キャッソン不変量のソースを表示

{{要改訳}}
数学の一分野である[[幾何学的トポロジー]]の{{仮リンク|3-次元トポロジー|en|3-dimensional topology}}(3-dimensional topology)では、'''キャッソン不変量'''(Casson invariant)は、{{仮リンク|アンドリュー・キャッソン|en|Andrew Casson}}(Andrew Casson)により導入された向き付け可能な整数{{仮リンク|ホモロジー3-球面|en|homology 3-sphere}}(homology 3-sphere)の整数値不変量である。

ケルビン・ウォーカー(Kevin Walker)は、1992年に、'''キャッソン・ウォーカー不変量'''(Casson-Walker invariant)と呼ばれる{{仮リンク|有理ホモロジー3-球面|en|rational homology 3-sphere}}(rational homology 3-sphere)の拡張を発見し、クリスティーヌ・レスコップは、1995年にすべての[[閉多様体|閉じた]]な向きつけられた{{仮リンク|3-次元多様体|en|3-manifold}}(3-manifold)へ拡張した。
<!--In [[3-dimensional topology]], a part of the mathematical field of [[geometric topology]], the '''Casson invariant''' is an integer-valued invariant of oriented integral [[homology 3-sphere]]s, introduced by [[Andrew Casson]].

Kevin Walker (1992) found an extension to [[rational homology 3-sphere]]s, called the '''Casson-Walker invariant''', and Christine Lescop (1995) extended  the invariant to all [[closed manifold|closed]] oriented [[3-manifold]]s.-->

==定義==
キャッソン不変量は、向き付けられた整数ホモロジー 3-球面から '''Z''' への写像で次の性質を満たす全射写像 λ である。
*λ('''S'''<sup>3</sup>) = 0.
*Σ を整数ホモロジー 3-球面とすると、任意の結び目 K と任意の整数 n に対して、差

::<math>\lambda\left(\Sigma+\frac{1}{n+1}\cdot K\right)-\lambda\left(\Sigma+\frac{1}{n}\cdot K\right)</math>
:は、n と独立である。ここに <math>\Sigma+\frac{1}{m}\cdot K</math> は、K による Σ 上の <math>\frac{1}{m}</math> {{仮リンク|デーンの手術|en|Dehn surgery}}(Dehn surgery)である。
*Σ の中の任意の境界の絡み目 K ∪ L に対して、次の表現は 0 となる。
::<math>\lambda\left(\Sigma+\frac{1}{m+1}\cdot K+\frac{1}{n+1}\cdot L\right) -\lambda\left(\Sigma+\frac{1}{m}\cdot K+\frac{1}{n+1}\cdot L\right)-\lambda\left(\Sigma+\frac{1}{m+1}\cdot K+\frac{1}{n}\cdot L\right) +\lambda\left(\Sigma+\frac{1}{m}\cdot K+\frac{1}{n}\cdot L\right)</math>

キャッソン不変量は（上記の性質に関して）すべての定数による積を除き、一意である。
<!--==Definition==
A Casson invariant is a surjective map
λ from oriented integral homology 3-spheres to '''Z''' satisfying the following properties:
*λ('''S'''<sup>3</sup>) = 0.
*Let Σ be an integral homology 3-sphere. Then for any knot ''K'' and for any integer ''n'', the difference
::<math>\lambda\left(\Sigma+\frac{1}{n+1}\cdot K\right)-\lambda\left(\Sigma+\frac{1}{n}\cdot K\right)</math>
:is independent of ''n''. Here <math>\Sigma+\frac{1}{m}\cdot K</math> denotes <math>\frac{1}{m}</math> [[Dehn surgery]] on Σ by ''K''.
*For any boundary link ''K'' ∪ ''L'' in Σ the following expression is zero:
::<math>\lambda\left(\Sigma+\frac{1}{m+1}\cdot K+\frac{1}{n+1}\cdot L\right) -\lambda\left(\Sigma+\frac{1}{m}\cdot K+\frac{1}{n+1}\cdot L\right)-\lambda\left(\Sigma+\frac{1}{m+1}\cdot K+\frac{1}{n}\cdot L\right) +\lambda\left(\Sigma+\frac{1}{m}\cdot K+\frac{1}{n}\cdot L\right)</math>

