ガウスの連分数のソースを表示

[[複素解析]]における'''ガウスの連分数'''（ガウスのれんぶんすう、{{Lang-en-short|Gauss's continued fraction}}）は、[[超幾何関数]]から導出される特別なクラスの{{仮リンク|一般化連分数|en|generalized continued fraction}}である。これは数学史上最も早く見出された解析的な連分数の一つであり、いくつかの重要な[[初等関数]]およびより複雑な[[超越関数]]の表現に用いることができる。

==歴史==
[[ヨハン・ハインリヒ・ランベルト]]はこの形式の連分数のいくつかの例を1768年に発表し、また[[レオンハルト・オイラー]]と[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ]]は同様の構造についての研究を行った<ref>Jones & Thron (1980) p. 5</ref>。しかし、以下の節に記すような算法を基にして、これらの連分数の一般的な形式を導いたのは[[カール・フリードリヒ・ガウス]]であった（1813年）<ref>C. F. Gauss (1813), [https://books.google.com/books?id=uDMAAAAAQAAJ ''Werke'', vol. 3] pp. 134–38.</ref>。

ガウスは連分数の形式を与えはしたが、その収束性についての証明は与えなかった。[[ベルンハルト・リーマン]]<ref>B. Riemann (1863), "Sullo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche in frazione continua infinita"（『2つの超幾何級数の比の、無限連分数の形での展開について』） in ''Werke''. pp. 400–406. (Posthumous fragment).</ref>と L.W.トーメ<ref>L. W. Thomé (1867), "Über die Kettenbruchentwicklung des Gauß'schen Quotienten ...,"（『ガウスの比の連分数展開については…』） ''Jour. für Math.'' vol. 67 pp. 299–309.</ref>は部分的な結果を得ていたが、これらの連分数の収束性に関して最終的な結論がまとめられたのは1901年、{{仮リンク|エドワード・ヴァン・ヴレック|en|Edward Burr Van Vleck}}<ref>E. B. Van Vleck (1901), "On the convergence of the continued fraction of Gauss and other continued fractions." ''Annals of Mathematics'', vol. 3 pp. 1–18.</ref>によってであった。

==導出==
<math>f_0, f_1, f_2, \dots</math> を[[解析関数]]の列で、任意の <math>i > 0</math> に対し
:<math>f_{i-1} - f_i = k_i\,z\,f_{i+1}</math>
を満たすものとする。ここで各 <math>k_i</math> は定数である。

このとき
:<math>\frac{f_{i-1}}{f_i} = 1 + k_i z \frac{f_{i+1}}{{f_i}}, \text{ and so } \frac{f_i}{f_{i-1}} = \frac{1}{1 + k_i z \frac{f_{i+1}}{{f_i}}}</math>

<math>g_i = f_i / f_{i-1}</math> とおくと
:<math>g_i = \frac{1}{1 + k_i z g_{i+1}}</math>
より、
:<math>g_1 = \frac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1 + k_1 z g_2} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{k_1 z}{1 + k_2 z g_3}}
 = \cfrac{1}{1 + \cfrac{k_1 z}{1 + \cfrac{k_2 z}{1 + k_3 z g_4}}} = \cdots.\ </math>

これを無限に続けると、連分数展開
:<math>\frac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{k_1 z}{1 + \cfrac{k_2 z}{1 + \cfrac{k_3 z}{1 + {}\ddots}}}}</math>
が得られる。

ガウスの連分数では、関数列 <math>f_i</math> を <math>{}_0F_1</math>, <math>{}_1F_1</math>, <math>{}_2F_1</math> の形の超幾何関数とする。等式 <math>f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1}</math> は整数部分だけずらした関数間の[[恒等式]]から生じる。これらの恒等式は、級数展開をして係数を比較したり、何度か微分して消えることを確かめるといった方法で示すことができる。

===<sub>0</sub>F<sub>1</sub> による展開===
最も簡単なものは、関数
:<math>\,_0F_1(a;z) = 1 + \frac{1}{a\,1!}z + \frac{1}{a(a+1)\,2!}z^2 + \frac{1}{a(a+1)(a+2)\,3!}z^3 + \cdots </math>

