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{{unsolved|数学|全ての[[有限群]]は[[有理数体]]の[[ガロア拡大]]の[[ガロア群]]となるか?}}

'''ガロアの逆問題'''（ガロアのぎゃくもんだい、英語: inverse Galois problem）とは、全ての[[有限群]]が[[有理数|有理数体]] <math>\mathbb{Q}</math> の[[ガロア拡大]]の[[ガロア群]]として現れるかどうかを問う、[[ガロア理論]]の問題である。この問題は、19世紀初期にはじめて提起された<ref>http://library.msri.org/books/Book45/files/book45.pdf</ref>未解決問題である。

いくつかの置換群については、その置換群がガロア群となるような有理数体 <math>\mathbb{Q}</math> の代数拡大を全て与える{{仮リンク|生成的多項式|en|generic polynomial}}が知られている。 例えば、次数が{{math|5}}以下の置換群は生成的多項式を持つことが知られている。また、位数が{{math|8}}の巡回群のように、生成的多項式が存在しない群が存在することも知られている。

より一般的に、任意の有限群 {{mvar|G}} と体 {{mvar|K}} に対して、ガロア群が {{mvar|G}} と[[群同型|同型]]になるようなガロア拡大体 {{math|''L''/''K''}}は存在するかを問う問題も考えられる。そのような体 {{mvar|L}} が存在するとき、'''{{mvar|G}} は {{mvar|K}} 上実現可能'''であると言う。

==部分的な結果==
特殊な場合については多くのことが詳細に知られている。全ての有限群は[[複素数]]体 <math>\mathbb{C}</math> 上の1変数代数[[代数多様体の函数体|関数体]]上実現可能であることが知られている。より一般に、[[標数]]零の任意の[[代数的閉体]]上の1変数代数関数体でも知られている。[[イゴール・ロスチスラヴォヴィッチ・シャハレビッチ|イゴール・シャハレビッチ]]は、全ての有限[[可解群]]は <math>\mathbb{Q}</math> 上実現可能であることを示した<ref>Igor R. Shafarevich, ''The imbedding problem for splitting extensions'', Dokl. Akad. Nauk SSSR '''120''' (1958), 1217-1219.</ref>。{{仮リンク|マシュー群|en|Mathieu group}} {{math|''M''<sub>23</sub>}} を除く全ての{{仮リンク|散在型単純群|en|sporadic group}}は <math>\mathbb{Q}</math> 上実現可能であることも知られている<ref>p. 5 of Jensen et al., 2002</ref>。

[[ダフィット・ヒルベルト]]は、この問題が {{mvar|G}} に対する[[有理多様体#有理性の問題|有理性の問題]]と関係することを示した:
: {{mvar|K}} を <math>\mathbb{Q}</math> の任意の拡大体とし、{{mvar|K}} に {{mvar|G}} が {{仮リンク|自己同形群|en|automorphism group}} として作用し、{{仮リンク|不変式論|label=不変体|en|Invariant theory}} {{math|''K<sup>G</sup>''}} が {{nowrap|<math>\mathbb{Q}</math>}} 上有理的ならば、{{mvar|G}} は {{nowrap|<math>\mathbb{Q}</math>}} 上実現可能である。
ここで、''有理的''とは <math>\mathbb{Q}</math> の [[超越次数|純超越]] 拡大体であること、すなわち
{{仮リンク|代数的に独立な|en|algebraically independent}} 集合によって <math>\mathbb{Q}</math> 上生成されているという意味である。この判定法を用いることで、例えば全ての[[対称群]]が実現可能であることを示せる。

この問題に関して詳細な研究が多くなされているが一般的には解かれていない。いくつかは[[射影直線]]の{{仮リンク|ガロア被覆|en|Galois covering}}として幾何学的に {{mvar|G}} を構成する方法に基づいている。代数的な言葉で言えば、不定元 {{mvar|t}} の [[有理関数]]体 <math>\mathbb{Q}(t)</math> の拡大体をまず考えることに相当する。この拡大体が得られれば、{{仮リンク|ヒルベルトの既約性定理|en|Hilbert's irreducibility theorem}} によりガロア群を保つように {{mvar|t}} を特殊化できる。