The Casson invariant is unique (with respect to the above properties) up to an overall multiplicative constant.-->

==性質==
*K が三葉結び目(trefoil)であれば、
::<math>\lambda\left(\Sigma+\frac{1}{n+1}\cdot K\right)-\lambda\left(\Sigma+\frac{1}{n}\cdot K\right)=\pm 1</math>.
*{{仮リンク|ポアンカレホモロジー球面|en|Poincaré homology sphere}}(Poincaré homology sphere)のキャッソン不変量は 1 (あるいは、−1)である。
*M の向き付けを逆にすると、キャッソン不変量は符号を変える。
*M の[[ロホリンの定理|ロホリン不変量]]は、キャッソン不変量 mod 2 に等しい。
*キャッソン不変量は、ホモロジー 3-球面の連結和に関して、加法的である。
*キャッソン不変量は、[[フレアーホモロジー]]の[[オイラー数|オイラー特性類]]の一種である。
*任意の整数 n に対し、
::<math>\lambda \left ( M + \frac{1}{n+1}\cdot K\right ) - \lambda \left ( M + \frac{1}{n}\cdot K\right ) = \phi_1 (K), </math>
:ここに <math>\phi_1 (K)</math> は、[[アレクサンダー多項式#アレクサンダー・コンウェイ多項式|アレクサンダー・コンウェイ多項式]] <math>\nabla_K(z)</math> の <math>z^2</math> の係数であり、K の{{仮リンク|Arf不変量|en|Arf invariant}}(Arf invariant)に合同 (mod 2) である。
*キャッソン不変量は{{仮リンク|LMO不変量|en|LMO invariant}}(LMO invariant)<!--英語版にもないが、いづれ必要-->の次数 1 の部分である。
*{{仮リンク|ザイフェルト多様体|en|Seifert manifold}}(Seifert manifold) <math>\Sigma(p,q,r)</math> のキャッソン不変量は、次の公式により与えられる。
::<math> \lambda(\Sigma(p,q,r))=-\frac{1}{8}\left[1-\frac{1}{3pqr}\left(1-p^2q^2r^2+p^2q^2+q^2r^2+p^2r^2\right)
-d(p,qr)-d(q,pr)-d(r,pq)\right]</math>
:ここに
::<math>d(a,b)=-\frac{1}{a}\sum_{k=1}^{a-1}\cot\left(\frac{\pi k}{a}\right)\cot\left(\frac{\pi bk}{a}\right)</math>
:である。
<!--==Properties==
*If K is the trefoil then 
::<math>\lambda\left(\Sigma+\frac{1}{n+1}\cdot K\right)-\lambda\left(\Sigma+\frac{1}{n}\cdot K\right)=\pm 1</math>.
*The Casson invariant is 1 (or −1) for the [[Poincaré homology sphere]].
*The Casson invariant changes sign if the orientation of ''M'' is reversed. 
*The [[Rokhlin invariant]] of ''M'' is equal to the Casson invariant mod 2.
*The Casson invariant is additive with respect to connected summing of homology 3-spheres. 
*The Casson invariant is a sort of [[Euler characteristic]] for [[Floer homology]].
*For any integer ''n'' 
::<math>\lambda \left ( M + \frac{1}{n+1}\cdot K\right ) - \lambda \left ( M + \frac{1}{n}\cdot K\right ) = \phi_1 (K), </math>
:where <math>\phi_1 (K)</math> is the coefficient of <math>z^2</math> in the [[Alexander-Conway polynomial]] <math>\nabla_K(z)</math>, and is congruent (mod 2) to the [[Arf invariant]] of ''K''.
*The Casson invariant is the degree 1 part of the [[LMO invariant]].
*The Casson invariant for the [[Seifert manifold]] <math>\Sigma(p,q,r)</math> is given by the formula:
::<math> \lambda(\Sigma(p,q,r))=-\frac{1}{8}\left[1-\frac{1}{3pqr}\left(1-p^2q^2r^2+p^2q^2+q^2r^2+p^2r^2\right)
-d(p,qr)-d(q,pr)-d(r,pq)\right]</math>
:where
::<math>d(a,b)=-\frac{1}{a}\sum_{k=1}^{a-1}\cot\left(\frac{\pi k}{a}\right)\cot\left(\frac{\pi bk}{a}\right)</math>-->

