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{{Expand English|Gaussian process|date=2024年5月}}
'''ガウス過程'''（ガウス-かてい、{{lang-en-short|<em>Gaussian process</em>}}）は連続時間[[確率過程]]の一種である。この概念は[[カール・フリードリッヒ・ガウス]]の名にちなんでいるが、それは単に[[正規分布]]がガウス分布とも呼ばれるためであり、しかも正規分布はガウスが最初に研究したというわけでもない。いくつかの文献（たとえば下記のSimonの著書）では、確率変数 ''X''<sub>''t''</sub> の期待値が 0 であることを仮定する場合もある。

== 定義 ==
確率過程 {''X''<sub>''t''</sub>}<sub>''t''&isin;''T''</sub> は、任意に（有限個の）''X''<sub>''t''<sub>1</sub></sub>, ..., ''X''<sub>''t''<sub>''k''</sub></sub> を選んで作った[[線型結合]]（あるいはより一般に、{''X''<sub>''t''</sub>}<sub>''t''&isin;''T''</sub> を標本関数 ''X''<sub>''t''</sub> 全体からなる連続濃度の函数空間と見たときの、任意の線型[[汎関数]]）が[[正規分布]]に従うとき、ガウス過程という。言い換えると、添字集合 ''T'' から有限個の添字 ''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''k''</sub> を選び出したとき、常に

{{Indent|<math> \mathbf{X}_{t_1, \ldots, t_k} = (X_{t_1}, \ldots, X_{t_k}) </math>}}

が[[多次元正規分布]]に従うという性質を持つ確率過程{''X''<sub>''t''</sub>}<sub>''t''&isin;''T''</sub> はガウス過程である。また、確率分布の特性関数を用いれば次のようにも述べられる。任意の有限個の添字 ''t''<sub>1</sub>, ..., ''t''<sub>''k''</sub> に対して、

{{Indent|<math> \mathbb{E}\!\left(\exp\!\left(i\sum_{l=1}^k t_l X_{t_l}\right)\right) = \exp\!\left(-\frac{1}{2} \sum_{l, j} \sigma_{l j} t_l t_j + i \sum_l \mu_l t_l\right) </math>}}

を満たすような正数 &sigma;<sub>''lj''</sub> および &mu;<sub>''j''</sub> が存在する。またこのとき、&mu;<sub>''j''</sub> は ''X''<sub>''t''<sub>''j''</sub></sub> の期待値、&sigma;<sub>''lj''</sub> は ''X''<sub>''t''<sub>''l''</sub></sub> と ''X''<sub>''t''<sub>''j''</sub></sub> の共分散となることが確認できる。

==主なガウス過程==
[[ウィーナー過程]]は、おそらく最も広く研究されているガウス過程の一種である。ウィーナー過程は[[定常過程]]ではないが、[[定常増分過程|定常増分]]を持つ。

[[オルンシュタイン＝ウーレンベック過程]]は、定常なガウス過程である。

[[ブラウン橋]]は増分が独立ではないガウス過程である。

[[非整数ブラウン運動]]は、ウィーナー過程において定常増分が従う正規分布を<math>\mathcal{N}(0,|t-s|^{2H})</math> へと非整数次数(2H)にまで拡張したガウス過程である。

==応用==
ガウス過程は[[機械学習]]における[[教師あり学習]]の[[回帰分析]]に応用される。平均値関数と共分散関数を既知とし与えられたデータがそのガウス過程に従っていると仮定すると未知の観測値の平均と分散がわかる。

==参考文献==
* R. M. Dudley, ''Real Analysis and Probability'', Wadsworth and Brooks/Cole, 1989.
* B. Simon, ''Functional Integration and Quantum Physics'', Academic Press, 1979.
* C. E. Rasmussen, C. K. I. Williams,  ''[http://www.GaussianProcess.org/gpml Gaussian Processes for Machine Learning]'', MIT Press, 2006. ISBN 0-262-18253-X
* M.L. Stein, ''Interpolation of Spatial Data: Some Theory for Kriging'', Springer, 1999
和書
* 持橋大地、大羽成征：「ガウス過程と機械学習」、講談社サイエンティフィク、ISBN 978-4-06-152926-7 (2019年3月7日).　本書の220頁には文献案内もあり。

==外部リンク==
* [http://www.GaussianProcess.org The Gaussian Processes Web Site]

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