次数が16以下の全ての置換群は、{{nowrap|<math>\mathbb{Q}</math>}} 上実現可能であることが知られている<ref>http://galoisdb.math.upb.de/</ref>。 次数が17の群 PSL(2,16):2 については知られていない<ref>{{Cite web|url=http://galoisdb.math.upb.de/groups?deg=17|title = Choose a group|accessdate=2021-09-15}}</ref>。

PSL(2,25) (位数 7800) よりも小さい、全ての13個の非可換単純群については、{{nowrap|<math>\mathbb{Q}</math>}} 上実現可能であることが知られている<ref>Malle and Matzat (1999), pp. 403-424</ref>。

==単純な例: 巡回群==
古典的な結果を用いることにより、任意の正の整数 {{mvar|n}} に対して<math>\mathbb{Q}</math> 上のガロア群が[[巡回群]] {{math|'''Z'''/''n'''''Z'''}} となるような多項式を明示的に構成することができる。これを見るために、まず素数 {{mvar|p}} で  {{math|''p'' ≡ 1 (mod ''n'')}} となるようなものを取る。このような素数は[[算術級数定理|ディリクレの定理]]により存在する。{{mvar|μ}} を[[1の冪根|1の原始 {{math|''p''}} 乗根]]とし、 {{math|'''Q'''(''μ'')}} を <math>\mathbb{Q}</math> に {{mvar|μ}} を付け加えて得られる [[円分体#性質|円分拡大]] とする。体拡大 {{math|'''Q'''(''μ'')/'''Q'''}} のガロア群は位数  {{math|''p'' − 1}} の巡回群である。

{{mvar|n}} は {{math|''p'' − 1}} を割り切るので、このガロア群は位数 {{math|(''p'' − 1)/''n''}} の巡回部分群 {{mvar|H}} を持つ。この部分群の固定体 {{math|1=''F'' = '''Q'''(''μ'')<sup>''H''</sup>}} は、[[ガロア理論の基本定理]]より <math>\mathbb{Q}</math> 上のガロア群として {{math|'''Z'''/''n'''''Z'''}} を持つ。{{仮リンク|ガウス周期|en|Gaussian period}}の構成方法に従って {{mvar|μ}} の共役の適当な和を取ることにより、{{mvar|F}} の元 {{mvar|α}} で {{nowrap|<math>\mathbb{Q}</math>}} 上 {{mvar|F}} を生成するものを作れ、その最小多項式を計算できる。

任意の有限[[アーベル群]]は <math>\mathbb{Q}</math> の円分拡大のガロア群の商として現れる（[[クロネッカー・ウェーバーの定理]]はこれよりも深い結果）ので、この方法はそのような群にも適用できる。

===範例: 位数3の巡回群===
{{math|1=''n'' = 3}}に対しては、{{math|1=''p'' = 7}} で取ることができる。このとき {{math|Gal('''Q'''(''μ'')/'''Q''')}} は位数6の巡回群である。このガロア群の {{mvar|μ}} を {{math|''μ''<sup>3</sup>}} に移す元を {{mvar|η}} とすると、これは生成元になっている。位数2の部分群 {{math|1=''H'' = {1, ''η''<sup>3</sup>}}} に興味がある。元 {{math|1=''α'' = ''μ'' + ''η''<sup>3</sup>(''μ'')}} を考える。作り方から {{mvar|α}} は {{mvar|H}} の作用で不変であり、<math>\mathbb{Q}</math> 上の共役は
: {{math|1=''α'' = ''η''<sup>0</sup>(''α'') = ''μ'' + ''μ''<sup>6</sup>}}
: {{math|1=''β'' = ''η''<sup>1</sup>(''α'') = ''μ''<sup>3</sup> + ''μ''<sup>4</sup>}}
: {{math|1=''γ'' = ''η''<sup>2</sup>(''α'') = ''μ''<sup>2</sup> + ''μ''<sup>5</sup>}}
の3つである。

