ガンマ行列のソースを表示

'''ガンマ行列'''（ガンマぎょうれつ、{{lang-en-short|gamma matrices}}）、あるいは'''ディラック行列'''（ディラックぎょうれつ、{{lang-en-short|Dirac matrices}}）とは、[[反交換関係]]
{{Indent|
<math>\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \} = 2g^{\mu\nu}</math>
}}
によって定義される[[行列]]の組。[[場の理論]]におけるディラック場の記述に応用される。物理学者[[ポール・ディラック]]が[[相対性理論|相対論的]]な波動方程式として[[ディラック方程式]]を導く際に導入した<ref>P.A.M. Dirac, [http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/117/778/610　"The Quantum Theory of the Electron"], ''Proc. R. Soc. A'' (1928), vol. 117, no 778, p. 610-624 {{doi|10.1098/rspa.1928.0023}} </ref>。

== 定義 ==
ガンマ行列 {{math|''&gamma;{{sup|&mu;}}''}} は以下の[[反交換関係]]を満たす[[行列]]の組として定義される<ref group="注">時空の座標の取り方によっては、見かけ上、異なる定義が用いられることがある。4次元時空において、座標を {{math|(''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}}, ''x''{{sub|3}}, ''x''{{sub|4}}) {{=}} (''x'', ''y'', ''z'', ''ict'')}} とし、計量を {{math|''ds''{{sup|2}} {{=}} + {{subsup|''dx''|1|2}} + {{subsup|''dx''|2|2}} + {{subsup|''dx''|3|2}} + {{subsup|''dx''|4|2}}}} で与える場合、ガンマ行列は、{{math|{''&gamma;{{sub|&mu;}}'', ''&gamma;{{sub|&nu;}}''} {{=}} 2''&delta;''{{sub|&mu;&nu;}}'''1''' (''&mu;'', ''&nu;'' {{=}} 1, 2, 3, 4)}} で定義される。但し、{{math|''&delta;{{sub|&mu;&nu;}}''}} は[[クロネッカーのデルタ]]を表す。</ref>。
{{Indent|
<math>\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \}
 = \gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu
 =2g^{\mu\nu} \mathbf{1}</math>
}}
ここで {{math|''&mu;'',''&nu;'' {{=}} 0, 1, 2, …, ''d'' &minus; 1}} は {{mvar|d}} 次元[[時空]]の添え字で、{{mvar|g}} は時空の[[計量テンソル|計量]]で、この場合 {{math|''g'' {{=}} [[対角行列|diag]](+1, &minus;1, &minus;1, …, &minus;1)}} である。{{math|'''1'''}} は単位行列で、この式が行列としての等式であることを明示しているが、しばしば省略される。行列を成分で書けば、
{{Indent|
<math>\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}_a{}^b
 =(\gamma^\mu)_a{}^c(\gamma^\nu)_c{}^b
 +(\gamma^\mu)_a{}^c(\gamma^\nu)_c{}^b
 =2g^{\mu\nu} \delta_a^b</math>
}}
となる。行列の添え字は {{math|''a'', ''b'' {{=}} 1, …, 2{{sup|''k''}}}}（{{mvar|d}} が偶数の場合は {{math|''k'' {{=}} ''d''/2}}、奇数の場合は {{math|''k'' {{=}} (''d'' + 1)/2}} の範囲を動く。また、重複して現れる添え字については[[アインシュタインの規約]]に従い、和をとるものとする。

時空の添え字の上げ下げは、計量によって行われる。
{{Indent|
<math>\gamma_\mu = g_{\mu\nu} \gamma^\nu,~
\gamma^\mu = g^{\mu\nu} \gamma_\nu</math>
}}
{{Indent|
<math>\gamma_0 = \gamma^0,~
\gamma_j = -\gamma^j</math>
}}
ここで {{math|''j'' {{=}} 1, …, ''d'' &minus; 1}} は空間成分である。（以下同じ）

