ガンマ分布のソースを表示

{{出典の明記|date=2016-10}}
{{確率分布
|名前 = ガンマ分布
|型 = 密度
|画像/確率関数 = [[画像:Gamma distribution pdf.svg|325px|Probability density plots of gamma distributions]]
|画像/分布関数 = [[画像:Gamma distribution cdf.svg|325px|Cumulative distribution plots of gamma distributions]]
|母数 = <math>k>0</math> {{ill|形状母数|en|Shape parameter}}<br /><math>\theta >0</math> {{ill|尺度母数|en|Scale parameter}}<br />または、<math>\lambda =\frac{1}{\theta} >0</math> 比
|台 = <math>[0,\infty )</math>
|確率関数 = <math>\frac{1}{\Gamma (k)\, \theta^k} x^{k-1} e^{-x/\theta} =\frac{\lambda^k}{\Gamma (k)} x^{k-1} e^{-\lambda x}</math>
|分布関数 = <math>\frac{\gamma (k, x/\theta )}{\Gamma (k)} =\frac{\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}</math>
|期待値 = <math>k\theta =\frac{k}{\lambda}</math>
|中央値 = 単純な閉形式を持たない
|mode = <math>(k-1)\theta = \frac{k-1}{\lambda} \ \text{ for } k\geqq 1</math>
|分散 = <math>k\theta^2 =\frac{k}{\lambda^2}</math>
|歪度 = <math>\frac{2}{\sqrt{k}}</math>
|尖度 = <math>\frac{6}{k}</math>
|エントロピー = <math>k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi (k)</math><br /><math>=k-\ln \lambda +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi (k)</math>
|モーメント母関数 = <math>\frac{1}{(1-\theta \, t )^k} = \left( \frac{\lambda}{\lambda -t} \right)^k</math><br /><math>\text{ for } t<\frac{1}{\theta} =\lambda</math>
|特性関数 = <math>\frac{1}{(1-i\, \theta \, t)^k} =\left( \frac{\lambda}{\lambda -it} \right)^k</math>
}}
[[確率論]]および[[統計学]]において、'''ガンマ分布''' (ガンマぶんぷ、{{lang-en-short|gamma distribution}}) は[[連続確率分布]]の一種である。その性質は形状母数 {{mvar|k}}、尺度母数 {{mvar|θ}} の2つの[[母数]]で特徴づけられる。主に[[信頼性工学]]における電子部品の寿命分布や[[通信工学]]におけるトラフィックの待ち時間分布に応用される。また所得分布にも応用される。

== 定義と性質 ==
ガンマ分布は、[[確率密度関数]]が{{ill|形状母数|en|Shape parameter}} {{math2|''k'' > 0}}, {{ill|尺度母数|en|Scale parameter}} {{math2|''θ'' > 0}} を用いて
:<math>f(x)=\frac{1}{\Gamma (k)\, \theta^k} x^{k-1} e^{- x/\theta}
 \ \ \ \ \mathrm{for\ } x>0</math>
で定義される分布である。ここで、{{math|Γ(''k'')}} は[[ガンマ関数]]である。

等価な定義として、パラメータ {{math2|''λ'' {{=}} {{sfrac|1|''θ''}}}} を用いて次のように表されることもある。
:<math>f(x)=\frac{\lambda^k}{\Gamma (k)} x^{k-1} e^{- \lambda x}
 \ \ \ \ \mathrm{for\ } x>0</math>
このとき、ガンマ分布の[[確率分布#累積分布関数|累積分布関数]]は次のように表される。
:<math>F(x)=\int_0^x f(u)\,du=\frac{\gamma(k, x/\theta )}{\Gamma (k)} =\frac{\gamma (k, \lambda x)}{\Gamma (k)}</math>
ここで {{mvar|γ}} は[[不完全ガンマ関数]]である。

=== 平均・分散 ===
ガンマ分布の[[確率変数]]を {{mvar|X}} とするとき、[[平均]] {{math|''E''(''X'')}} および[[分散 (確率論)|分散]] {{math|''V''(''X'')}} は次のように表される。
:<math>E(X) = k\theta = \frac{k}{\lambda}</math>
:<math>V(X) = k\theta^2 = \frac{k}{\lambda^2}</math>

=== 特性関数 ===
ガンマ分布の[[確率変数]]を {{mvar|X}} とするとき、[[特性関数]] {{math|''φ{{sub|X}}''(''t'')}} は
:<math>\phi_X (t)=E(e^{iXt} )=\frac{1}{(1-i\, \theta\, t)^k} =\left( \frac{\lambda}{\lambda -it} \right)^k</math>
で与えられる。

これはパラメータ（平均）{{mvar|θ}} とする[[指数分布]]の特性関数を {{mvar|k}} 乗したものに一致する。このことは、特に {{mvar|k}} を整数としたときに、パラメータ {{mvar|θ}} の[[指数分布]]に従う {{mvar|k}} 個の確率変数が独立であるとき、その和が形状母数 {{mvar|k}}、尺度母数 {{mvar|θ}} のガンマ分布に従うことを表している。

=== 再生性 ===
ガンマ分布は[[再生性]]を有する。すなわち、パラメータに形状母数 {{math|''k''{{sub|1}}}} と尺度母数 {{mvar|θ}} を持つガンマ分布の確率変数を {{math|''X''{{sub|1}}}}、パラメータに形状母数 {{math|''k''{{sub|2}}}} と尺度母数 {{mvar|θ}} を持つガンマ分布の確率変数を {{math|''X''{{sub|2}}}} とするとき、確率変数の和 {{math2|''X''{{sub|1}} + ''X''{{sub|2}}}} は、形状母数 {{math2|''k''{{sub|1}} + ''k''{{sub|2}}}}、尺度母数 {{mvar|θ}} のガンマ分布に従う。

== 他の分布との関係 ==
以下の分布はガンマ分布の特別な場合である。
;指数分布
:特に {{math2|''k'' {{=}} 1}} である場合、このガンマ分布は尺度母数（平均値）を {{mvar|θ}} とする[[指数分布]]に帰着する。

;アーラン分布
:{{mvar|k}} が[[整数]]である場合、このガンマ分布は[[アーラン分布]]に帰着する。また、尺度母数（平均値）に {{mvar|θ}} を持つ互いに独立な {{mvar|n}} 個の指数分布の和は、パラメータに形状母数 {{mvar|n}} と尺度母数 {{mvar|θ}} を持つガンマ分布（アーラン分布）となる。

;カイ二乗分布
:{{math2|''k'' {{=}} {{sfrac|''n''|2}} (''n'' {{=}} 1, 2, …)}} かつ {{math2|''θ'' {{=}} 2}} である場合、ガンマ分布は自由度 {{mvar|n}} の[[カイ二乗分布]]に帰着する。

== 関連項目 ==
* [[確率分布]]
* [[指数分布]]
* [[アーラン分布]]
* [[カイ二乗分布]]
* [[逆ガンマ分布]]
* {{仮リンク|一般化ガンマ分布|en|Generalized gamma distribution}}

{{確率分布の一覧}}
{{DEFAULTSORT:かんまふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:生存分析]]