ガウスの法則のソースを表示

{{Otheruses|電場に対するガウスの法則|磁場に対するガウスの法則|ガウスの法則 (磁場)}}
{{出典の明記|date=2012年9月16日 (日) 12:24 (UTC)}}
{{物理学}}
'''ガウスの法則'''（ガウスのほうそく、{{Lang-en-short|Gauss' law}}<ref>{{Cite book|和書
|author=文部省|authorlink=文部省
|coauthors = [[日本物理学会]]編
|title = [[学術用語集]] 物理学編
|year = 1990
|publisher = [[培風館]]
|isbn = 4-563-02195-4
}}</ref>）とは、[[カール・フリードリヒ・ガウス]]が[[1835年]]に発見し、[[1867年]]に発表した[[電荷]]と[[電場]]の関係をあらわす[[方程式]]である。

この式は[[ジェームズ・クラーク・マクスウェル]]により数学的に整備され、[[マクスウェルの方程式]]の1つとなった。[[電気]]における[[アンペールの法則]]とみなすこともできる{{要出典|date=2016年6月}}。

ここでの[[単位]]の[[ガウス (単位)|ガウス]]は、[[磁束密度]]の単位であり、電場を扱うこの法則とは全く関係がない。

== 積分形 ==
一般に積分形と呼ばれるガウスの法則は以下の形で表される。
{{Indent|<math>\oint_S \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \int_V \rho \, \mathrm{d}V  = Q </math>}}

ここで、
{|
|'''''D''''' ||: [[電束密度]]
|-
| ''&rho;'' ||: [[電荷密度]]
|-
|''Q'' ||: 積分領域 V の内部にある[[電荷]]の総和
|-
|d'''''S''''' ||: [[面積分|面素ベクトル]]
|-
|''V'' ||: 体積
|}
である。

この式は、ある領域内に電荷が存在すると、その領域から電荷と等しい大きさの[[電束]]という物理量が出入りするということを示している。
<!--線型の場合に限る
[[電場]] '''''E''''' ('''''D''''' =&epsilon;'''''E''''')を用いて
{{Indent|<math>\oint_S \varepsilon \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = Q </math>}}
と表すこともできる。<math>\varepsilon</math>は[[誘電率]]であり、非線形素子においては行列となることもあるが、線形の場合はスカラー量である。
-->
== 微分形 ==
=== 発散 ===
閉曲面Sにおいて、ガウスの法則（<math>\oint_S \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = Q</math> ）において、体積Vの微小変化による電束（ガウスの法則、面積分）の変化率を[[発散_(ベクトル解析)|div]]'''''D''''' で表す。
{{Indent|<math>\mathrm{div} \boldsymbol{D} = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{1}{\Delta V} \oint_{\Delta S} \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}</math>}}
ここで''&Delta;S''は''&Delta;V''の表面である。

また
{{Indent|<math>\mathrm{div} \boldsymbol{D} = \rho</math>}}
{|
|&rho; ||: 電荷密度
|}
となる。

ここで記号「div」はダイバージェンス (divergence) と読み、 [[発散 (ベクトル解析)|発散]]を表す。

=== 直角座標における発散 ===
直角座標においてdiv'''''D''''' は、
{{Indent|<math>\mathrm{div} \boldsymbol{D} = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{1}{\Delta V}\oint_{\Delta S} \boldsymbol{D} \cdot d\boldsymbol{S} = 
\left(\frac{\partial D_x}{\partial x} + \frac{\partial D_y}{\partial y} + \frac{\partial D_z}{\partial z}\right)</math>}}
となる。

微分形と呼ばれるガウスの法則は以下の形で表される。この形はジェームズ・クラーク・マクスウェルにより整備された。
{{Indent|<math>\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho </math>}}
ここで、
{|
|'''''D''''' ||: [[電束密度]]
|}
である。''∇''（[[ナブラ]]）は[[微分作用素|微分演算子]]である。
<!--E-B対応というのは磁力の根源を磁荷ではなく電流とすることで力場を(E, B)とすることを指す。(D, H)を(E, B)で表すことをE-B対応というのではない。
また、[[E-B対応]] と呼ばれる形に改めると、
{{Indent|<math>\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon}</math>}}
となる。
-->
== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==

== 関連項目 ==
<!-- {{Commonscat|Gauss's law}} -->
* [[磁場に対するガウスの法則]]
* [[ガウスの定理]]
* [[アンペールの法則]]
* [[マクスウェルの方程式]]
* [[クーロンの法則]]
* [[カール・フリードリヒ・ガウス]]

{{Physics-stub}}
{{電磁気学}}

{{デフォルトソート:かうすのほうそく}}
[[Category:自然科学の法則]]
[[Category:電磁気学]]
[[Category:カール・フリードリヒ・ガウス|ほうそく]]
[[Category:物理学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:マクスウェルの方程式]]
[[Category:人名を冠した数式]]