== 性質 ==
=== 基本的性質 ===
定義より、
{{Indent|
<math>(\gamma^0)^2 = 1,~
(\gamma^j)^2 = -1</math>
}}
{{Indent|
<math>\gamma^\mu \gamma^\nu = -\gamma^\nu \gamma^\mu
\quad (\mu \neq \nu)</math>
}}
が成り立つ。

また、ガンマ行列同士の積から生成される項は、上記の性質から
{{Indent|
<math>1, \gamma^\mu, \gamma^{\mu_1}\gamma^{\mu_2},
\gamma^{\mu_1}\gamma^{\mu_2}\gamma^{\mu_3}, \ldots,
\gamma^{\mu_1}\gamma^{\mu_2}\cdots\gamma^{\mu_d}
\quad (\mu_1 \neq \mu_2 \neq \cdots \neq \mu_d)
</math>
}}
のいずれかの形に帰着される。この中で互いに異なる項は2<sup>d</sup>個となる。

=== エルミート性 ===
<math>\gamma^0</math> は[[固有値]] {{math|&plusmn;1}} であり、<math>\gamma^j</math> は固有値 {{math|&plusmn;''i''}} である。従ってエルミート共役に対して、
{{Indent|
<math>(\gamma^0)^\dagger = \gamma^0,~
(\gamma^j)^\dagger = -\gamma^j</math>
}}
が成り立つような行列で表示することができる。つまり、<math>\gamma^0</math> は[[エルミート行列]]、<math>\gamma^j</math> は[[反エルミート行列]]になるように表示することができる。このような表示をしたとき、まとめて
{{Indent|
<math>(\gamma^\mu)^\dagger = \gamma^0\gamma^\mu\gamma^0</math> 
}}
と表すことができる。一般にエルミート性は持たないことに注意されたい。

=== トレース ===
ガンマ行列の[[跡 (線型代数学)|トレース]]はゼロとなる。
{{Indent|
<math>\operatorname{Tr}\gamma^\mu =0</math>
}}

=== 縮約公式 ===
ガンマ行列の[[アインシュタインの縮約記法|縮約]]については、以下が成り立つ。
{{Indent|
<math>\gamma^\mu \gamma_\mu = d</math>
}}
{{Indent|
<math>\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma_\mu = (2-d)\gamma^\nu</math>
}}
{{Indent|
<math>\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma_\mu
 = 4g^{\nu\rho} -(4-d)\gamma^\nu \gamma^\rho</math>
}}
{{Indent|
<math>\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma \gamma_\mu
 =-2\gamma^\sigma \gamma^\rho \gamma^\nu
 +(4-d)\gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma</math>
}}
より高次の縮約公式についても
{{Indent|
<math>\gamma^\mu \gamma^{\nu_1} \cdots \gamma^{\nu_r} \gamma^{\nu_{r+1}} \gamma_\mu
 =2\gamma^{\nu_{r+1}} \gamma^{\nu_1} \cdots \gamma^{\nu_r}
 -(\gamma^\mu \gamma^{\nu_1} \cdots \gamma^{\nu_r} \gamma_\mu) \gamma^{\nu_{r+1}}</math>
}}
として帰納的に求められる。

== ローレンツ変換 ==
ガンマ行列により
{{Indent|
<math>\sigma^{\mu\nu}
 \equiv \frac{i}{2}[\gamma^\mu, \gamma^\nu]
 = \frac{i}{2}(\gamma^\mu \gamma^\nu -\gamma^\nu \gamma^\mu)</math>
}}
で定義される行列 {{mvar|&sigma;<sup>&mu;&nu;</sup>}} を考える。このとき
{{Indent|
<math>S_{\mu\nu} = \frac{1}{2}\sigma_{\mu\nu}</math>
}}
は次の[[ローレンツ変換|ローレンツ代数]]（ローレンツ変換のリー代数）を満たす。
{{Indent|
<math>[S_{\mu\nu}, S_{\rho\sigma}]
 = i(
 -g_{\mu\rho}S_{\nu\sigma}
 +g_{\nu\rho}S_{\mu\sigma}
 +g_{\mu\sigma}S_{\nu\rho}
 -g_{\nu\sigma}S_{\mu\rho})</math>
}}