==表現の数としてのキャッソン不変量==
非公式には、キャッソン不変量は、ホモロジー 3-球面の[[基本群]]の群 [[SU(2)]] への表現の共役類の数の半分である。このことは次のように詳細に記述することができる。

[[コンパクト空間|コンパクト]]な向き付けられた 3-多様体 M の表現空間は、<math>\mathcal{R}(M)=R^{\mathrm{irr}}(M)/SO(3)</math> として定義される。ここに <math>R^{\mathrm{irr}}(M)</math> は <math>\pi_1 (M)</math> の既約 SU(2) 表現の空間を表す。<math>M</math> の{{仮リンク|ヒーガード分解|en|Heegaard splitting}}(Heegaard splitting) <math>\Sigma=M_1 \cup_F M_2</math> に対し、キャッソン不変量は <math>\frac{(-1)^g}{2}</math> と <math>\mathcal{R}(M_1)</math> と <math>\mathcal{R}(M_2)</math> との代数的交叉の積に等しい。
<!--==The Casson invariant as a count of representations==
Informally speaking, the Casson invariant counts half the number of conjugacy classes of representations of the [[fundamental group]] of a homology 3-sphere ''M'' into the group [[SU(2)]]. This can be made precise as follows.

The representation space of a [[compact space|compact]] oriented 3-manifold ''M'' is defined as <math>\mathcal{R}(M)=R^{\mathrm{irr}}(M)/SO(3)</math> where <math>R^{\mathrm{irr}}(M)</math> denotes the space of irreducible SU(2) representations of <math>\pi_1 (M)</math>. For a [[Heegaard splitting]] <math>\Sigma=M_1 \cup_F M_2</math> of  <math>M</math>, the Casson invariant equals <math>\frac{(-1)^g}{2}</math> times the algebraic intersection of <math>\mathcal{R}(M_1)</math> with <math>\mathcal{R}(M_2)</math>.-->

==一般化==
===有理ホモロジー 3-球面===
ケルビン・ウォーカー(Kevin Walker)は、キャッソン不変量の{{仮リンク|有理ホモロジー3-球面|en|rational homology 3-sphere}}(rational homology 3-sphere)への拡張を発見した。キャッソン・ウォーカー不変量は、向き付けられた有理ホモロジー 3-球面の '''Q''' への全射写像 λ<sub>CW</sub> であり、次の性質を満たしている。

'''1.''' λ('''S'''<sup>3</sup>) = 0.

