ガウス曲率のソースを表示

{{Pathnavbox|
*{{Pathnav|[[数学]]|[[幾何学]]|[[多様体論]]|[[微分幾何学]]|[[リーマン多様体]]|[[部分リーマン多様体の接続と曲率]]}}}}
{{要改訳}}
[[Image:Gaussian curvature.PNG|360px|thumb|左から右へ、負のガウス曲率を持つ曲面（[[双曲面]]）、ガウス曲率が 0 の曲面（[[円筒形]]）、正のガウス曲率を持つ曲面（[[球面]]）。]]

[[微分幾何学]]において、[[曲面]]上のある点での'''ガウス曲率'''（ガウスきょくりつ、{{lang-en-short|Gauss curvature}}又は{{lang-en-short|Gaussian curvature}}）とは、与えられた点での[[主曲率]]''κ''<sub>1</sub> と ''κ''<sub>2</sub> の積である。曲面上の距離だけに依存する量で、空間への等長的な[[埋め込み (数学)|埋め込み]]方法にはよらない。[[1827年]]に[[Theorema Egregium]]を発表した[[カール・フリードリッヒ・ガウス]] (Carl Friedrich Gauss) の名前に因んで名付けられた。
<!--[[Image:Gaussian curvature.PNG|thumb|From left to right: a surface of negative Gaussian curvature ([[hyperboloid]]), a surface of zero Gaussian curvature ([[cylinder (geometry)|cylinder]]), and a surface of positive Gaussian curvature ([[sphere]]).]]

In [[differential geometry]], the '''Gaussian curvature''' or '''Gauss curvature''' of a point on a [[surface]] is the product of the [[principal curvature]]s, ''κ''<sub>1</sub> and ''κ''<sub>2</sub>, of the given point. It is an intrinsic measure of curvature, depending only on distances that are measured on the surface, not on the way it is isometrically [[embedding|embedded]] in space. It is named after [[Carl Friedrich Gauss]], and is the content of his [[Theorema egregium]].

Symbolically, the Gaussian [[curvature]] ''Κ'' is defined as
:<math> \Kappa = \kappa_1 \kappa_2,</math>
where κ<sub>1</sub> and κ<sub>2</sub> are the [[principal curvature]]s.-->

==定義==
[[File:Minimal surface curvature planes-en.svg|thumb|360px|right|主曲率の方向に法平面を持つ{{仮リンク|鞍点曲面|en|Saddle surface}}(Saddle surface)。]]

曲面の任意の点で、曲面に対して垂直である[[法線ベクトル]](normal vector)を見つけることができる。法線ベクトルを含む平面を{{仮リンク|法平面|en|Normal plane (geometry)}}(normal plane)と呼ぶ。法平面と曲面の交差は、{{仮リンク|法切断|en|normal section}}(normal section)と呼ばれる曲線を形成し、この曲線の曲率が{{仮リンク|法曲率|en|normal curvature}}(normal curvature)である。ほとんどの曲面上のほとんどの点に対し、ことなる切断ごとに異る曲率となる。これらの最大値と最小値を[[主曲率]]といい、κ<sub>1</sub>, κ<sub>2</sub> と表す。'''ガウス曲率'''(Gaussian curvature)は 2つの主曲率の積 Κ = κ<sub>1</sub> κ<sub>2</sub> である。

ガウス曲率の符号は、曲面を特徴付けることに使うことができる。
*主曲率の双方が同符号 κ<sub>1</sub>κ<sub>2</sub> > 0 であれば、ガウス曲率は正であり、曲面は楕円点を持っているという。そのような点では、曲面はドームのようになっていて、局所的に接平面が曲面の同じ側へ来る。全ての断面曲率が同じ符号となる。
* 主曲率が異る符号を持つ κ<sub>1</sub>κ<sub>2</sub> < 0 と、ガウス曲率は負であり、曲面は双曲点を持っているという。そのような点では、曲面は鞍点の形をしている。2つの方向に断面曲率が 0 となり、{{仮リンク|漸近方向|en|asymptotic direction}}(asymptotic direction)を与える。
*主曲率のうちのひとつが 0、つまり κ<sub>1</sub>κ<sub>2</sub> = 0 であれば、ガウス曲率は 0 であり、曲面は放物点を持っているという。