== 4次元時空でのガンマ行列 ==
4次元時空では、ガンマ行列は[[相対性理論|相対論的]]な[[場の理論]]に応用される。4次元時空ではガンマ行列は 4&times;4 行列で書ける。

=== 基本的性質 ===
4次元時空では <math>\{ \gamma^{\mu} \}_{\mu=0,1,2,3}</math> 同士の積から生成される 2<sup>4</sup> = 16 個の元

:<math>\mathbf{1},</math>
:<math>\gamma^0, i\gamma^1, i\gamma^2, i\gamma^3,</math>
:<math>\gamma^0 \gamma^1, \gamma^0 \gamma^2, \gamma^0 \gamma^3, i \gamma^2 \gamma^3, i \gamma^3 \gamma^1, i \gamma^1 \gamma^2, </math>
:<math>\gamma^1 \gamma^2 \gamma^3, i \gamma^0 \gamma^2 \gamma^3, i\gamma^0 \gamma^1 \gamma^3, i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2, </math>
:<math>\gamma_5=i\gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3</math>

が[[一次独立]]となる<ref group="注">複素係数は、<math>\Gamma_A^{\, 2}= \mathbf{1} </math> となるように選んでいる。</ref>。これらを <math>\{ \Gamma_A \}_{A=1,\cdots,16}</math> と表したとき、各 <math>\Gamma_A</math> は <math>\Gamma_A^{\, 2}= \mathbf{1} </math> 及び <math>\operatorname{Tr}\Gamma_A=0</math> を満たす。

16個の<math>\Gamma_A </math>が一次独立であることから、<math>\{ \gamma^{\mu} \}</math>を行列表現するには、少なくとも16個の成分を持つ4×4行列が必要となる。特に4×4行列による表現は[[既約表現]]であり、<math>\{ \gamma^{\mu} \}</math>と<math>\{ \gamma'^{\mu} \}</math>を異なる4×4行列による表現の組とすると、[[正則行列]]<math>S</math>が存在し、<math>\gamma'^{\mu}=S\gamma^{\mu}S^{-1} </math>の関係が成り立つ。

また、<math>\{ \gamma^{\mu} \}</math>を4×4行列で表現した場合、任意の4×4行列<math>X</math>は、<math>X=\sum_{A}x_A \Gamma_A</math>と、<math>\{ \Gamma_A \}</math>の[[一次結合]]で表すことができる。ここで、展開係数は<math>x_A=\operatorname{Tr}(X \Gamma_A)/4</math>で与えられる。

=== カイラリティー ===
[[カイラリティー]] <math>\gamma_5</math> は
{{Indent|
<math>\gamma_5 \equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3
 = -i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3</math>
}}
によって定義される行列である。高次元時空における第5成分とは関係が無い。
{{Indent|
<math>(\gamma_5)^2 = 1,~
(\gamma_5)^\dagger=\gamma_5</math>
}}
{{Indent|
<math>\gamma_5 \gamma^\mu = -\gamma^\mu \gamma_5</math>
}}
<math>\gamma_5</math> の固有値は ±1 である。
固有値 +1 に属する部分空間を右手型 (right-handed, RH)、或いは右巻きと呼び、&minus;1 を左手型 (left-handed, LH)、或いは左巻きと呼ぶ。

射影演算子
{{Indent|
<math>P_L \equiv \frac{1-\gamma_5}{2},~
P_R \equiv \frac{1+\gamma_5}{2}</math>
}}
を定義すると、
{{Indent|
<math>\psi_L = P_L\psi,~
\psi_R =P_R\psi</math>
}}
{{Indent|
<math>\psi=\psi_L+\psi_R</math>
}}
によって、[[ディラックスピノル]] {{mvar|&psi;}} を右手型、左手型の成分に分解できる。