下記の恒等式
:{{math|1=1 + ''μ'' + ''μ''<sup>2</sup> + ⋯ + ''μ''<sup>6</sup> = 0}},
を使って、
: {{math|1=''α'' + ''β'' + ''γ'' = −1}}
: {{math|1=''αβ'' + ''βγ'' + ''γα'' = −2}}
: {{math|1=''αβγ'' = 1}}
となることがわかる。

したがって {{mvar|α}} は多項式
:{{math|1=(''x'' − ''α'')(''x'' − ''β'')(''x'' − ''γ'') = ''x''<sup>3</sup> + ''x''<sup>2</sup> − 2''x'' − 1}},
の根であり、この多項式の <math>\mathbb{Q}</math> 上のガロア群は {{math|'''Z'''/3'''Z'''}} である。

==対称群と交代群==
全ての対称群と交代群は有理数係数多項式のガロア群として現れることが[[ダフィット・ヒルベルト|ヒルベルト]]により示された。

多項式 {{math|''x<sup>n</sup>'' + ''ax'' + ''b''}} の判別式は
:<math> (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \left ( n^n b^{n-1} + (-1)^{1-n} (n-1)^{n-1} a^n \right )</math>
である。

特殊な場合として、
:{{math|1=''f''(''x'', ''s'') = ''x<sup>n</sup>'' − ''sx'' − ''s''}}.
を考える。

多項式 {{math|''f''(''x'', ''s'')}} の {{mvar|s}} を素数に置き換えたもの（{{math|''f''(''x'', ''s'')}} の'''特殊化'''と呼ぶ）は、[[アイゼンシュタインの既約判定法]]により既約な多項式である。したがって {{math|''f''(''x'', ''s'')}} は <math>\mathbb{Q}(s)</math> 上既約である。さらに、{{math|''f''(''x'', ''s'')}} は
:<math> x^n - \tfrac{x}{2} - \tfrac{1}{2} - \left ( s - \tfrac{1}{2} \right)(x+1)</math>
とも書け、{{math|''f''(''x'', 1/2)}} は
:<math>\tfrac{1}{2} (x-1) \left ( 1+ 2x + 2x^2 + \cdots + 2 x^{n-1} \right )</math>
と分解できる。

上式の2番目の項は、その[[相反多項式]]にアイゼンシュタインの既約判定法を適用することにより、既約であることがわかる。以上から、群 {{math|Gal(''f''(''x'', ''s'')/'''Q'''(''s''))}} は{{仮リンク|2重可移的|en|doubly transitive}}であることがわかった。

次にこのガロア群が互換を含むことを見る。定数倍による変数変換 {{math|1=(1 − ''n'')''x'' = ''ny''}} を使うと
:<math> y^n - \left \{ s \left ( \frac{1-n}{n} \right )^{n-1} \right \} y - \left \{ s \left ( \frac{1-n}{n} \right )^n \right \}</math>
となり、
:<math> t = \frac{s (1-n)^{n-1}}{n^n}</math>
と置き、
:{{math|1=''g''(''y'', ''t'') = ''y<sup>n</sup>'' − ''nty'' + (''n'' − 1)''t''}}
と定義すると、これは
:{{math|''y<sup>n</sup>'' − ''y'' − (''n'' − 1)(''y'' − 1) + (''t'' − 1)(−''ny'' + ''n'' − 1)}}
ともかける。

これから、多項式 {{math|''g''(''y'', 1)}} は {{math|1}} を[[重複度 (数学)|重複度]]2の零点として持ち、残りの {{math|''n'' − 2}} 個の零点は重複度が1であることが分かり、{{math|Gal(''f''(''x'', ''s'')/'''Q'''(''s''))}} が互換を含むことがわかる。互換を含む任意の有限な{{仮リンク|2重可移的置換群|en|doubly transitive permutation group}} は対称群そのものと一致する。

