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[[数学]]における'''ガウス和'''（ガウスわ、{{Lang-en-short|Gauss sum}}）あるいは'''ガウスの和'''とは、ある特別な[[1の冪根]]の有限和である。典型的に

:<math>G(\chi) := G(\chi, \psi)= \sum \chi(r)\cdot \psi(r)</math>

で与えられる。ここで和はある有限可換環 ''R'' の元 ''r'' について取られ、&psi;(''r'') は加法群 ''R''<sup>+</sup> から（複素平面の）[[単位円]]への群準同型で、&chi;(''r'') は単数群 ''R''<sup>&times;</sup> から単位円への群準同型である。単元でない ''r'' については {{math|&chi;(''r'') {{=}} 0}} と拡張する。ガウス和は[[ガンマ関数]]の[[有限体]]における類似物である。

このような和は数論において至る所で現れる。例えば、ある[[ディリクレ指標]] χ に対して ''L''(''s'', &chi;) と ''L''(1&nbsp;&minus;&nbsp;''s'',&nbsp;{{overline|χ}}) を関連付ける方程式が

:<math>G(\chi)\ /\ |G(\chi)| </math>

を含むような、[[ディリクレのL関数]]の関数等式に現れる。ただし {{overline|χ}} は χ の複素共役である。

== 歴史 ==
[[カール・フリードリヒ・ガウス]]によって元々考えられていたケースは、''R'' が奇素数 ''p'' を法とする剰余体 '''Z'''/''p'''''Z''' で &chi; が[[ルジャンドル記号]]である{{仮リンク|二次ガウス和|en|quadratic Gauss sum}}であった。ガウスは、いわゆるガウス和の符号を決定し
:<math>\sum_r \left(\frac{r}{p}\right)e^{2\pi ir/p} = \begin{cases}
\sqrt{p} & p \equiv 1 \pmod 4\\
i\sqrt{p} & p \equiv 3 \pmod 4
\end{cases}</math>
を証明した{{sfn|Ireland|Rosen|1990|p={{google books quote|id=RDzrBwAAQBAJ|page=75|75}}}}。

このガウス和の別の表現は、次のようなものである：
:<math>\sum_r e^{\frac{2 \pi i r^2}{p}}</math>

二次ガウス和は、[[テータ関数]]の理論と密接に関連している。

ガウス和の一般論は、19世紀の初頭に、[[ヤコビ和]]とそれらの[[円分体]]内での素元分解を利用することによって構築された。''N'' を法とする整数の剰余環上のガウス和は、{{仮リンク|ガウス周期|en|Gaussian period}}と呼ばれる密接に関連する和の線形結合である。

ガウス和の絶対値は、有限群上の[[プランシュレルの定理]]の応用の場面で通常現れる。''R'' が ''p'' 個の元からなる体で、&chi; が非自明であれば、その絶対値は ''p''<sup>1/2</sup> となる。二次の場合のガウスの結果に続いて、一般のガウス和の厳密な値を決定することは、長く残されている問題となっている。いくつかの特別な場合については、{{仮リンク|クンマー和|en|Kummer sum}}を参照されたい。

== ディリクレ指標のガウス和の性質 ==

''N'' を法とするディリクレ指標 χ のガウス和は、
:<math>G(\chi)=\sum_{a=1}^N\chi(a)e^{2\pi ia/N} </math>
となる。さらに χ が原始的 (primitive) であるなら、
:<math>|G(\chi)|=\sqrt{N} </math>
となり、特にこの値は非ゼロである。より一般に ''N''<sub>0</sub> が χ の[[導手]] (conductor) であり、χ<sub>0</sub> が χ を誘導するような ''N''<sub>0</sub> を法とする原始的ディリクレ指標であるなら、χ のガウス和は χ<sub>0</sub> のガウス和と次の式によって関係付けられる。
:<math>G(\chi)=\mu(N/N_0)\chi_0(N/N_0)G(\chi_0)~</math>
ここで &mu; は[[メビウス関数]]である。結果として、''N''/''N''<sub>0</sub> が[[平方因子を持たない整数|平方因子を持たず]] ''N''<sub>0</sub> と互いに素であるときにちょうど ''G''(χ) は非ゼロとなることが分かる。''G''(χ) と他の指標のガウス和との関係には、次のものもある。
:<math>G(\overline{\chi})=\chi(-1)\overline{G(\chi)}.</math>
ここで {{overline|χ}} は複素共役ディリクレ指標である。また χ′ を ''N'' と互いに素な ''N''′ を法とするディリクレ指標とすると、次が成り立つ。
:<math>G(\chi\chi^\prime)=\chi(N^\prime)\chi^\prime(N)G(\chi)G(\chi^\prime).</math>
χ と χ′ が同じ法の指標で、χχ′ が原始的であるときの ''G''(χχ′)、''G''(χ) および ''G''(χ′) の間の関係は、[[ヤコビ和]] ''J''(χ,&nbsp;χ′) によって調べられる。具体的には、次が成り立つ<!--有限体でも成り立つ--><ref>これは[[ガンマ関数]] Γ と[[ベータ関数]] ''B'' との間にある[[ベータ関数#性質|次の関係式]]の類似：
:<math>\Gamma(x + y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{B(x, y)}</math>
</ref>：
:<math>G(\chi\chi^\prime)=\frac{G(\chi)G(\chi^\prime)}{J(\chi,\chi^\prime)}.</math>

== 脚注 ==
<references />

== 関連項目 ==

* {{仮リンク|チョウラ＝モーデルの定理|en|Chowla–Mordell theorem}}
* {{仮リンク|楕円型ガウス和|en|Elliptic Gauss sum}}
* {{仮リンク|ガウス周期|en|Gaussian period}}
* [[ハッセ＝ダベンポートの関係]]
* [[ヤコビ和]]
* {{仮リンク|シュティッケルベルガーの定理|en|Stickelberger's theorem}}
* [[平方剰余の相互法則]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}
*{{Apostol IANT}}
*{{cite book | first1 = B. C. | last1=Berndt | author1-link=:en:Bruce C. Berndt | first2=R. J. | last2=Evans | first3=K. S. | last3=Williams | title = Gauss and Jacobi Sums | series=Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts | publisher = Wiley | year = 1998 | isbn=0-471-12807-4 | zbl=0906.11001 }}
*{{cite book | last1=Ireland | first1=Kenneth | last2=Rosen | first2=Michael | title = A Classical Introduction to Modern Number Theory | publisher = [[Springer-Verlag]] | year = 1990 | isbn=0-387-97329-X | edition=2nd | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=84 | zbl=0712.11001 | ref = harv }}
*Section 3.4 of {{citation | last=Iwaniec | first=Henryk | author-link=:en:Henryk Iwaniec | last2=Kowalski | first2=Emmanuel | title=Analytic number theory | year=2004 | series=American Mathematical Society Colloquium Publications | volume=53 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, RI | isbn=978-0-8218-3633-0 | mr=2061214 | zbl=1059.11001 }}

=== 関連書籍 ===
* 高木貞治：「初等整数論講義」第2版、共立出版（1971年10月15日）の付録§60:「Gaussの和」。
* 小野孝：「ガウスの和　ポアンカレの和：数論の最前線から」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78532-8 (2008年4月15日).

{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:かうすわ}}
[[Category:数論]]
[[Category:円分体]]
[[Category:カール・フリードリヒ・ガウス]]
[[Category:数学に関する記事]]