文献によっては <math>\gamma_5</math> の定義で符号が逆の場合もあるが、そのときも固有値+1が右手、&minus;1が左手である。

=== 変換性 ===
ディラックスピノル {{mvar|&psi;}} の[[ディラック共役]] {{math|{{overline|''&psi;''}} {{=}} ''&psi;''{{sup|&dagger;}}''&gamma;''{{sup|0}}}} とガンマ行列によって構成される[[双線型形式]] {{math|''{{overline|&psi;}}A&psi;''}} は、次のように、離散対称性（[[パリティ (物理学)|パリティ]]変換、[[時間反転]]）を含む広義の[[ローレンツ変換]]の下で、[[スカラー (物理学)|スカラー]]、[[ベクトル]]、反対称[[テンソル]]、[[擬ベクトル]]、[[擬スカラー]]として変換性をもつ。

{|class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
! 双線形形式 !! 変換性 !! 変換則
|-
| style="text-align:center" | {{math|''{{overline|&psi;}}&psi;''}}
| スカラー
| <math>\overline{\psi}'(x)\psi'(x)
 = \overline{\psi}(\Lambda^{-1}x) \psi(\Lambda^{-1}x) </math> 
|-
| style="text-align:center" | {{math|''{{overline|&psi;}}&gamma;{{sup|&mu;}}&psi;''}}
| ベクトル
| <math>\overline{\psi}'(x) \gamma^\mu \psi'(x)
 = \Lambda^\mu{}_\nu
 \overline{\psi}(\Lambda^{-1}x) \gamma^\mu \psi(\Lambda^{-1}x)</math>
|-
| style="text-align:center" | {{math|''{{overline|&psi;}}&sigma;{{sup|&mu;&nu;}}&psi;''}}
| 反対称テンソル
| <math>\overline{\psi}'(x) \sigma^{\mu\nu} \psi'(x)
 = \Lambda^\mu{}_\rho \Lambda^\nu{}_\sigma
 \overline{\psi}(\Lambda^{-1}x) \sigma^{\rho\sigma} \psi(\Lambda^{-1}x)</math>
|-
| style="text-align:center" | {{math|''{{overline|&psi;}}&gamma;''{{sub|5}}''&gamma;{{sup|&mu;}}&psi;''}}
| 擬ベクトル
| <math>\overline{\psi}'(x) \gamma_5 \gamma^\mu \psi'(x)
 = \operatorname{det}(\Lambda) \Lambda^\mu{}_\nu
 \overline{\psi}(\Lambda^{-1}x) \gamma_5 \gamma^\nu \psi(\Lambda^{-1}x)</math>
|-
| style="text-align:center" | {{math|''{{overline|&psi;}}i&gamma;{{sub|5}}&psi;''}}
| 擬スカラー
| <math>\overline{\psi}'(x) i\gamma_5 \psi'(x)
 = \operatorname{det}(\Lambda)
 \overline{\psi}(\Lambda^{-1}x) i\gamma_5 \psi(\Lambda^{-1}x)</math>
|}

=== ディラック表現 ===
ディラック表現において、<math>\gamma^\mu</math>、<math>\gamma_5</math>、及び<math>\sigma^{\mu\nu}</math>は
{{Indent|
<math>\gamma^0 =
\begin{bmatrix}
 1 & 0 \\
 0 & -1 \\
\end{bmatrix},~
\gamma^j =
\begin{bmatrix}
 0 & \sigma_j \\
 -\sigma_j & 0 \\
\end{bmatrix},~
\gamma_5 =
\begin{bmatrix}
 0 & 1 \\
 1 & 0 \\
\end{bmatrix},~
\sigma^{0j} =
\begin{bmatrix}
 0 & i\sigma_j \\
 i\sigma_j & 0 \\
\end{bmatrix},~
\sigma^{jk} = \epsilon_{ijk}
\begin{bmatrix}
 \sigma_i & 0\\
 0 & \sigma_i \\
\end{bmatrix}
</math>
}}
となる。ここで <math>\sigma_j</math> (''j'' = 1, 2, 3) は[[パウリ行列]]、1, 0 はそれぞれ 2 次の[[単位行列]]、[[零行列]]である。