'''2.''' 向き付けられた有理ホモロジー球面 M の中の向き付けられた有理ホモロジー球面 M' のすべての 1-成分{{仮リンク|デーンの手術|en|Dehn surgery}}(Dehn surgery)の提示に対し、
:<math>\lambda_{CW}(M^\prime)=\lambda_{CW}(M)+\frac{\langle m,\mu\rangle}{\langle m,\nu\rangle\langle \mu,\nu\rangle}\Delta_{W}^{\prime\prime}(M-K)(1)+\tau_{W}(m,\mu;\nu)</math> 
である。ここに、
*m は結び目 K の向きつけられたメリディアンであり μ は手術の特性曲線である。
*ν は自然な写像 H<sub>1</sub>(∂N(K), '''Z''') → H<sub>1</sub>(M − K, '''Z''') の核の生成子である。
*<math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> は結び目の管状近傍 N(K) の上の交叉形式である。
*Δ はアレクサンダー多項式で、t の作用が M − K の無限{{仮リンク|巡回被覆|en|cyclic cover}}(cyclic cover)の中の <math>H_1(M-K)/\text{Torsion}</math> の生成子の作用に対応し、対称であり、1 では 1 となるように正規化されている。
*<math>\tau_{W}(m,\mu;\nu)= -\mathrm{sgn}\langle y,m\rangle s(\langle x,m\rangle,\langle y,m\rangle)+\mathrm{sgn}\langle y,\mu\rangle s(\langle x,\mu\rangle,\langle y,\mu\rangle)+\frac{(\delta^2-1)\langle m,\mu\rangle}{12\langle m,\nu\rangle\langle \mu,\nu\rangle}</math>
:ここに x, y は、すべての整数 δ に対し <math>\langle x,y\rangle=1</math>, v = δy であり、s(p, q) が{{仮リンク|デデキント和|en|Dedekind sum}}(Dedekind sum) となるような H<sub>1</sub>(∂N(K), '''Z''') の生成子である。

整数ホモロジー球面に対し、ウォーカーの正規化は、キャッソンの正規化 <math> \lambda_{CW}(M) = 2 \lambda(M) </math> の 2 倍となっていることに注意する。
<!--==Generalizations==
===Rational homology 3-spheres===
Kevin Walker found an extension of the Casson invariant to [[rational homology 3-sphere]]s. A Casson-Walker invariant is a surjective map λ<sub>''CW''</sub> from oriented rational homology 3-spheres to '''Q''' satisfying the following properties:

'''1.''' λ('''S'''<sup>3</sup>) = 0.

'''2.''' For every 1-component [[Dehn surgery]] presentation (''K'', μ) of an oriented rational homology sphere ''M''′ in an oriented rational homology sphere ''M'':
:<math>\lambda_{CW}(M^\prime)=\lambda_{CW}(M)+\frac{\langle m,\mu\rangle}{\langle m,\nu\rangle\langle \mu,\nu\rangle}\Delta_{W}^{\prime\prime}(M-K)(1)+\tau_{W}(m,\mu;\nu)</math> 
where:
*''m'' is an oriented meridian of a knot ''K'' and μ is the characteristic curve of the surgery.
*ν is a generator the kernel of the natural map ''H''<sub>1</sub>(∂''N''(''K''), '''Z''') → ''H''<sub>1</sub>(''M''−''K'', '''Z''').
*<math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> is the intersection form on the tubular neighbourhood of the knot, ''N''(''K'').
*Δ is the Alexander polynomial normalized so that the action of ''t'' corresponds to an action of the generator of <math>H_1(M-K)/\text{Torsion}</math> in the infinite [[cyclic cover]] of ''M''−''K'', and is symmetric and evaluates to 1 at 1.
*<math>\tau_{W}(m,\mu;\nu)= -\mathrm{sgn}\langle y,m\rangle s(\langle x,m\rangle,\langle y,m\rangle)+\mathrm{sgn}\langle y,\mu\rangle s(\langle x,\mu\rangle,\langle y,\mu\rangle)+\frac{(\delta^2-1)\langle m,\mu\rangle}{12\langle m,\nu\rangle\langle \mu,\nu\rangle}</math>
:where ''x'', ''y'' are generators of ''H''<sub>1</sub>(∂''N''(''K''), '''Z''') such that <math>\langle x,y\rangle=1</math>, ''v'' = δ''y'' for an integer δ and ''s''(''p'', ''q'') is the [[Dedekind sum]].