を使った恒等式

:<math>\,_0F_1(a-1;z)-\,_0F_1(a;z) = \frac{z}{a(a-1)}\,_0F_1(a+1;z)</math>

から始めるもので、

:<math>f_i = {}_0F_1(a+i;z),\,k_i = \tfrac{1}{(a+i)(a+i-1)}</math>

と置けば次の展開が得られる。

:<math>\frac{\,_0F_1(a+1;z)}{\,_0F_1(a;z)} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\frac{1}{a(a+1)}z}
{1 + \cfrac{\frac{1}{(a+1)(a+2)}z}{1 + \cfrac{\frac{1}{(a+2)(a+3)}z}{1 + {}\ddots}}}}</math>

または

:<math>\frac{\,_0F_1(a+1;z)}{a\,_0F_1(a;z)} = \cfrac{1}{a + \cfrac{z}
{(a+1) + \cfrac{z}{(a+2) + \cfrac{z}{(a+3) + {}\ddots}}}}</math>

これらの展開は、2つの収束級数の比による[[有理型関数]]に収束する（ただし当然、''a'' は0や負の整数であってはいけない）。

===<sub>1</sub>F<sub>1</sub> による展開===
次は、関数
:<math>{}_1F_1(a;b;z) = 1 + \frac{a}{b\,1!}z + \frac{a(a+1)}{b(b+1)\,2!}z^2 + \frac{a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3!}z^3 + \cdots</math>
から生じる2通りの恒等式
:<math>\,_1F_1(a;b-1;z)-\,_1F_1(a+1;b;z) = \frac{(a-b+1)z}{b(b-1)}\,_1F_1(a+1;b+1;z)</math>
:<math>\,_1F_1(a;b-1;z)-\,_1F_1(a;b;z) = \frac{az}{b(b-1)}\,_1F_1(a+1;b+1;z)</math>
を交互に用いて、

:<math>f_0(z) = \,_1F_1(a;b;z),</math>
:<math>f_1(z) = \,_1F_1(a+1;b+1;z),</math>
:<math>f_2(z) = \,_1F_1(a+1;b+2;z),</math>
:<math>f_3(z) = \,_1F_1(a+2;b+3;z),</math>
:<math>f_4(z) = \,_1F_1(a+2;b+4;z)</math>

…と置く。これより恒等式群 <math>f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1}</math> （ここで <math>k_1=\tfrac{a-b}{b(b+1)}, k_2=\tfrac{a+1}{(b+1)(b+2)}, k_3=\tfrac{a-b-1}{(b+2)(b+3)}, k_4=\tfrac{a+2}{(b+3)(b+4)}</math>, …）が定まって次の展開が得られる。

:<math>\frac{{}_1F_1(a+1;b+1;z)}{{}_1F_1(a;b;z)} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\frac{a-b}{b(b+1)} z}{1 + \cfrac{\frac{a+1}{(b+1)(b+2)} z}{1 + \cfrac{\frac{a-b-1}{(b+2)(b+3)} z}{1 + \cfrac{\frac{a+2}{(b+3)(b+4)} z}{1 + {}\ddots}}}}}</math>

または

:<math>\frac{{}_1F_1(a+1;b+1;z)}{b{}_1F_1(a;b;z)} = \cfrac{1}{b + \cfrac{(a-b) z}{(b+1) + \cfrac{(a+1) z}{(b+2) + \cfrac{(a-b-1) z}{(b+3) + \cfrac{(a+2) z}{(b+4) + {}\ddots}}}}}</math>

同様に
:<math>\frac{{}_1F_1(a;b+1;z)}{{}_1F_1(a;b;z)} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\frac{a}{b(b+1)} z}{1 + \cfrac{\frac{a-b-1}{(b+1)(b+2)} z}{1 + \cfrac{\frac{a+1}{(b+2)(b+3)} z}{1 + \cfrac{\frac{a-b-2}{(b+3)(b+4)} z}{1 + {}\ddots}}}}}</math>

または

:<math>\frac{{}_1F_1(a;b+1;z)}{b{}_1F_1(a;b;z)} = \cfrac{1}{b + \cfrac{a z}{(b+1) + \cfrac{(a-b-1) z}{(b+2) + \cfrac{(a+1) z}{(b+3) + \cfrac{(a-b-2) z}{(b+4) + {}\ddots}}}}}</math>

<math>{}_1F_1(0;b;z)=1</math> であるから、最初の連分数で ''a'' を0と置き、''b''&nbsp;+&nbsp;1 を ''b'' で置き換えると次の単純化された特別な連分数が得られる。