殆どの曲面は、正のガウス曲率（楕円点）の領域を持ち、負のガウス曲率の領域は[[放物線]]と呼ばれるガウス曲率が 0 となる点の曲線により分離される。
<!--==Informal definition==
[[File:Minimal surface curvature planes-en.svg|thumb|300px|right|[[Saddle surface]] with normal planes in directions of principal curvatures]]

At any point on a surface we can find a [[Normal (geometry)|normal vector]] which is at right angles to the surface; planes containing the normal are called ''[[normal plane]]s''. The intersection of a normal plane and the surface will form a curve called a ''[[normal section]]'' and the curvature of this curve is the ''[[normal curvature]]''. For most points on most surfaces, different sections will have different curvatures; the maximum and minimum values of these are called the [[principal curvature]]s, call these κ<sub>1</sub>, κ<sub>2</sub>. The '''Gaussian curvature''' is the product of the two principal curvatures Κ = κ<sub>1</sub> κ<sub>2</sub>.

The sign of the Gaussian curvature can be used to characterise the surface.
*If both principal curvatures are the same sign: κ<sub>1</sub>κ<sub>2</sub> > 0, then the Gaussian curvature is positive and the surface is said to have an elliptic point. At such points the surface will be dome like, locally lying on one side of its tangent plane. All sectional curvatures will have the same sign. 
*If the principal curvatures have different signs: κ<sub>1</sub>κ<sub>2</sub> < 0, then the Gaussian curvature is negative and the surface is said to have a hyperbolic point. At such points the surface will be saddle shaped. For two directions the sectional curvatures will be zero giving the [[asymptotic direction]]s. 
*If one of the principal curvature is zero: κ<sub>1</sub>κ<sub>2</sub> = 0, the Gaussian curvature is zero and the surface is said to have a parabolic point.

Most surfaces will contain regions of positive Gaussian curvature (elliptical points) and regions of negative Gaussian curvature separated by a curve of points with zero Gaussian curvature called a [[parabolic line]].-->

==議論==
[[微分幾何学]]において、[[曲面]]上の与えられて点での 2つの'''主曲率'''は、その点での{{仮リンク|シェイプ作用素|en|shape operator}}(shape operator)の[[固有値]]である。これらの固有値は、与えられた点で異る方向に曲面がどれくらい折れ曲がっているかを測る。[[陰函数定理]]により、2変数の函数 ''f'' のグラフとして曲面が表現される。そこでは、点 ''p'' は臨界点、すなわち ''f'' の勾配が 0 となる。（このことは、常に適切な厳密な運動によって可能となる。）従って、''p'' での曲面のガウス曲率は、（ヘッセ行列の固有値の積である） ''f'' の[[ヘッセ行列]]の行列式である。（ヘッセ行列は、二階微分の 2 × 2 行列であることを思い起こしてほしい。）この定義からは、ただちに、cup型／cap型 と 鞍点(saddle point)の違いを理解することができる。
<!--==Further informal discussion==
In [[differential geometry]], the two '''principal curvatures''' at a given point of a [[surface]] are the [[eigenvalues]] of the [[shape operator]] at the point.  They measure how the surface bends by different amounts in different directions at that point. We represent the surface by the [[implicit function theorem]] as the graph of a function, ''f'', of two variables, in such a way that the point ''p'' is a critical point, i.e., the gradient of ''f'' vanishes (this can always be attained by a suitable rigid motion).  Then the Gaussian curvature of the surface at ''p'' is the determinant of the [[Hessian matrix]] of ''f'' (being the product of the eigenvalues of the Hessian). (Recall that the Hessian is the 2-by-2 matrix of second derivatives.)  This definition allows one immediately to grasp the distinction between cup/cap ''versus'' saddle point.-->

==別な定義==
: <math>\Kappa = \frac{\langle (\nabla_2 \nabla_1 - \nabla_1 \nabla_2)\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\rangle}{\det g},</math>
であることも分る。ここに <math>\nabla_i = \nabla_{{\mathbf e}_i}</math> は[[レヴィ・チヴィタ接続|共変微分]]であり、''g'' は[[計量テンソル]]である。

'''R'''<sup>''3''</sup> の中の正則曲面上の点 '''p''' において、ガウス曲率は、
: <math>K(\mathbf{p}) = \det(S(\mathbf{p})),</math>
によっても与えられる。ここに ''S'' は{{仮リンク|シェイプ作用素|en|shape operator}}(shape operator)である。