ディラック表現は次の[[クロネッカー積|直積表現]]<ref group="注">{{math|''m'' × ''m''}} 行列 {{math|1=''A'' = [''a''<sub>''i j''</sub>]}} と {{math|''n'' × ''n''}} 行列 {{math|1=''B'' = [''b''<sub>''k l''</sub>]}} の直積表現は

:<math>
A \otimes B =
\begin{bmatrix}
 a_{1 1}B & a_{1 2}B & \cdots & a_{1 m}B   \\
 a_{2 1}B & a_{2 2}B & \cdots & a_{2 m}B   \\
 \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots    \\
 a_{m 1}B & a_{m 2}B & \cdots & a_{m m}B   
\end{bmatrix}
</math>

で与えられる。</ref>
に相当する。
{{Indent|
<math>
\gamma^0 = \sigma_3 \otimes 1,~
\gamma^j = i\sigma_2 \otimes \sigma_j,~
\gamma_5 = \sigma_1 \otimes 1,~
\sigma^{0j} = i\sigma_1 \otimes \sigma_j,~
\sigma^{jk} = 1 \otimes \epsilon_{ijk} \sigma_i</math>
}}

=== カイラル（ワイル）表現 ===
カイラル表現、或いはワイル表現において、<math>\gamma^\mu</math>、<math>\gamma_5</math>、および<math>\sigma^{\mu\nu}</math>は
{{Indent|
<math>\gamma^0 =
\begin{bmatrix}
 0 & 1 \\
 1 & 0 \\
\end{bmatrix},~
\gamma^j =
\begin{bmatrix}
 0 & \sigma_j \\
 -\sigma_j & 0 \\
\end{bmatrix},~
\gamma_5 =
\begin{bmatrix}
 -1 & 0 \\
 0 & 1 \\
\end{bmatrix},~
\sigma^{0j} =
\begin{bmatrix}
 -i\sigma_j & 0 \\
 0 & i\sigma_j \\
\end{bmatrix},~
\sigma^{jk} =
\epsilon_{ijk}
\begin{bmatrix}
 \sigma_i & 0 \\
 0 & \sigma_i \\
\end{bmatrix}
</math>
}}
となる。

カイラル表現では、<math>\gamma_5</math> (カイラリティー)が対角化されており、射影演算子は
{{Indent|
<math>P_L=
\begin{bmatrix}
 1 & 0 \\
 0 & 0 \\
\end{bmatrix},~
P_R=
\begin{bmatrix}
 0 & 0 \\
 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
</math>
}}
となる。つまり、左右の成分が上下2成分ずつに分かれた表示である。
{{Indent|
<math>
\psi=
\begin{bmatrix}
\xi \\ \bar{\eta} \\
\end{bmatrix}
</math>
}}
{{Indent|
<math>\psi_L=
\begin{bmatrix}
 \xi \\ 0 \\
\end{bmatrix}
,~
\psi_R=
\begin{bmatrix}
 0 \\ \bar{\eta} \\
\end{bmatrix}
</math>
}}
カイラル表現は次の直積表現に相当する。
{{Indent|
<math>
\gamma^0 = \sigma_1 \otimes 1,~
\gamma^j = i\sigma_2 \otimes \sigma_j,~
\gamma_5 = -\sigma_3 \otimes 1,~
\sigma^{0j} = -i\sigma_3 \otimes \sigma_j,~
\sigma^{jk} = 1 \otimes \epsilon_{ijk}\sigma_i</math>
}}
カイラル表現とディラック表現は次の[[行列の相似|相似変換]]で結ばれる。
:<math>
\gamma^{\mu}_{\operatorname{chiral}} =U \, \gamma^{\mu}_{\operatorname{Dirac}}
\, U^{\dagger} 
, \quad
U = \frac{1}{\sqrt{2}}(1-\gamma_5 \gamma_0)
  = \frac{1}{\sqrt{2}} 
\begin{bmatrix}
 1 & 1 \\
 -1 & 1 \\
\end{bmatrix}
</math>