:<math>{}_1F_1(1;b;z) = \cfrac{1}{1 + \cfrac{-z}{b + \cfrac{z}{(b+1) + \cfrac{-b z}{(b+2) + \cfrac{2z}{(b+3) + \cfrac{-(b+1)z}{(b+4) + {}\ddots}}}}}}</math>

===<sub>2</sub>F<sub>1</sub> による展開===
最後は

:<math>{}_2F_1(a,b;c;z) = 1 + \frac{ab}{c\,1!}z + \frac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}z^2 + \frac{a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}z^3 + \cdots</math>

から、再び2つの恒等式を交互に用いる。
:<math>\,_2F_1(a,b;c-1;z)-\,_2F_1(a+1,b;c;z) = \frac{(a-c+1)bz}{c(c-1)}\,_2F_1(a+1,b+1;c+1;z) </math>
:<math>\,_2F_1(a,b;c-1;z)-\,_2F_1(a,b+1;c;z) = \frac{(b-c+1)az}{c(c-1)}\,_2F_1(a+1,b+1;c+1;z) </math>
これら2式は ''a'' と ''b'' の入れ替えに対し本質的に不変である。

:<math>f_0(z) = \,_2F_1(a,b;c;z),</math>
:<math>f_1(z) = \,_2F_1(a+1,b;c+1;z),</math>
:<math>f_2(z) = \,_2F_1(a+1,b+1;c+2;z),</math>
:<math>f_3(z) = \,_2F_1(a+2,b+1;c+3;z),</math>
:<math>f_4(z) = \,_2F_1(a+2,b+2;c+4;z),</math>

…とおく。これより恒等式群 <math>f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1}</math> （ここで <math>k_1=\tfrac{(a-c)b}{c(c+1)},
k_2=\tfrac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}, k_3=\tfrac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}, k_4=\tfrac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}</math>, …）が定まって次の展開が得られる。
:<math>\frac{{}_2F_1(a+1,b;c+1;z)}{{}_2F_1(a,b;c;z)} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\frac{(a-c)b}{c(c+1)} z}{1 + \cfrac{\frac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)} z}{1 + \cfrac{\frac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)} z}{1 + \cfrac{\frac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)} z}{1 + {}\ddots}}}}}</math>

または

:<math>\frac{{}_2F_1(a+1,b;c+1;z)}{c{}_2F_1(a,b;c;z)} = \cfrac{1}{c + \cfrac{(a-c)b z}{(c+1) + \cfrac{(b-c-1)(a+1) z}{(c+2) + \cfrac{(a-c-1)(b+1) z}{(c+3) + \cfrac{(b-c-2)(a+2) z}{(c+4) + {}\ddots}}}}}</math>

<math>{}_2F_1(0,b;c;z)=1</math> であるから、''a'' を 0 と置き、''c''&nbsp;+&nbsp;1 を ''c'' で置き換えると次の単純化された特別な連分数が得られる。

:<math>{}_2F_1(1,b;c;z) = \cfrac{1}{1 + \cfrac{-b z}{c + \cfrac{(b-c) z}{(c+1) + \cfrac{-c(b+1) z}{(c+2) + \cfrac{2(b-c-1) z}{(c+3) + \cfrac{-(c+1)(b+2) z}{(c+4) + {}\ddots}}}}}}</math>
<!--
These yield other c.f.'s
:<math>\,_1F_1(a+1;b;z)-\,_1F_1(a;b;z) = \frac{z}{b}\,_1F_1(a+1;b+1;z)</math>
:<math>\,_2F_1(a+1,b;c;z)-\,_2F_1(a,b;c;z) = \frac{bz}{c}\,_2F_1(a+1,b+1;c+1;z)</math>
:<math>\,_2F_1(a+1,b;c;z)-\,_2F_1(a,b+1;c;z) = \frac{(b-a)z}{c}\,_2F_1(a+1,b+1;c+1;z)</math>
 -->

==収束性==
この節では、1個以上のパラメータが負の整数である場合は考えないことにする。そのような場合、超幾何関数は定義されないか、または[[多項式]]に退化するために連分数展開が有限回で止まるからである。その他の自明な状況も排除するものとする。