ガウス曲率の有用な公式は、{{仮リンク|等温座標|en|isothermal coordinates}}(isothermal coordinates)で書かれたラプラシアンの項で書かれた[[リウヴィルの定理 (物理学)|リウヴィル方程式]]である。
<!--==Alternative definitions==
It is also given by
: <math>\Kappa = \frac{\langle (\nabla_2 \nabla_1 - \nabla_1 \nabla_2)\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\rangle}{\det g},</math>
where <math>\nabla_i = \nabla_{{\mathbf e}_i}</math> is the [[covariant derivative]] and ''g'' is the [[metric tensor]].

At a point '''p''' on a regular surface in '''R'''<sup>''3''</sup>, the Gaussian curvature is also given by
: <math>K(\mathbf{p}) = \det(S(\mathbf{p})),</math>
where ''S'' is the [[shape operator]].

A useful formula for the Gaussian curvature is [[Liouville equations|Liouville's equation]] in terms of the Laplacian in [[isothermal coordinates]].-->

==全曲率==
[[Image:Hyperbolic triangle.svg|360px|thumb|負の曲率の曲面上の三角形の内角の和は平面上の三角形の内角の和よりも小さい。]]

ガウス曲率の曲面上のある領域の[[面積分]]を'''全曲率'''(total curvature)と呼ぶ。[[測地線]][[三角形]]の全曲率は、π から内角の和を引いた値と等しい。曲率が正の曲面上の三角形の内角の和は π よりも大きいことに対し、負の曲率の曲面上の三角形の内角の和は π よりも小さい。[[ユークリッド平面]]のような曲率 0 の曲面上では、三角形の内角の和はちょうど π となる。

:<math>\sum_{i=1}^3 \theta_i = \pi + \iint_T K \,dA.</math>

このことを一般化した結果が、[[ガウス・ボネの定理]]である。
<!--==Total curvature==
[[Image:Hyperbolic triangle.svg|thumb|The sum of the angles of a triangle on a surface of negative curvature is less than that of a plane triangle.]]

The [[surface integral]] of the Gaussian curvature over some region of a surface is called the '''total curvature'''.  The total curvature of a [[geodesic]] [[triangle]] equals the deviation of the sum of its angles from π.  The sum of the angles of a triangle on a surface of positive curvature will exceed π, while the sum of the angles of a triangle on a surface of negative curvature will be less than π.  On a surface of zero curvature, such as the [[Euclidean plane]], the angles will sum to precisely π radians.

:<math>\sum_{i=1}^3 \theta_i = \pi + \iint_T K \,dA.</math>

A more general result is the [[Gauss–Bonnet theorem]].-->

==重要な定理==

=== Theorema egregium ===
{{main|Theorema Egregium}}
ガウスの'''Theorema Egregium'''は、曲面のガウス曲率が曲面自身の上の長さを測ることから決定することができることを述べた定理である。実際、[[第一基本形式]](first fundamental form)の考え方の全体として理解され、第一基本形式とその一階と二階の[[偏微分]]として表される。同値なことであるが、'''R'''<sup>3</sup> の中の曲面の[[第二基本形式]](second fundamental form)の[[行列式]]はそのように表現することができる。この定理の注目すべき驚異の点は、'''R'''<sup>3</sup> の中の曲面 ''S'' のガウス曲率の「定義」が、曲面の空間内の位置に依存しているにもかかわらず、最終的な結果であるガウス曲率自体は、周囲の空間を何ら参照することなしに、曲面の[[計量テンソル|内在的な計量]](intrinsic metric)を決定することである。つまり、これは曲面自体が持っている本質的な性質である。特に、ガウス曲率は、曲面の[[等長]]な変形の下に不変である。

現代の[[微分幾何学]]において '''曲面'''は 2次元[[微分可能多様体]](differentiable manifold)であると、抽象的にみなす。{{仮リンク|曲面の微分幾何学|label=曲面の古典論|en|differential geometry of surfaces}}(classical theory of surfaces)の観点からは、そのような抽象的な曲面は '''R'''<sup>3</sup> へ[[埋め込み (数学)|埋め込まれ]](embedded)、第一基本形式により与えられる[[リーマン計量]]を持っている。'''R'''<sup>3</sup> の中に曲面 ''S'' が埋め込まれていることを想定する。'''局所等長性'''(local isometry)は、''S'' &cap; ''U'' への制限が像の上において[[等長]](isometry)となるような '''R'''<sup>3</sup> の開領域[[微分同相写像]] ''f'': ''U'' &rarr; ''V'' である。従って、'''Theorema Egregium''' では次のように記述されている。

