ガブリエルのラッパのソースを表示

[[File:GabrielHorn.png|thumb|450px|「ガブリエルのラッパ」の3Dイラスト。]]
[[ファイル:GabrielHorn.svg|thumb|450px|GeoGebraによるガブリエルのラッパの3D描画。]]

'''ガブリエルのホルン'''（{{lang-en-short|Gabriel's Horn}}）または'''ガブリエルのトランペット'''は、有限の[[体積]]と無限の[[表面積]]を併せもつ[[幾何学]]的な空間図形である。その名称は、有限が無限（神）と結びつくこの現象を、[[最後の審判]]を告げる笛を吹くという伝承の大天使[[ガブリエル]]へなぞらえたものである。この図形の性質を調べた最初の人は、17世紀イタリアの[[物理学者]]兼[[数学者]]の[[エヴァンジェリスタ・トリチェリ]]で、'''トリチェリのトランペット'''（{{lang-en-short|Torricelli's trumpet}}）とも呼ばれる。

==数学的な定義==
[[File:Rectangular hyperbola.svg|thumb|{{math|''f'': ''x'' → {{Sfrac|1|''x''}} }}のグラフ]]
'''ガブリエルのホルン'''は、{{math|''f'': ''x'' → {{Sfrac|1|''x''}} }}の領域 {{math|''x'' &ge; 1}}（つまり {{math|''x'' {{=}} 0}} における[[漸近線|漸近挙動]]の問題は関わってこない）での平面[[グラフ (函数)|グラフ]]を[[三次元空間|三次元]]において {{mvar|x}}-軸の周りに回転させることで形作られる。
この発見は[[微分積分学]]の発明以前のことで、[[カヴァリエリの原理]]が使われたが、今日の微分積分学は {{math|''x'' {{=}} 1}} と {{math|''x'' {{=}} ''a'' (''a'' > 1)}} の間の体積と表面積の計算を利用することができる。
[[積分]]（詳細は、[[回転体]]及び[[回転面]]を参照）を用いて、体積 {{mvar|V{{msub|a}}}} および表面積 {{mvar|A{{msub|a}}}} は
: <math>V_a = \pi \int_{1}^{a} {1 \over x^2} \mathit{dx} = \pi \left( 1 - {1 \over a} \right)</math>
および
: <math>A_a = 2\pi \int_{1}^{a} {1 \over x} \sqrt{1+f'(x)^2}\; \mathit{dx} > 2\pi \int_{1}^{a} {1 \over x} \;\mathit{dx} = 2\pi \ln a</math>
と求められる。{{mvar|a}} は望む限り大きくすることができるが、上記の方程式から分かることとしてホルンの {{math|''x'' {{=}} 1}} から {{math|''x'' {{=}} ''a''}} までの部分の体積が {{π}} を上回ることは無い（が、{{mvar|a}} が大きくなればなるほど、体積は {{π}} により近づく）。数学的に述べれば、{{mvar|a}} が無限大へ近づく極限において体積は {{π}} へ近づく、微分積分学における極限記法では
: <math>\lim_{a \to \infty}V_a = \lim_{a \to \infty}\pi \left( 1 - {1 \over a} \right) = \pi</math>
ということになる。一方、表面積に関する上記の式は、表面積の下界が {{mvar|a}} の自然対数の {{math|2{{π}}}}-倍で与えられることをいっている。{{mvar|a}} が無限大に近づく際に{{mvar|a}} の自然対数に上界は無い。それはガブリエルのホルンにおいてはホルンが無限の表面積を持つという意味になる。言い換えるならば次のようになる。
: <math>\lim_{a \to \infty}A_a > \lim_{a \to \infty}2 \pi \ln a = \infty</math>

==パラドックス==
'''ガブリエルのホルン'''の性質が発見された時代には、{{mvar|xy}}-平面上の無限に広い図形を {{mvar|x}}-軸のまわりに回転させて生成された対象の体積が有限であるという事実は[[パラドックス|逆説的]]なものに受け取られた。実際には、ガブリエルのホルンは確かに{{mvar|xy}}-平面における断面積は無限大である一方で、これに平行な他の任意の断面は有限の面積を持つ。従ってその体積も（それは各断面の「重み付き」和に等しいから）有限になる。

恐らくより説得力のあるやり方は、半径が減衰する円板の積み重ねとしてホルンを扱うことである。それらの形状は同一なので、単に半径の和を計算したくなるかもしれないが、そうすると[[調和級数]]となって無限大に発散してしまう。より注意深く考察すると、半径の平方和を計算する必要があるとわかる。各円板は半径 {{math|''r'' {{=}} {{Sfrac|1|''x''}}}} と表面積 {{math|{{π}}''r''{{sup|2}} {{=}} {{Sfrac|{{π}}|''x''{{sup|2}}}}}} を持つ。それらの和を考えると {{math|{{Sfrac|1|''x''}}}} の級数（つまり調和級数）は発散するが、{{math|{{Sfrac|1|''x''{{sup|2}}}}}} の級数は収束する(より一般に、任意の実数 {{math|ε > 0}} に対して {{math|{{Sfrac|1|''x''{{sup|1+ε}}}}}} の級数は収束する)。

