-Verlinde formula'''. Consider a [[AdS space]] with the metric
:<math>ds^2=-dt^2+R^2\Omega^2_n</math>
where R is the radius of a n-dimensional sphere. The dual CFT lives on the boundary of this AdS space. The entropy of the dual CFT can be given by this formula as
:<math>S=\frac{2\pi R}{n}\sqrt{E_c(2E-E_c)},</math>
where E<sub>c</sub> is the Casimir effect, E total energy. The above reduced formula gives the maximal entropy
:<math>S\le S_{max}=\frac{2\pi RE}{n},</math>
when E<sub>c</sub>=E. This is just the [[Bekenstein bound]].-->

==関連項目==
*[[ジョン・カーディ]]
*[[BTZブラックホール]]
*[[AdS/CFT対応]]
*[[ホログラフィック原理]]
*[[共形場理論]]

== 参考文献 ==
*{{Citation | last=Cardy | first=John|authorlink=John Cardy | title=Operator content of two-dimensional conformal invariant theory |series=Nucl. Phys. B |volume=270 186 | year=1986 }}
<!---The following paper is of the same author. But it can not be confirmed to be identical to the cardy formula in this article, and will be commented out.
*{{cite journal |author=John L. Cardy |title=Critical Percolation in Finite Geometries |journal=[[Journal of Physics A: Mathematical and General]] |volume=25 |issue=4 |pages=L201–L206 |date=February 21, 1992 |doi=10.1088/0305-4470/25/4/009|arxiv = hep-th/9111026 |bibcode = 1992JPhA...25L.201C }}
-->
*{{Citation | last=Carlip | first=Steven|authorlink=Steven Carlip | title=Conformal Field Theory, (2+1)-Dimensional Gravity, and the BTZ Black Hole |arxiv= gr-qc/0503022 | year=2005 |bibcode = 2005CQGra..22R..85C |doi = 10.1088/0264-9381/22/12/R01 }}
*{{cite arXiv | last=Verlinde | first=Erik |authorlink=Erik Verlinde| title=On the Holographic Principle in a Radiation Dominated Universe | year=2000 |eprint= hep-th/0008140}}

{{DEFAULTSORT:かあていこうしき}}
[[Category:量子重力理論]]