: '''R'''<sup>3</sup> に埋め込まれた滑らかな曲面のガウス曲率は、局所等長変換の下に不変である。

例えば、[[円筒形]]のガウス曲率は 0 であり、「捩れていない」（平坦である）チューブも同様である<ref>Porteous, I. R., ''Geometric Differentiation''. Cambridge University Press, 1994. ISBN 0-521-39063-X</ref>。一方、半径 ''R'' の[[球面]]は正の定数曲率 ''R''<sup>&minus;2</sup> を持ち、平坦な平面が曲率 0 を持ち、これら 2つの曲面は局所的にさえ等長ではない。このように、球面の一部でさえ、平面表現(planar representation) は距離を混乱させてしまう。従って、いかなる[[投影法 (地図)|地図の投影法]]も完全ではない。
<!--==Important theorems==

===Theorema egregium===
{{main|Theorema Egregium}}
Gauss's '''Theorema Egregium''' (Latin: "remarkable theorem") states that Gaussian curvature of a surface can be determined from the measurements of length on the surface itself. In fact, it can be found given the full knowledge of the [[first fundamental form]] and expressed via the first fundamental form and its [[partial derivative]]s of first and second order. Equivalently, the [[determinant]] of the [[second fundamental form]] of a surface in '''R'''<sup>3</sup> can be so expressed. The "remarkable", and surprising, feature of this theorem is that although the ''definition'' of the Gaussian curvature of a surface ''S'' in '''R'''<sup>3</sup> certainly depends on the way in which the surface is located in space, the end result, the Gaussian curvature itself, is determined by the [[intrinsic metric]] of the surface without any further reference to the ambient space: it is an [[intrinsic]] [[invariant (mathematics)|invariant]]. In particular, the Gaussian curvature is invariant under [[isometry|isometric]] deformations of the surface.

In contemporary [[differential geometry]], a "surface", viewed abstractly, is a two-dimensional [[differentiable manifold]]. To connect this point of view with the [[differential geometry of surfaces|classical theory of surfaces]], such an abstract surface is [[embedding|embedded]] into '''R'''<sup>3</sup> and endowed with the [[Riemannian metric]] given by the first fundamental form. Suppose that the image of the embedding is a surface ''S'' in '''R'''<sup>3</sup>. A ''local isometry'' is a [[diffeomorphism]] ''f'': ''U'' &rarr; ''V'' between open regions of '''R'''<sup>3</sup> whose restriction to ''S'' &cap; ''U'' is an [[isometry]] onto its image. '''Theorema Egregium''' is then stated as follows:

: The Gaussian curvature of an embedded smooth surface in '''R'''<sup>3</sup> is invariant under the local isometries.

For example, the Gaussian curvature of a [[cylinder (geometry)|cylindrical]] tube is zero, the same as for the "unrolled" tube (which is flat).<ref>Porteous, I. R., ''Geometric Differentiation''. Cambridge University Press, 1994. ISBN 0-521-39063-X</ref> On the other hand, since a [[sphere]] of radius ''R'' has constant positive curvature ''R''<sup>&minus;2</sup> and a flat plane has constant curvature 0, these two surfaces are not isometric, even locally. Thus any planar representation of even a part of a sphere must distort the distances. Therefore, no [[cartographic projection]] is perfect.-->

===ガウス・ボネの定理===
{{main|ガウス・ボンネの定理}}
ガウス・ボンネの定理は、曲面の全曲率を[[オイラー標数]]へと結びつけ、局所的幾何学的性質と大域的なトポロジカルな性質とを重要な関係をもたらす。
<!--===Gauss–Bonnet theorem===
{{main|Gauss–Bonnet theorem}}
The Gauss–Bonnet theorem links the total curvature of a surface to its [[Euler characteristic]] and provides an important link between local geometric properties and global topological properties.-->

