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'''ガロア圏'''（ガロアけん、Galois category）とは[[ガロア理論|古典ガロア理論]]が展開される、いくつかの[[公理]]を満たす[[圏 (数学)|圏]]である。元来古典ガロア理論および[[位相幾何学]]における[[基本群]]の理論の類似点が指摘されていたが、[[アレクサンドル・グロタンディーク]]がガロア理論の成り立つ公理系を明言し、一般的なガロア圏の理論を構成した。古典ガロア理論および基本群の理論はこの理論の基本的な例になる。この理論は'''グロタンディークのガロア理論'''と呼ばれることもある。

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== ガロア圏成立の経緯 ==
グロタンディークのガロア理論、ガロア圏は、体の[[ガロア理論]]の抽象的なアプローチであり、1960年頃に開発され、[[代数幾何学]]の設定おいて[[代数トポロジー]](algebraic topology)の[[基本群]]の研究方法をもたらした。[[可換体|体論]]の古典的設定の中で、1930年代頃から標準的となっている[[線型代数]]を基礎とした[[エミール・アルティン]](Emil Artin)の理論に代わる見方をもたらした。
<!--In [[mathematics]], '''Grothendieck's Galois theory''' is a highly abstract approach to the [[Galois theory]] of fields, developed around 1960 to provide a way to study the [[fundamental group]] of [[algebraic topology]] in the setting of [[algebraic geometry]]. It provides, in the classical setting of [[field theory (mathematics)|field theory]], an alternative perspective to that of [[Emil Artin]] based on [[linear algebra]], which became standard from about the 1930s.-->

[[アレクサンドル・グロタンディーク]](Alexander Grothendieck)のアプローチは、固定された[[射有限群]] ''G'' に対して有限 ''G''-集合の圏を特徴付ける[[圏論|圏論的]]性質に関係している。例えば、''G'' として {{math|{{hat|'''Z'''}}}} と表記される群が考えられる。この群は巡回加法群 '''Z'''/''n'''''Z''' の[[逆極限]]である。あるいは同じことであるが、有限[[部分群の指数|指数]]の部分群の位相に対する[[巡回群|無限巡回群]]の完備化である。すると、有限 ''G''-集合は ''G'' が商有限巡回群を通して作用している有限集合 ''X'' であり、X の置換を与えると特定することができる。
<!--[[The approach of [[Alexander Grothendieck]] is concerned with the [[category theory|category-theoretic]] properties that characterise the categories of finite ''G''-sets for a fixed [[profinite group]] ''G''.  For example, ''G'' might be the group denoted <math>\hat{\Z}</math>, which is the [[inverse limit]] of the cyclic additive groups '''Z'''/n'''Z''' &mdash; or equivalently the completion of the [[infinite cyclic group]] '''Z''' for the topology of subgroups of finite [[Index of a subgroup|index]]. A finite ''G''-set is then a finite set ''X'' on which ''G'' acts through a quotient finite cyclic group, so that it is specified by giving some permutation of ''X''.-->

上の例では、古典的なガロア理論との関係は、{{math|{{hat|'''Z'''}}}} を任意の[[有限体]] F 上の[[代数的閉包]] <span style="text-decoration:overline">F</span> の射有限ガロア群 Gal(<span style="text-decoration:overline">F</span>/F) と見なすことである。すなわち、F を固定する <span style="text-decoration:overline">F</span> の自己同型は、 F 上の大きな有限[[分解体]]をとるように、逆極限により記述される。幾何学との関係は、原点を取り除いた[[複素平面]]内の[[単位円板]]の[[被覆空間]]として見なすことができる。複素変数 z と考えると、円板の z<sup>n</sup> 写像により実現される有限被覆は、穴あき円板の基本群の部分群 n.'''Z''' に対応する。
<!--In the above example, a connection with classical [[Galois theory]] can be seen by regarding <math>\hat{\Z}</math> as the profinite Galois group Gal(<span style="text-decoration:overline">F</span>/F) of the [[algebraic closure]] <span style="text-decoration:overline">F</span> of any [[finite field]] ''F'', over ''F''. That is, the automorphisms of <span style="text-decoration:overline">F</span> fixing ''F'' are described by the inverse limit, as we take larger and larger finite [[splitting field]]s over ''F''.  The connection with geometry can be seen when we look at [[covering space]]s of the [[unit disk]] in the [[complex plane]] with the origin removed: the finite covering realised by the ''z''<sup>''n''</sup> map of the disk, thought of by means of a complex number variable ''z'', corresponds to the subgroup ''n''.'''Z''' of the fundamental group of the punctured disk.-->