<math>{}_0F_1</math> と <math>{}_1F_1</math> の場合、級数は任意の点で収束し、左辺の分数関数は[[有理型関数]]になる。右辺の連分数は[[極 (複素解析)|極]]を含まない任意の[[閉集合|閉]]で[[有界]]な集合上[[一様収束|一様に収束]]する<ref>Jones & Thron (1980) p. 206</ref>。

<math>{}_2F_1</math> の場合、展開の収束半径は 1 で、左辺の関数はこの円板の内部で有理型関数を表す。右辺の連分数はこの円板内部の任意の点で収束する。

円板の外部では、連分数は {{math|+1}} から[[無限遠点]]までを除いた実軸に沿って[[解析接続]]された関数を表す。{{math|+1}} が[[分岐点 (数学)|分岐点]]、{{math|+1}}から無限遠点への実軸上の半直線が[[分岐点|分岐截線]]とされることが多い。右辺の連分数はこの領域で有理型関数へ収束し、また極を含まない任意の有界閉集合上で収束は一様である<ref>Wall, 1973 (p. 339)</ref>。

==応用==
===<sub>0</sub>''F''<sub>1</sub> による展開===
:<math>\cosh(z) = \,_0F_1({\tfrac{1}{2}};{\tfrac{z^2}{4}})</math>
:<math>\sinh(z) = z\,_0F_1({\tfrac{3}{2}};{\tfrac{z^2}{4}})</math>

より、

:<math>\tanh(z) = \frac{z\,_0F_1({\tfrac{3}{2}};{\tfrac{z^2}{4}})}{\,_0F_1({\tfrac{1}{2}};{\tfrac{z^2}{4}})}
= \cfrac{z/2}{\tfrac{1}{2} + \cfrac{\tfrac{z^2}{4}}{\tfrac{3}{2} + \cfrac{\tfrac{z^2}{4}}{\tfrac{5}{2} + \cfrac{\tfrac{z^2}{4}}{\tfrac{7}{2} + {}\ddots}}}} = \cfrac{z}{1 + \cfrac{z^2}{3 + \cfrac{z^2}{5 + \cfrac{z^2}{7 + {}\ddots}}}}</math>

この展開は特に'''ランベルトの連分数'''として知られており、初出は1768年にまで遡る<ref>Wall (1973) p. 349.</ref>。

これより次式がすぐに従う。

:<math>\tan(z) = \cfrac{z}{1 - \cfrac{z^2}{3 - \cfrac{z^2}{5 - \cfrac{z^2}{7 - {}\ddots}}}}</math>

[[双曲線関数|tanh]] の展開は、[[ネイピア数]]の任意の整数乗 ''e''<sup>''n''</sup> が[[無理数]]であることを証明するのに使うことができる（しかし残念なことに、''e'' が[[超越数]]であることを証明するのには力不足である）。[[三角関数|tan]] の展開はランベルトと[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]によって[[円周率の無理性の証明]]に用いられた。

[[ベッセル関数]] <math>J_\nu</math> は次のように表示できる。

:<math>J_\nu(z) = \frac{(\tfrac{1}{2}z)^\nu}{\Gamma(\nu+1)}\,_0F_1(\nu+1;-\frac{z^2}{4})</math>

これより、

:<math>\frac{J_\nu(z)}{J_{\nu-1}(z)}=\cfrac{z}{2\nu - \cfrac{z^2}{2(\nu+1) - \cfrac{z^2}{2(\nu+2) - \cfrac{z^2}{2(\nu+3) - {}\ddots}}}}</math>

これらの等式は全ての複素数 ''z'' に対し成り立つ。

===<sub>1</sub>F<sub>1</sub> による展開===
<math>e^z = {}_1F_1(1;1;z)</math>, <math>1/e^z = e^{-z}</math> より

:<math>e^z = \cfrac{1}{1 + \cfrac{-z}{1 + \cfrac{z}{2 + \cfrac{-z}{3 + \cfrac{2z}{4 + \cfrac{-2z}{5 + {}\ddots}}}}}}</math>
:<math>e^z = 1 + \cfrac{z}{1 + \cfrac{-z}{2 + \cfrac{z}{3 + \cfrac{-2z}{4 + \cfrac{2z}{5 + {}\ddots}}}}}</math>

これを使って少し計算すると、''e'' の簡単な連分数表示が得られる。
:<math>e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+{}\ddots}}}}}</math>

次式で与えられる[[誤差関数]] erf (''z'')

:<math>
\operatorname{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{-t^2} \, dt
</math>

