ガボールフィルタのソースを表示

[[File:Gabor-ocr.png|thumb|2次元ガボールフィルタを漢字に作用させた例。左上から時計回りに原画像、搬送波の方向を45°づつ順に変えた4つのフィルタの作用結果、及びそれら4つのフィルタ結果を重ね合わせた図を表す。]]

'''ガボールフィルタ'''（{{Lang-en-short|Gabor filter}}）は、画像処理の[[テクスチャー解析]]等に用いられる[[線型性|線型]][[フィルタ回路|フィルタ]]の一種。（2次元のガボールフィルタでは）画像の各点周りの局所領域において、方向毎に特定の周波数成分を抽出することができる。
[[虹彩認識]]や[[指紋認証]]にも応用されている他、哺乳類の脳の[[視覚野#一次視覚野 (V1) |一次視覚野]]にある単純型細胞の活動をモデル化できることが示されている。名称は[[ガーボル・デーネシュ]]に因む<ref>{{cite journal |title=Theory of communications |author=D. Gabor |journal=J. IEE London |volume=93 |pages=429-457 |year=1946}}</ref>。


== 定義 ==
[[ファイル:Rgabor.png|thumb|right|2次元ガボールフィルタのインパルス応答の例]]

細部が異なる種々の定義があるが、基本的には[[ガウス関数]]（ガウシアンエンベロープとも呼ばれる）と[[三角関数]]（[[搬送波]]とも呼ばれる）の積として定義される<ref name=hara2017>{{cite book |title=画像認識 |series=機械学習プロフェッショナルシリーズ | publisher=講談社 |year=2017 |author=原田達也}}</ref><ref>{{cite web|url= http://mplab.ucsd.edu/tutorials/gabor.pdf|title=Tutorial on Gabor Filters|last=Movellan|first=Javier R.|accessdate=2008-05-14}}</ref><ref name=VL00> {{cite web|url= http://cnx.org/content/m12493/latest/|title=Texture Segmentation Using Gabor Filters |last=Leveseque |first=Vincent |date=2000-12-06 |accessdate=2008-05-14}}</ref>：
<math>\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n (n=1,2)</math>の函数であるガボールフィルタ<math>g</math>は、<math>w</math>を[[ガウス関数]]、<math>s</math>を[[三角関数]]として

{{Indent|<math>g(\boldsymbol{x}; A, \boldsymbol{u}, P)
= K \exp(iP) w(\boldsymbol{x}; A) s(\boldsymbol{x}; \boldsymbol{u}) </math>}}

と定義される。
ここで<math>K</math> はガウシアンエンベロープの強度のスケール、<math>A</math> はガウシアンエンベロープのスケールや方向を指定する線形変換、<math>\boldsymbol{u}</math>は搬送波の（空間）周波数と方向を表す波数ベクトル、<math>P</math> は位相オフセットを表す。
<math>w</math>と<math>s</math>の具体的な形は、1次元の場合、通常スケールパラメータ<math>\sigma</math>により

{{Indent|<math>w(x; \sigma) = \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)</math>,}}
{{Indent|<math>s(x; u)
= \exp\left(2\pi iux \right) </math>,}}

2次元の場合は、ガウシアンエンベロープの方向<math>\theta</math>と軸毎のスケールパラメータ<math>\sigma_x, \sigma_y</math>により

{{Indent| <math>w(x, y; A(\theta, \sigma_x, \sigma_y))
=\exp\left( -\frac{x'^2 +y'^2}{2} \right)</math>,}}
{{Indent|<math>s(x, y; \boldsymbol{u})
= \exp\left(2\pi i (x,y) \cdot \boldsymbol{u}\right) </math>}}

と表す。ここで<math>(x', y')=(x, y)A(\theta, \sigma_x, \sigma_y)</math>で、

{{Indent|<math>A(\theta, \sigma_x, \sigma_y)= \begin{pmatrix}
 \cos\theta & -\sin\theta\\
 \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \frac{1}{\sigma_x} & 0\\
 0 & \frac{1}{\sigma_y}
\end{pmatrix}
</math>}}