SGA1<ref>*{{Citation | last1=Grothendieck | first1=Alexander | author1-link=Alexander Grothendieck | last2=Raynaud | first2=Michèle | title=Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) | origyear=1971 | arxiv=math/0206203 | publisher=[[Société Mathématique de France]] | location=Paris | series=Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)] | isbn=978-2-85629-141-2 | mr=2017446 | year=2003 | volume=3}}
*{{cite book
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | authorlink = Alexandre Grothendieck
 | title = Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Lecture notes in mathematics '''224''')
 | year=1971
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | location = Berlin; New York
 | language = French
 | pages = xxii+447
 | isbn = 978-3-540-05614-0
 | nopp = true
 |doi=10.1007/BFb0058656
}}</ref>で出版されたグロタンディークの理論は、どのようにして G-集合の圏を'''ファイバー函手'''(fibre functor) &Phi; から再構成するかが示されている。ファイバー函手は、幾何学的な設定では、（集合として）固定されたベースポイント上の被覆のファイバーを持つ。実際、タイプ
:''G'' &cong; Aut(&Phi;)
として証明された同型が存在する。右辺は、&Phi; の自己同型群（自己[[自然変換]]）である。集合の圏への函手をもつ圏の抽象的な分類は、射有限な G に対する G-集合の圏を認識することによって与えられる。

どのようにしてこれを体の場合に適用するかを知るには、[[体のテンソル積]]を研究する必要がある。[[トポス (数学)|トポス]]の理論の中の体のテンソル積は、'''原子的トポス'''(atomic topos)の理論の全体となる。
<!--The theory of Grothendieck, published in [[SGA1]], shows how to reconstruct the category of ''G''-sets from a ''fibre functor'' &Phi;, which in the geometric setting takes the fibre of a covering above a fixed base point (as a set). In fact there is an isomorphism proved of the type

:''G'' &cong; Aut(&Phi;),

the latter being the group of automorphisms (self-[[natural equivalence]]s) of &Phi;. An abstract classification of categories with a functor to the category of sets is given, by means of which one can recognise categories of ''G''-sets for ''G'' profinite.

To see how this applies to the case of fields, one has to study the [[tensor product of fields]]. Later developments in [[topos]] theory make this all part of a theory of ''[[atomic topos]]es''.-->

==定義==

''C''を圏、''F''を''C''から[[有限集合]]の圏''(Sets)''への[[共変関手]]とし、次の公理を満たしているとき''C''を'''ガロア圏'''とよぶ。

#''C''は終対象を持ち、''C''内である対象上の2つの対象のファイバー積が存在する。
#''C''は有限和が存在する。とりわけ始対象を持つ。
#任意の射''u'':''X''&rarr;''Y''は''s'':''X''&rarr;''Z''および''t'':''Z''&rarr;''Y''と一意に分解でき、''s''は全射、''t''は単射とできる。
#''F''は左完全である。
#''F''は有限和と可換である。''F''は全射を全射に移す。および群による商と可換''F(X/G)=F(X)/G''。
#''C''内の射''u'':''X''&rarr;''Y''に対し''F(u)''が同型ならば''u''も同型である。

このときガロア圏の上で有限群の射影極限である位相群''π''が構成され、圏''C''と''π''が連続に作用する有限集合の圏''C(π)''との同値が証明される。

==その他の話題==

知られているすべてのガロア理論がガロア圏の言葉で表現できるわけではない。微分体のガロア理論である[[ピカール・ヴェシオ理論]]はガロア圏上では展開できない。それらのためにグロタンディークによる[[淡中圏]]の理論が構成されている。

== 脚注 ==
<references/>

==参考文献==

* {{cite book|
last=Grothendieck|
first=A.|
coauthors=et al.|
title=SGA1 ''Revêtements étales et groupe fondamental, 1960–1961'|
series=Lecture Notes in Mathematics 224|
year=1971|
publisher=Springer Verlag
}}
* {{cite book|
last=Joyal|
first=André|
coauthors= Tierney, Myles|
title=An Extension of the Galois Theory of Grothendieck|
series=Memoirs of the American Mathematical Society|
year= 1984|
publisher=Proquest Info & Learning|
isbn=0-8218-2312-4
}}

* Borceux, F. and Janelidze, G., Cambridge University Press  (2001). ''Galois theories'', ISBN 0-521-80309-8 (This book introduces the reader to the Galois theory of [[Grothendieck]], and some generalisations, leading to Galois [[groupoids]].)
* Szamuely, T., Galois Groups and Fundamental Groups, Cambridge University Press, 2009.

* Dubuc, E. J and de la Vega, C. S., On the Galois theory of Grothendieck, https://arxiv.org/abs/math/0009145v1

== 関連項目 ==
* [[淡中圏]]

{{DEFAULTSORT:かろあけん}}
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:圏の類]]