もまた、[[エルンスト・クンマー|クンマー]]の超幾何関数として

:<math>
\operatorname{erf}(z) = \frac{2z}{\sqrt{\pi}} e^{-z^2} \,_1F_1(1;{\scriptstyle\frac{3}{2}};z^2)
</math>

と計算でき、ガウスの連分数表示を用いると全ての ''z'' に対し成り立つ有用な公式が得られる<ref>Jones & Thron (1980) p. 208.</ref>。

:<math>
\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{z^2} \operatorname{erf}(z) = \cfrac{z}{1 - \cfrac{z^2}{\frac{3}{2} +
\cfrac{z^2}{\frac{5}{2} - \cfrac{\frac{3}{2}z^2}{\frac{7}{2} + \cfrac{2z^2}{\frac{9}{2} -
\cfrac{\frac{5}{2}z^2}{\frac{11}{2} + \cfrac{3z^2}{\frac{13}{2} -
\cfrac{\frac{7}{2}z^2}{\frac{15}{2} + - \ddots}}}}}}}}
</math>

同様の議論によって[[フレネル積分]]、{{仮リンク|ドーソン関数|en|Dawson function}}、[[不完全ガンマ関数]]に対する連分数展開表示が得られる。簡易化版の議論からは[[指数関数]]の2通りの有用な連分数展開表示が得られる<ref>{{仮リンク|パデ表|en|Padé table}}の記事にある ''e<sup>z</sup>'' の連分数展開例を参照。</ref>。

===<sub>2</sub>F<sub>1</sub> による展開===
:<math>(1-z)^{-b}={}_1F_0(b;;z)=\,_2F_1(1,b;1;z),</math>
:<math>(1-z)^{-b} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{-b z}{1 + \cfrac{(b-1) z}{2 + \cfrac{-(b+1) z}{3 + \cfrac{2(b-2) z}{4 + {}\ddots}}}}}</math>
から、[[逆三角関数|arctan ''z'']] の0を中心とした[[テイラー展開]]が容易に求まる。

:<math>
\arctan z = zF({\scriptstyle\frac{1}{2}},1;{\scriptstyle\frac{3}{2}};-z^2)
</math>

これにガウスの連分数表示を用いると、展開

:<math>
\arctan z = \cfrac{z} {1+\cfrac{(1z)^2} {3+\cfrac{(2z)^2} {5+\cfrac{(3z)^2} {7+\cfrac{(4z)^2} {9+\ddots}}}}}
</math>

が得られる。この展開は、虚軸上 ''i'' から無限遠点まで、−''i'' から無限遠点までが切り取られた複素平面において逆正接関数の{{仮リンク|主枝 (数学)|en|principal branch}}に収束する<ref>Wall (1973) p. 343. ''i'' と −''i'' が逆正接の分岐点であることに注意。</ref>。

この連分数は ''z'' = 1 で非常に高速に収束し、第9番目までの展開で π/4 の値を小数第7位まで与える。対応する級数

:<math>
\frac{\pi}{4} = \cfrac{1} {1+\cfrac{1^2} {2+\cfrac{3^2} {2+\cfrac{5^2} {2+\ddots}}}} 
= 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \pm \cdots
</math>

の収束は非常に遅く、小数第7位まで正確に計算するには百万項以上を必要とする<ref>Jones & Thron (1980) p. 202.</ref>。

これと同様の論法で、[[自然対数]]、[[逆三角関数|逆正弦関数]]、[[二項級数|一般化二項級数]]といった関数の連分数表示が得られる。

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

==参考文献==
* {{cite book|last = Jones|first = William B.|author2=Thron, W. J.|title = Continued Fractions: Theory and Applications|publisher = Addison-Wesley Publishing Company|location = Reading, Massachusetts|year = 1980|pages = 198–214|isbn = 0-201-13510-8}}
* {{cite book|last = Wall|first = H. S.|title = Analytic Theory of Continued Fractions|publisher = Chelsea Publishing Company|year = 1973|pages = 335–361|isbn = 0-8284-0207-8}}<br /><small>(This is a reprint of the volume originally published by D. Van Nostrand Company, Inc., in 1948.)</small>
* {{MathWorld|title=Gauss's Continued Fraction|urlname=GausssContinuedFraction}}

{{DEFAULTSORT:かうすのれんふんすう}}
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