である。実部と虚部に分けた形<ref name=VL00/>や、更にガウシアンエンベロープの方向と波数ベクトルの方向とを一致させた形（<math>\boldsymbol{u} = (f/\sigma_x)(\cos\theta, \sin\theta)</math>）も用いられる：

{{Indent| <math>\operatorname{Re}g(x, y)
=K \exp\left( -\frac{x'^2 +y'^2}{2} \right) \cos(2\pi fx' + P)</math>,}}
{{Indent| <math>\operatorname{Im}g(x, y)
=K \exp\left( -\frac{x'^2 +y'^2}{2} \right) \sin(2\pi fx' + P)</math>,}}


== 応用 ==

[[画像処理]]では通常、異なる周波数、検出方向のガボールフィルタで構成される[[フィルタバンク]]の形でよく利用される（これを画像に[[畳み込み |畳み込ん]]で得られる出力をガボール空間という）。具体的事例は以下：

*[[虹彩認識]]<ref name=VL00/>や[[指紋認証]]、顔の表情の認識<ref>{{cite book
|last1=Lyons|first1=M.|last2=Akamatsu|first2=S.|last3=Kamachi|first3=M.|last4=Gyoba|first4=J.|year=1998|title=Coding facial expressions with Gabor wavelets |pages=200–205|doi=10.1109/AFGR.1998.670949|isbn=0-8186-8344-9|ol=OL11390549M|url=https://zenodo.org/record/3430156}}</ref>。

*髪型のモデリング<ref name=Chai2012SingleviewHM>{{cite journal
  | author = Menglei Chai and Lvdi Wang and Yanlin Weng and Yizhou Yu and Baining Guo and Kun Zhou
  | authorlink =
  | coauthors =
  | title =Single-view hair modeling for portrait manipulation
  | journal =ACM Trans. Graph.
  | year=2012
  | volume =31
  | issue =116
  | pages =1-8
  | publisher =
  | url =http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/3437332
  | doi =10.1145/2185520.2185612
  | id =
  | accessdate =  }}</ref>。

*[[脊椎]]の骨梁（trabecular bone）における方向性の分布の分析<ref>{{cite journal
| author = C.M.Gdyczynski, etal | year = 2014 | title = On estimating the directionality distribution in pedicle trabecular bone from micro-CT images | url = | journal = Journal of Physiological Measurements | volume = 35 | issue = 12| pages = 2415–2428 | doi = 10.1088/0967-3334/35/12/2415 | pmid = 25391037 | bibcode = 2014PhyM...35.2415G }}</ref>。

*哺乳類の脳の一次[[視覚野]]にある[[単純型細胞]]の活動のモデル<ref>{{cite journal
  | author = Jones JP, Palmer LA
  | authorlink =
  | coauthors =
  | title =An evaluation of the two-dimensional Gabor filter model of simple receptive fields in cat striate cortex
  | journal =J Neurophysiol
  | volume =58
  | issue =6
  | pages =1233-1258
  | publisher =
  | date =Dec 1987
  | url =http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/3437332
  | doi =
  | id =
  | accessdate =  }}</ref><ref>{{cite journal 
| last1 = Marčelja | first1 = S. | year = 1980 | title = Mathematical description of the responses of simple cortical cells | url = | journal = Journal of the Optical Society of America | volume = 70 | issue = 11| pages = 1297–1300 | doi = 10.1364/JOSA.70.001297 | pmid = 7463179 | bibcode = 1980JOSA...70.1297M
}}</ref><ref>{{Cite journal
|last=Daugman|first=John G. |date=1985-07-01 |title=Uncertainty relation for resolution in space, spatial frequency, and orientation optimized by two-dimensional visual cortical filters|journal=Journal of the Optical Society of America A|language=en|volume=2| issue=7|pages=1160–9|bibcode=1985JOSAA...2.1160D|citeseerx=10.1.1.465.8506| doi=10.1364/JOSAA.2.001160| issn=1084-7529|pmid=4020513}}</ref> 。