このパラドックスは、[[トマス・ホッブズ]]、[[ジョン・ウォリス]]、[[ガリレオ・ガリレイ]]といった、当時の重要な思想家の多くが関わってきた無限の性質について、大きな議論を呼んだ<ref>{{cite book|title=Nonplussed!: mathematical proof of implausible ideas|first=Julian|last=Havil|publisher=Princeton University Press|year=2007|isbn=0-691-12056-0|pages=82–91}}</ref>。

===塗装工のパラドックス===
ガブリエルのホルンは有限の体積を持つのだから有限量のペンキでそれを満たすことができるように思われるのに対して、ガブリエルのホルンの内側面を有限量のペンキで塗り尽くすことは不可能に見え、一見パラドックスが起きているように見える。

たしかに、ホルンの外側面を一定の厚みのペンキで覆うには無限の量のペンキが必要となる<ref>{{cite book |title=Infinity: The Quest to Think the Unthinkable |first=Brian |last=Clegg |publisher=Robinson (Constable & Robinson Ltd) |year=2003 |isbn=978-1-84119-650-3 |pages=239–242}}</ref>。しかし、内側面をペンキで覆う場合、原点から離れるにつれホルンは細くなっていくから、内面を一定の厚みのペンキで覆うことはできない。したがって、パラドックスは成立しない。

== 逆 ==
'''ガブリエルのラッパ'''とは逆の現象、つまり有限の表面積と無限の体積をあわせ持つ回転面は、存在しえない。

; 定理
: {{math|''f'': [1,∞) → [0,∞)}} は連続的微分可能とし、{{math|''y'' {{=}} ''f''&thinsp;(''x'')}} を {{mvar|x}}-軸の周りに回転させた[[回転体]]を {{mvar|S}} と書く。'''{{mvar|S}} の表面積が有限ならば体積もそうである'''。
{{math proof|側面積 {{mvar|A}} が有限であるから、[[上極限と下極限|上極限]]
: <math>\begin{align}
 \lim_{t \to \infty} \sup_{x \geq t} f(x)^2 - f(1)^2 & = \limsup_{t \to \infty} \int_{1}^{t} (f(x)^2)' \mathit{dx}\\[5pt]
 & \leqslant \int_{1}^{\infty} |(f(x)^2)'| \mathit{dx} = \int_{1}^{\infty} 2 f(x) |f'(x)| \mathit{dx}\\[5pt]
 & \leqslant \int_{1}^{\infty} 2 f(x) \sqrt{1 + f'(x)^2} \,\mathit{dx}\\[5pt]
 & = {A \over \pi} < \infty.
\end{align}</math>
に注意する。したがって、[[上限 (数学)|上限]] {{math|sup{''f''(''x'') {{!}} ''x'' &ge; ''t''{{msub|0}}} }}が有限となる {{math|''t''{{msub|0}}}} が存在する。ここに {{mvar|f}} は[[連続関数|連続]]ゆえ {{math|M {{=}} sup{''f''(''x'') {{!}} ''x'' &ge; 1} }}は有限でなければならず、それにより {{mvar|f}} が {{math|[1,∞)}} で[[有界函数|有界]]であることが導かれる。最後に体積
: <math>\begin{align}
V & = \int_{1}^{\infty} f(x) \cdot \pi f(x) \,\mathit{dx}\\[3pt]
  & \leqslant \int_{1}^{\infty} {M \over 2} \cdot 2 \pi f(x) \,\mathit{dx}
\leqslant {M \over 2} \cdot \int_{1}^{\infty} 2 \pi f(x) \sqrt{1 + f'(x)^2} \,\mathit{dx}\\[3pt]
  & = {M \over 2} \cdot A
\end{align}</math>
に注意する。以上により'''面積 {{mvar|A}} が有限ならば、体積 {{mvar|V}} もまた有限でなければならない'''。}}

== 関連項目 ==
* [[双曲線]]
* [[コッホ曲線]]
* {{仮リンク|擬球|en|pseudosphere}}
* [[宇宙の形]]
* [[回転面]]
* [[メンガーのスポンジ]] - 面積が無限大、体積が0の図形
* [[ゼノンのパラドックス]]

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* ''Gabriel's Other Possessions'', Melvin Royer, {{DOI|10.1080/10511970.2010.517601}}
* ''Gabriel's Wedding Cake'', Julian F. Fleron, http://people.emich.edu/aross15/math121/misc/gabriels-horn-ma044.pdf
* ''A Paradoxical Paint Pail'', Mark Lynch, http://www.maa.org/programs/faculty-and-departments/classroom-capsules-and-notes/a-paradoxical-paint-pail
* ''Supersolids: Solids Having Finite Volume and Infinite Surfaces'', William P. Love, {{jstor|27966098}}

==外部リンク==
*[http://curvebank.calstatela.edu/torricelli/torricelli.htm Information and diagrams about Gabriel's Horn]
*[http://planetmath.org/torricellistrumpet Torricelli's Trumpet at PlanetMath]
*{{MathWorld|title=Gabriel's Horn|urlname=GabrielsHorn}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/GabrielsHorn/ "Gabriel's Horn"] by John Snyder, the [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
* [http://www.palmbeachstate.edu/honors/Documents/jeansergejoseph.pdf Gabriel's Horn: An Understanding of a Solid with Finite Volume and Infinite Surface Area] by Jean S. Joseph.

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