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数学における'''カーレマン行列'''（カーレマンぎょうれつ、{{Lang-en-short|Carleman matrix}}）は、[[函数の合成]]を[[行列の乗法|行列の積]]に読み替えるために用いられる行列である。反復理論において、[[パターン認識]]のみでは反復の出来ない連続な[[反復合成写像|反復函数]]を見つけるために用いられる。その他、[[積率母関数|確率母函数]]や[[マルコフ連鎖]]の理論で用いられる。
 
== 定義 ==

函数 <math>f(x)</math> の'''カーレマン行列'''は次のように定義される。
:<math>M[f]_{jk} = \frac{1}{k!}\left[\frac{d^k}{dx^k} (f(x))^j \right]_{x=0},</math>
したがって、次の（[[テイラー級数]]の）方程式が満たされる。
:<math>(f(x))^j = \sum_{k=0}^{\infty} M[f]_{jk} x^k.</math>

例えば、<math>f(x)</math> を計算すると
:<math>f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} M[f]_{1,k} x^k</math>
のように、<math> M[f] </math> の第 1 行と列ベクトル <math>[1,x,x^2,x^3,\ldots]^{\top}</math> （⊤ は[[転置行列|転置]]）のドット積で与えられる。

<math>M[f]</math> の次の行の成分は、以下のような <math>f(x)</math> の 2 次のベキを与える。
:<math>f(x)^2 = \sum_{k=0}^{\infty} M[f]_{2,k} x^k.</math>
そして、<math>f(x)</math> のゼロ次のベキを <math>M[f]</math> に含めるように、行 0 は第一成分を除いてすべてゼロであるようにする。すなわち
:<math>f(x)^0 = 1 = \sum_{k=0}^{\infty} M[f]_{0,k} x^k = 1+ \sum_{k=1}^{\infty} 0\cdot x^k</math>
が成り立つ。

したがって、<math>M[f]</math> と列ベクトル <math>[1,x,x^2,\ldots]^{\top}</math> のドット積は、列ベクトル <math>[1,f(x),f(x)^2,\ldots]^{\top}</math> を導く。すなわち、
:<math> M[f] \cdot [ 1,x,x^2,x^3,\ldots]^{\top} = [ 1,f(x),(f(x))^2,(f(x))^3,\ldots]^{\top}.</math>

== ベル行列 ==

函数 <math>f(x)</math> の'''ベル行列'''（Bell matrix）は次のように定義される。
:<math>B[f]_{jk} = \frac{1}{j!}\left[\frac{d^j}{dx^j} (f(x))^k \right]_{x=0}.</math>
したがって次の方程式が満たされる。
:<math>(f(x))^k = \sum_{j=0}^{\infty} B[f]_{jk} x^j.</math>
これは上述のカーレマン行列の[[転置行列|転置]]である。

==ジャボチンスキー行列 ==

エリ・ジャボチンスキー（Eri Jabotinsky）は 1947 年、多項式の畳み込みを表現する目的で行列の概念を開発した。このため何人かの研究者はベル行列のことを'''ジャボチンスキー行列'''と呼んでおり、今後この名がより正式なものになる可能性もある。

== 一般化 ==

函数のカーレマン行列の一般化は、任意の点の周りで次のように定義される。
:<math>M[f]_{x_0} = M_x[x - x_0]M[f]M_x[x + x_0]</math> 
あるいは <math>M[f]_{x_0} = M[g]</math> where <math>g(x) = f(x + x_0) - x_0</math>。この定義より、行列のベキを次のように表現できる。
:<math>(M[f]_{x_0})^n = M_x[x - x_0]M[f]^nM_x[x + x_0]</math>

== 行列の性質 ==

これまでに紹介した行列は、次の基本的な関係式を満たす。
* <math>M[f \circ g] = M[f]M[g],</math>
* <math>B[f \circ g] = B[g]B[f].</math>
このことよりカーレマン行列 ''M'' は <math>f(x)</math> の（順）表現であり、ベル行列 ''B'' は <math>f(x)</math> の逆表現（anti-representation）である。ここで項 <math>f \circ g </math> は函数の合成 <math>f(g(x))</math> を意味する。