*スキャンした文書の中のテキスト部分の抽出（一般にテキスト部分が、画像部分に比べ相対的に高周波数成分が多いことを利用している）<ref>{{Cite journal|
last=Pati|first=Peeta Basa|last2=Ramakrishnan|first2=A.G.|date=July 2008|title=Word level multi-script identification|url=|journal=Pattern Recognition Letters|language=en|volume=29|issue=9|pages=1218–1229|doi=10.1016/j.patrec.2008.01.027|issn=0167-8655}}</ref><ref>{{Cite journal
|last=Raju S|first=S.|last2=Pati|first2=P.B.|last3=Ramakrishnan|first3=A.G.|date=2004|title=Gabor filter based block energy analysis for text extraction from digital document images|url=http://eprints.iisc.ac.in/490/1/Gabor_Filter_Based_Block_Engery_Analy...pdf|journal=First International Workshop on Document Image Analysis for Libraries, 2004. Proceedings.|location=Palo Alto, CA, USA|publisher=IEEE|volume=|pages=233–243|doi=10.1109/DIAL.2004.1263252|isbn=978-0-7695-2088-9|lccn=2003116308|ol=OL8067708M}}</ref><ref>{{cite journal
|last1=Raju|first1=S. Sabari|last2=Pati|first2=P. B.|last3=Ramakrishnan|first3=A. G.|year=2005|title=Text Localization and Extraction from Complex Color Images|url=https://archive.org/details/advancesvisualco00bebi_320|journal=Lecture Notes in Computer Science|volume=3804|pages=486–493|doi=10.1007/11595755_59|isbn=978-3-540-30750-1|issn=0302-9743|lccn=2005936803|ol=OL9056158M}}</ref><ref>S Sabari Raju, P B Pati and A G Ramakrishnan, “Text Localization and Extraction from Complex Color Images,” ''Proc. First International Conference on Advances in Visual Computing (ISVC05)'', Nevada, USA, LNCS 3804, Springer Verlag, Dec. 5-7, 2005, pp. 486-493.</ref>。

*シーンを記述する低次元の大域特徴<ref name=hara2017/><ref>{{cite journal
  | author = Oliva, A., Torralba
  | authorlink =
  | coauthors =
  | title =Modeling the Shape of the Scene: A Holistic Representation of the Spatial Envelope
  | journal =International Journal of Computer Vision 
  | year=2001
  | volume =42
  | issue =
  | pages =145-175
  | publisher =
  | url =
  | doi =10.1023/A:1011139631724
  | id =
  | accessdate =  }}</ref>。

ガボールフィルタはガボール[[ウェーブレット]]と直接関係しており、ガボールフィルタに回転や膨張を加えることで設計されるが、拡大は非常に時間がかかるため、ガボール[[ウェーブレット]]では適用されない{{要出典|date=2020-06-21}}。

== 実装例 ==

*[https://scikit-image.org/docs/stable/api/skimage.filters.html#skimage.filters.gabor scikit-imageにおける実装]

*[[MATLAB]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
function gb=gabor_fn(sigma_x,sigma_y,theta,lambda,psi,gamma)

sz_x=fix(6*sigma_x);
if mod(sz_x,2)==0, sz_x=sz_x+1;end
	

sz_y=fix(6*sigma_y);
if mod(sz_y,2)==0, sz_y=sz_y+1;end

[x y]=meshgrid(-fix(sz_x/2):fix(sz_x/2),fix(-sz_y/2):fix(sz_y/2));

% Rotation 
x_theta=x*cos(theta)+y*sin(theta);
y_theta=-x*sin(theta)+y*cos(theta);

gb=exp(-.5*(x_theta.^2/sigma_x^2+gamma^2*y_theta.^2/sigma_y^2)).*cos(2*pi/lambda*x_theta+psi);
</syntaxhighlight>

== 脚注 ==
{{Reflist|2}}


== 関連項目 ==
* [[ガーボル・デーネシュ]]

== 外部リンク ==
* [http://www.brain.kyutech.ac.jp/~morie/Topics/gabor.html 初期視覚機能をモデル化したガボールフィルタLSI] 九州工業大学大学院生命体工学研究科森江研究室
*[http://matlabserver.cs.rug.nl Web-enabled image processing operators] 2次元のガボールフィルタを画像に適用した結果を見ることができる。


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