== 定曲率の曲面 ==
*'''ミンディングの定理'''({{仮リンク|フェルディナンド・ミンディング|label=Minding|en|Ferdinand Minding}}'s theorem) (1839) は、同じ定数曲率 ''K'' を持つすべての曲面は局所[[等長]]であるという定理である。ミンディングの定理の結果、曲率 0 の定数曲率曲目はある平面を折り返すことにより構成することができる。そのような曲面を[[可展面|可展曲面]]と呼ぶ。ミンディングは、正の定数曲率を持つ{{仮リンク|閉曲面|en|closed surface}}(closed surface)は必然的にリジッドかとの問いも発していた。
*'''リーベンマンの定理'''(Liebmann's theorem) (1900) はミンディングの問いに答え、正のガウス曲率を持つ '''R'''<sup>3</sup> の中の正則（''C''<sup>2</sup> 級の) 閉曲面は、[[球面]]だけであることをしめした<ref>{{cite book | last = Kühnel | first = Wolfgang | title = Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds | publisher = American Mathematical Society | year = 2006 | isbn = 0-8218-3988-8}}</ref>。標準的な証明は、極端な主曲率となる点は非正なガウス曲率を持つという{{仮リンク|ヒルベルトの補題|en|Hilbert's lemma}}(Hilbert's lemma)を使う<ref>{{citation|title=Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica|first=Mary|last=Gray|edition=2nd|publisher=CRC Press|year=1997|isbn=9780849371646|contribution=28.4 Hilbert's Lemma and Liebmann's Theorem|pages=652–654|url=https://books.google.co.jp/books?id=-LRumtTimYgC&pg=PA652&redir_esc=y&hl=ja}}.</ref>。
*'''{{仮リンク|ヒルベルトの定理 (微分幾何学)|label=ヒルベルトの定理|en|Hilbert's theorem (differential geometry)}}'''(Hilbert's theorem) (1901) は、負の定数曲率を持つ '''R'''<sup>3</sup> の中の解析的な（''C''<sup>''&omega;''</sup> 級）曲面は存在しないという定理である。実際、'''R'''<sup>3</sup> の中への ''C''<sup>2</sup> 級の埋め込みに対しては成立するが、''C''<sup>1</sup>-級の曲面に対しては成立しない。[[擬球面]](pseudosphere)は、特異点である[[カスプ]]は除いて、負の定数曲率のガウス曲率を持つ<ref>[http://eom.springer.de/h/h047410.htm ''Hilbert theorem''. Springer Online Reference Works.]</ref>。
<!--== Surfaces of constant curvature ==
*'''[[Ferdinand Minding|Minding]]'s theorem''' (1839) states that all surfaces with the same constant curvature ''K'' are locally [[Isometry|isometric]]. A consequence of Minding's theorem is that any surface whose curvature is identically zero can be constructed by bending some plane region. Such surfaces are called [[developable surface]]s. Minding also raised the question whether a [[closed surface]] with constant positive curvature is necessarily rigid.
*'''Liebmann's theorem''' (1900) answered Minding's question. The only regular (of class ''C''<sup>2</sup>) closed surfaces in '''R'''<sup>3</sup> with constant positive Gaussian curvature are [[sphere]]s.<ref>{{cite book | last = Kühnel | first = Wolfgang | title = Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds | publisher = American Mathematical Society | year = 2006 | isbn = 0-8218-3988-8}}</ref> A standard proof uses [[Hilbert's lemma]] that points of extreme principal curvature have non-positive Gaussian curvature.<ref>{{citation|title=Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica|first=Mary|last=Gray|edition=2nd|publisher=CRC Press|year=1997|isbn=9780849371646|contribution=28.4 Hilbert's Lemma and Liebmann's Theorem|pages=652–654|url=https://books.google.co.jp/books?id=-LRumtTimYgC&pg=PA652&redir_esc=y&hl=ja}}.</ref>
*'''[[Hilbert's theorem (differential geometry)|Hilbert's theorem]]''' (1901) states that there exists no complete analytic (class ''C''<sup>''&omega;''</sup>) regular surface in '''R'''<sup>3</sup> of constant negative Gaussian curvature. In fact, the conclusion also holds for surfaces of class ''C''<sup>2</sup> immersed in '''R'''<sup>3</sup>, but breaks down for ''C''<sup>1</sup>-surfaces. The [[pseudosphere]] has constant negative Gaussian curvature except at its singular [[cusp (singularity)|cusp]].<ref>[http://eom.springer.de/h/h047410.htm ''Hilbert theorem''. Springer Online Reference Works.]</ref>-->