{{仮リンク|ヒルベルトの既約性定理|en|Hilbert's irreducibility theorem}} から、{{math|''f''(''x'', ''t'')}} を特殊化するとその多項式の有理数体 {{nowrap|<math>\mathbb{Q}</math>}} 上のガロア群が {{math|''S<sub>n</sub>''}} となるものが無限に存在する。また、そのような有理数は {{nowrap|<math>\mathbb{Q}</math>}} のなかで稠密である。

{{math|''g''(''y'', ''t'')}} の判別式は
:<math> (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} (1-t)</math>
となる。

これは完全平方ではない。

===交代群===
交代群の場合は奇数次数の場合と偶数次数の場合をわけて考える。

====奇数次数====
:<math> t = 1 - (-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} n u^2 </math>
とおく。

この置換で {{math|''g''(''y'', ''t'')}} の判別式は
:<math>\begin{align}
(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} (1-t)
&= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} \left (1 - \left (1 - (-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} n u^2 \right ) \right) \\
&= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} \left ((-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} n u^2 \right ) \\
&= n^{n+1} (n-1)^{n-1} t^{n-1} u^2
\end{align}</math>
となる。

{{mvar|n}} が奇数であれば、これは完全平方である。

====偶数次数====
:<math>t = \frac{1}{1 + (-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} (n-1) u^2}</math>
とおく。

この置換で {{math|''g''(''y'', ''t'')}} の判別式は
:<math>\begin{align}
(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} (1-t)
&= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} \left (1 - \frac{1}{1 + (-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} (n-1) u^2} \right ) \\
&= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} \left ( \frac{\left ( 1 + (-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} (n-1) u^2 \right ) - 1}{1 + (-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} (n-1) u^2} \right ) \\
&= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} \left ( \frac{(-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} (n-1) u^2}{1 + (-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} (n-1) u^2} \right ) \\
&= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} \left (t (-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} (n-1) u^2 \right ) \\
&= n^n (n-1)^n t^n u^2
\end{align}</math>
となる。

{{mvar|n}} が偶数であれば、これは完全平方である。

再び、ヒルベルトの既約性定理により、ガロア群が交代群となるような特殊化が無限に多く存在することが示された。

==剛的（rigid）な群==
{{math|''C''<sub>1</sub>, …, ''C<sub>n</sub>''}} を有限群 {{mvar|G}} の共役類とし、{{mvar|A}} を {{mvar|G}} の {{mvar|n}} 個の元の組 {{math|(''g''<sub>1</sub>, …, ''g<sub>n</sub>'')}} で、各 {{math|''g<sub>i</sub>''}} は {{math|''C<sub>i</sub>''}} に含まれ、全ての積 {{math|''g''<sub>1</sub>…''g<sub>n</sub>''}} が単位元になるようなものの集合とする。{{mvar|A}} が、空集合ではなく、共役による {{mvar|G}} のその上への作用が推移的であり、更に {{mvar|A}} の各元が {{mvar|G}} を生成するとき、'''剛的（rigid）'''であると言う。

{{harvtxt|Thompson|1984}} は、 もし有限群 {{mvar|G}} が剛的（rigid）な集合を持つならば、この有限群はしばしば有理数体の円分拡大体（具体的には、{{mvar|G}} の既約指標が共役類 {{math|''C<sub>i</sub>''}} でとる値によって生成される有理数体の円分拡大体）上のガロア群として実現できることを示した。

これを使って[[モンスター群]]を含む多くの有限単純群が有理数体のガロア拡大のガロア群となることを示せる。モンスター群は位数が {{math|2}}、{{math|3}}、{{math|29}} の元の3つ組によって生成される。このような3つ組は全て共役である。

剛的（rigid）な群の原型は対称群 {{math|''S<sub>n</sub>''}} である。この群は、積を取ると長さ {{math|(''n'' − 1)}} 巡回置換になる長さ {{mvar|n}} 巡回置換と互換で生成される。前節の構成ではこの生成元を使って多項式のガロア群を求めた。