その他の性質には、次のようなものがある。
*<math>M[f^n] = M[f]^n</math>。但し <math>f^n</math> は[[反復合成写像|反復函数]]。
*<math>M[f^{-1}] = M[f]^{-1}</math>。但し <math>f^{-1}</math> は（カーレマン行列が[[正則行列|可逆]]であるなら）[[逆関数|逆函数]]。

== 例 ==

* 定数のカーレマン行列は次で与えられる。
*: <math>M[a] = \begin{pmatrix}
1&0&0& \cdots \\
a&0&0& \cdots \\
a^2&0&0& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}</math>
* 恒等函数のカーレマン行列は次で与えられる。
*: <math>M_x[x] = \begin{pmatrix}
1&0&0& \cdots \\
0&1&0& \cdots \\
0&0&1& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}</math>
* 定数の和に関するカーレマン行列は次で与えられる。
*: <math>M_x[a + x] = \begin{pmatrix}
1&0&0& \cdots \\
a&1&0& \cdots \\
a^2&2a&1& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}</math>
* 定数倍に関するカーレマン行列は次で与えられる。
*: <math>M_x[cx] = \begin{pmatrix}
1&0&0& \cdots \\
0&c&0& \cdots \\
0&0&c^2& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}</math>
* 一次函数のカーレマン行列は次で与えられる。
*: <math>M_x[a + cx] = \begin{pmatrix}
1&0&0& \cdots \\
a&c&0& \cdots \\
a^2&2ac&c^2& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}</math>
* 函数 <math>f(x) = \sum_{k=1}^{\infty}f_k x^k</math> のカーレマン行列は次で与えられる。
*: <math>M[f] = \begin{pmatrix}
1&0&0& \cdots \\
0&f_1&f_2& \cdots \\
0&0&f_1^2& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}</math>
* 函数 <math>f(x) = \sum_{k=0}^{\infty}f_k x^k</math> のカーレマン行列は次で与えられる。
*: <math>M[f] = \begin{pmatrix}
1&0&0& \cdots \\
f_0&f_1&f_2& \cdots \\
f_0^2&2f_0f_1&f_1^2 + 2 f_0 f_2& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}</math>

== 関連項目 ==
* [[ベル多項式]]
* [[写像の合成]]
* [[シュレーダー方程式]]

== 参考文献 ==
* R Aldrovandi, [http://www.worldscibooks.com/physics/4772.html Special Matrices of Mathematical Physics]: Stochastic, Circulant and Bell Matrices, World Scientific, 2001. ([https://books.google.co.jp/books?hl=en&lr=&id=wb9aLGfVsOwC&redir_esc=y preview])
* R. Aldrovandi, L. P. Freitas, [https://arxiv.org/abs/physics/9712026 Continuous Iteration of Dynamical Maps], online preprint, 1997.
* P. Gralewicz, K. Kowalski, [https://arxiv.org/abs/math-ph/0002044 Continuous time evolution from iterated maps and Carleman linearization], online preprint, 2000.
* K Kowalski and W-H Steeb, [http://www.worldscibooks.com/mathematics/1347.html Nonlinear Dynamical Systems and Carleman Linearization], World Scientific, 1991. ([https://books.google.co.jp/books?id=PTTCxQwFtMEC&redir_esc=y&hl=ja preview])
* D. Knuth, [https://arxiv.org/abs/math/9207221 Convolution Polynomials] arXiv online print, 1992
* Jabotinsky, Eri: Representation of Functions by Matrices. Application to Faber Polynomials in: Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 4, No. 4 (Aug., 1953), pp. 546- 553  [http://www.jstor.org/stable/2032522 Stable jstor-URL]

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[[Category:行列]]
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