== 別の公式 ==
*'''R'''<sup>3</sup> の中の曲面のガウス曲率は、[[第二基本形式]](second fundamental form)と[[第一基本形式]](first fundamental form)の[[行列式]]の比率として表すことができる。

::<math>K = \frac{\det II}{\det I} = \frac{LN-M^2}{EG-F^2}.</math>

*'''ブリオッキの公式'''(Brioschi formula)は、第一基本形式の項だけでガウス曲率を表すことができる。

::<math> K =\frac{\begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\\frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix}- \begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\\frac{1}{2}E_v & E & F\\\frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix}}{(EG-F^2)^2} </math>

*'''[[直交座標|直交]]なパラメータ化''' (つまり、''F'' = 0) に対し、ガウス曲率は、

::<math>K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)</math>

である。

*函数 ''z'' = ''F(x, y)'' のグラフとして表せる曲面に対し、ガウス曲率は、

::<math>K = \frac{F_{xx}\cdot F_{yy}- F_{xy}^2}{(1+F_x^2+ F_y^2)^2}</math>

である。

* 曲面 ''F(x,y,z)'' = 0 のガウス曲率は、<ref>[http://mathworld.wolfram.com/GaussianCurvature.html Gaussian Curvature on Wolfram MathWorld]</ref>

::<math>K=\frac{[F_z(F_{xx}F_z-2F_xF_{xz})+F_x^2F_{zz}][F_z(F_{yy}F_z-2F_yF_{yz})+F_y^2F_{zz}]-[F_z(-F_xF_{yz}+F_{xy}F_z-F_{xz}F_y)+F_xF_yF_{zz}]^2}{F_z^2(F_x^2+F_y^2+F_z^2)^2}</math>

である。<!-- This one is too long, cannot figure out how to divide it nicely-->
<!--==Alternative formulas==
*Gaussian curvature of a surface in '''R'''<sup>3</sup> can be expressed as the ratio of the [[determinant]]s of the [[second fundamental form|second]] and [[first fundamental form|first]] fundamental forms:

::<math>K = \frac{\det II}{\det I} = \frac{LN-M^2}{EG-F^2}.</math>

*The '''Brioschi formula''' gives Gaussian curvature solely in terms of the first fundamental form:

::<math> K =\frac{\det \begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\\frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix}- \det \begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\\frac{1}{2}E_v & E & F\\\frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix}}{(EG-F^2)^2} </math>

*For an '''[[orthogonal coordinates|orthogonal]] parametrization''' (i.e., ''F'' = 0), Gaussian curvature is:

::<math>K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right).</math>

*For a surface described as graph of a function ''z'' = ''F(x, y)'', Gaussian curvature is:

::<math>K = \frac{F_{xx}\cdot F_{yy}- F_{xy}^2}{(1+F_x^2+ F_y^2)^2}</math>

* For a surface ''F(x,y,z)'' = 0, Gaussian curvature is:<ref>[http://mathworld.wolfram.com/GaussianCurvature.html Gaussian Curvature on Wolfram MathWorld]</ref>

::<math>K=\frac{[F_z(F_{xx}F_z-2F_xF_{xz})+F_x^2F_{zz}][F_z(F_{yy}F_z-2F_yF_{yz})+F_y^2F_{zz}]-[F_z(-F_xF_{yz}+F_{xy}F_z-F_{xz}F_y)+F_xF_yF_{zz}]^2}{F_z^2(F_x^2+F_y^2+F_z^2)^2}</math>
***-- This one is too long, cannot figure out how to divide it nicely-->
* ユークリッド計量と共形な計量を持つ曲面は、従って、''F'' = 0 であり ''E'' = ''G'' = e<sup>σ</sup> である曲面のガウス曲率は、（Δ を通常の[[ラプラス作用素]]として）