==楕円モジュラー関数を使った構成==
{{math|''n'' > 1}} を任意の整数とする。複素平面上の格子 {{math|Λ}} の周期の比を {{mvar|τ}} とすると、この格子は周期の比が {{math|''nτ''}} であるような部分格子 {{math|Λ′}} を持つ。そのような部分格子の集合は有限集合であり、{{math|Λ}} の基底変換により[[モジュラー群]] {{math|PSL(2, '''Z''')}} が作用している。{{mvar|j}} を[[フェリックス・クライン]]の[[楕円モジュラー関数]] とする。多項式 {{math|''φ<sub>n</sub>''}} を、共役な部分格子にわたって {{math|(''X'' − ''j''(Λ<sub>''i''</sub>))}} の積をとったものとして定義する。{{mvar|X}} の多項式として、{{math|''φ<sub>n</sub>''}} は <math>\mathbb{Q}</math> 係数の{{math|''j''(''τ'')}}の多項式を係数としている。

互いに共役な格子の集合に、 モジュラー群は {{math|PGL(2, '''Z'''/''n'''''Z''')}} として作用している。これから、{{math|''φ<sub>n</sub>''}} の <math>\mathbb{Q}(\mathrm{J}(\tau))</math> 上のガロア群は {{math|PGL(2, '''Z'''/''n'''''Z''')}} と同型であることがわかる。

ヒルベルトの既約性定理を使うことにより、多項式 {{math|''φ<sub>n</sub>''}} を特殊化したときの {{nowrap|<math>\mathbb{Q}</math>}} 上のガロア群が {{math|PGL(2, '''Z'''/''n'''''Z''')}} となるような有理数が無限（更に、稠密）に多く存在する。群の族 {{math|PGL(2, '''Z'''/''n'''''Z''')}} には無限に多くの非可解群が含まれている。

==脚注==

{{Reflist}}

== 参考文献 ==

* Alexander M. Macbeath, ''Extensions of the Rationals with Galois Group PGL(2,Z<sub>n</sub>)'', Bull. London Math. Soc., 1 (1969),332-338.
*{{Citation | last1=Thompson | first1=John G. | author1-link=John G. Thompson | title=Some finite groups which appear as Gal L/K, where K ⊆ Q(μ<sub> n</sub>) |mr=751155 | year=1984 | journal=Journal of Algebra | volume=89 | issue=2 | pages=437–499 | doi=10.1016/0021-8693(84)90228-X| doi-access=free }}
* Helmut Völklein, ''Groups as Galois Groups, an Introduction'', Cambridge University Press, 1996.
* {{cite book | first=Jean-Pierre | last=Serre | authorlink=Jean-Pierre Serre | title=Topics in Galois Theory | series=Research Notes in Mathematics | volume=1 | publisher=Jones and Bartlett | year=1992 | isbn=0-86720-210-6 | zbl=0746.12001 }}
** J.P.セール(著)、H.ダルモン(筆記)、植野義明(訳)：「ガロア理論特論」、トッパン、ISBN 4-8101-8924-4（1995年3月10日）
* Gunter Malle, Heinrich Matzat, ''Inverse Galois Theory'', Springer-Verlag, 1999, {{ISBN2|3-540-62890-8}}.
* Gunter Malle, Heinrich Matzat, ''Inverse Galois Theory'', 2nd edition, Springer-Verlag, 2018.
* Alexander Schmidt, Kay Wingberg, ''[https://web.archive.org/web/20050830000818/http://www.math.uiuc.edu/Algebraic-Number-Theory/0136/ Safarevic's Theorem on Solvable Groups as Galois Groups]'' (''see also'' {{Neukirch et al. CNF}})
* Christian U. Jensen, Arne Ledet, and {{仮リンク|由井典子|en|Noriko Yui}}, ''Generic Polynomials, Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem'', Cambridge University Press, 2002.

{{Authority control}}

[[Category:ガロア理論]]
[[Category:数学に関する記事]]

{{DEFAULTSORT:かろあのきやくもんたい}}