===マヨラナ表現===
マヨラナ表現では、ガンマ行列は全て純虚数になるように選択される。具体的に<math>\gamma^\mu</math> および <math>\gamma_5</math> は
:<math>\gamma^0=
\begin{bmatrix}
 0 & \sigma_2 \\
 \sigma_2 & 0 \\
\end{bmatrix}
,\quad
\gamma^1=
\begin{bmatrix}
 i\sigma_3 & 0 \\
 0 & i\sigma_3 \\
\end{bmatrix}
,\quad
\gamma^2=
\begin{bmatrix}
 0 & -\sigma_2 \\
 \sigma_2 & 0 \\
\end{bmatrix}
,\quad
\gamma^3=
\begin{bmatrix}
 -i\sigma_1 & 0 \\
 0 & -i\sigma_1 \\
\end{bmatrix}
,\quad
\gamma_5=
\begin{bmatrix}
 \sigma_2 & 0 \\
 0 & -\sigma_2 \\
\end{bmatrix}
</math>
となる。

マヨラナ表現においてディラック方程式は実数で構成される。

マヨラナ表現は次の直積表現に相当する。
:<math>
\gamma^0 = \sigma_1 \otimes \sigma_2, \quad
\gamma^1 = i 1 \otimes \sigma_3, \quad
\gamma^2 = -i\sigma_2 \otimes \sigma_2, \quad
\gamma^3 = -i1 \otimes \sigma_1, \quad
\gamma_5 =  \sigma_3 \otimes \sigma_2
</math>

また、マヨラナ表現とディラック表現は次の相似変換で結ばれる。
:<math>
\gamma^{\mu}_{\operatorname{majorana}} =U \, \gamma^{\mu}_{\operatorname{Dirac}}\, U^{\dagger} 
, \quad
U = U^{\dagger}
  = \frac{1}{\sqrt{2}} 
\begin{bmatrix}
 1 & \sigma_2 \\
 \sigma_2 &  -1 \\
\end{bmatrix}
</math>

== ファインマンのスラッシュ記法 ==
[[リチャード・P・ファインマン|リチャード・ファインマン]]によって導入された記法<ref>R. P. Feynman,"Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics," ''Phys. Rev.'' '''76''', 769 (1949) {{doi|10.1103/PhysRev.76.769}}</ref>を用いて、時空の添え字をもつ[[ベクトル]]量 {{math|''p{{sub|&mu;}}''}} に対して
:<math>p\!\!\!/ \equiv \gamma^\mu p_\mu = \gamma_\mu p^\mu</math>
と略記することがある。

{{Main|ファインマンのスラッシュ記法}}

==脚注==
===注===
{{reflist|group="注"}}
===出典===
{{reflist}}

==参考文献==
{{参照方法|date=2017年12月|section=1}}
* R. H. Good, Jr., "Properties of the Dirac Matrices," ''Rev. Mod. Phys.'','''27''' 187 (1955)　{{doi|10.1103/RevModPhys.27.187}}
* Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber, ''Quantum Field Theory'', McGraw-Hill (1986), Dover Publications (2005 republication) ISBN 978-0486445687
* Silvan S. Schweber, ''An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory'', Harper & Row (1961),  Dover Publications (2005 republication) ISBN 978-0486442280

==関連項目==
* [[場の量子論]] - [[ディラック方程式|ディラック場]]
* [[クリフォード代数]]
* [[パウリ行列]]

{{DEFAULTSORT:かんまきようれつ}}
[[Category:素粒子物理学]]
[[Category:行列]]
[[Category:クリフォード代数]]
[[Category:スピノル]]
[[Category:数学に関する記事]]