::<math> K = -\frac{1}{2e^\sigma}\Delta \sigma,</math>

と表すことができる。

*ガウス曲率は、'''測地線円の周囲'''と平面内の円との極限での差異である<ref name="Bertrandtheorem">[[Bertrand–Diquet–Puiseux theorem]]</ref>。
::<math> K = \lim_{r\to 0^+} 3\frac{2\pi r-C(r)}{\pi r^3}</math>
*ガウス曲率は、'''測地線円板'''と平面内の円板との極限での差異である<ref name="Bertrandtheorem"/>。
::<math>K  = \lim_{r\to 0^+}12\frac{\pi r^2-A(r)}{\pi r^4 } </math>
*ガウス曲率は、[[クリストッフェル記号]]により表すことができる<ref>{{cite book | last = Struik | first = Dirk| title = Lectures on Classical Differential Geometry | publisher = Courier Dover
Publications | year = 1988 | isbn = 0-486-65609-8}}</ref>。
::<math>K = -\frac{1}{E} \left( \frac{\partial}{\partial u}\Gamma_{12}^2 - \frac{\partial}{\partial v}\Gamma_{11}^2 + \Gamma_{12}^1\Gamma_{11}^2 - \Gamma_{11}^1\Gamma_{12}^2 + \Gamma_{12}^2\Gamma_{12}^2 - \Gamma_{11}^2\Gamma_{22}^2\right)</math>
<!--* For a surface with metric conformal to the Euclidean one, so ''F'' = 0 and ''E'' = ''G'' = e<sup>σ</sup>, the Gauss curvature is given by (Δ being the usual [[Laplace operator]]):

::<math> K = -\frac{1}{2e^\sigma}\Delta \sigma,</math>

*Gaussian curvature is the limiting difference between the '''[[circumference]] of a geodesic circle''' and a circle in the plane:<ref name="Bertrandtheorem">[[Bertrand–Diquet–Puiseux theorem]]</ref>
::<math> K = \lim_{r\to 0^+} 3\frac{2\pi r-C(r)}{\pi r^3}</math>
*Gaussian curvature is the limiting difference between the '''[[area]] of a geodesic disk''' and a disk in the plane:<ref name="Bertrandtheorem"/>
::<math>K  = \lim_{r\to 0^+}12\frac{\pi r^2-A(r)}{\pi r^4 } </math>
*Gaussian curvature may be expressed with the '''[[Christoffel symbols]]''':<ref>{{cite book | last = Struik | first = Dirk| title = Lectures on Classical Differential Geometry | publisher = Courier Dover
Publications | year = 1988 | isbn = 0-486-65609-8}}</ref>
::<math>K = -\frac{1}{E} \left( \frac{\partial}{\partial u}\Gamma_{12}^2 - \frac{\partial}{\partial v}\Gamma_{11}^2 + \Gamma_{12}^1\Gamma_{11}^2 - \Gamma_{11}^1\Gamma_{12}^2 + \Gamma_{12}^2\Gamma_{12}^2 - \Gamma_{11}^2\Gamma_{22}^2\right)</math>-->
== 高次元の場合 ==
{{Main|部分リーマン多様体の接続と曲率}}
{{Mvar|M}}を[[リーマン多様体]]{{Mvar|{{overline|M}}}}の部分多様体とする。{{Mvar|M}}が{{Mvar|{{overline|M}}}}において'''余次元1であれば'''、[[第二基本形式]]が2階のテンソル（すなわち[[行列]]）になり、第二基本形式の固有値として[[主曲率]]を定義でき、全ての主曲率の積としてガウス曲率が定義できる。


ガウス曲率は{{Mvar|M}}が'''偶数次元であれば'''{{Mvar|M}}に内在的な量であり、リーマン曲率のオイラー形式と一致する。{{Mvar|M}}が奇数次元の場合もガウス曲率は符号を除いて内在的な量である。

== 関連項目 ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
* [[主曲率]]
* [[断面曲率]]
* {{仮リンク|平均曲率|en|Mean curvature}}(Mean curvature)
* [[ガウス写像]](Gauss map)

== 参考文献 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|title=Gaussian curvature|urlname=Gaussian_curvature}}
* [http://www.lightandmatter.com/html_books/genrel/ch05/ch05.html#Section5.3 Curvature in two spacelike dimensions]
{{Curvature}}

{{DEFAULTSORT:かうすきよくりつ}}
[[Category:カール・フリードリヒ・ガウス|きよくりつ]]
[[Category:曲面]]
[[Category:曲面の微分幾何学]]
[[Category:曲率]]
[[Category:数学に関する記事]]
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[[Category:微分幾何学]]