Note that for integer homology spheres, the Walker's normalization is twice that of Casson's: <math> \lambda_{CW}(M) = 2 \lambda(M) </math>.-->

===コンパクトな向き付けられた 3-次元多様体===
クリスティーヌ・レスコップ(Christine Lescop)は、キャッソン・ウォーカー不変量の向き付けられたコンパクト 3-次元多様体への拡張 λ<sub>CWL</sub> を定義した。この定義は、次の性質をもつことで一意に特徴付けられる。
*M の第一[[ベッチ数]] は 0 でれば
::<math>\lambda_{CWL}(M)=\tfrac{1}{2}\left\vert H_1(M)\right\vert\lambda_{CW}(M)</math>.
*M の第一ベッチ数が 1 であれば、
::<math>\lambda_{CWL}(M)=\frac{\Delta^{\prime\prime}_M(1)}{2}-\frac{\mathrm{torsion}(H_1(M,\mathbb{Z}))}{12}</math> 
:ここに Δ は対称で、1 で正の値の値を取るように正規化された[[アレクサンダー多項式]]である。
*M の第一ベッチ数が 2 であれば、
::<math>\lambda_{CWL}(M)=\left\vert\mathrm{torsion}(H_1(M))\right\vert\mathrm{Link}_M (\gamma,\gamma^\prime)</math> 
:ここに γ は、<math>H_2(M;\mathbb{Z})</math> の 2つの生成子 <math>S_1,S_2</math> の交叉により与えられた向き付けられた曲線であり、<math>\gamma^\prime</math> は、<math>S_1, S_2</math> により決定される γ の管状近傍の自明かにより引き起こされる並行な曲線である。
*M の第一ベッチ数が 3 であれば、<math>H_1(M;\mathbb{Z})</math> の基底 a, b, c に対し、
::<math>\lambda_{CWL}(M)=\left\vert\mathrm{torsion}(H_1(M;\mathbb{Z}))\right\vert\left((a\cup b\cup c)([M])\right)^2</math>
:である。
*M の第一ベッチ数が 3 よりも大きいと、<math>\lambda_{CWL}(M)=0</math> である。

キャッソン・ウォーカー・レスコップ不変量は次の性質を持つ。
*M が向きつけられて、第一ベッチ数が奇数であれば、キャッソン・ウォーカー・レスコップ不変量は変わらなく、そうでない場合は符号を変える。
*多様体の[[連結和]]に対し、
::<math>\lambda_{CWL}(M_1\#M_2)=\left\vert H_1(M_2)\right\vert\lambda_{CWL}(M_1)+\left\vert H_1(M_1)\right\vert\lambda_{CWL}(M_2) \ .</math>
<!--===Compact oriented 3-manifolds===
Christine Lescop defined an extension λ<sub>''CWL''</sub> of the Casson-Walker invariant to oriented compact [[3-manifolds]]. It is uniquely characterized by the following properties:
*If the first [[Betti number]] of ''M'' is zero, 
::<math>\lambda_{CWL}(M)=\tfrac{1}{2}\left\vert H_1(M)\right\vert\lambda_{CW}(M)</math>.
*If the first Betti number of ''M'' is one, 
::<math>\lambda_{CWL}(M)=\frac{\Delta^{\prime\prime}_M(1)}{2}-\frac{\mathrm{torsion}(H_1(M,\mathbb{Z}))}{12}</math> 
:where Δ is the Alexander polynomial normalized to be symmetric and take a positive value at 1.
*If the first Betti number of ''M'' is two, 
::<math>\lambda_{CWL}(M)=\left\vert\mathrm{torsion}(H_1(M))\right\vert\mathrm{Link}_M (\gamma,\gamma^\prime)</math> 
:where γ is the oriented curve given by the intersection of two generators <math>S_1,S_2</math> of <math>H_2(M;\mathbb{Z})</math> and <math>\gamma^\prime</math> is the parallel curve to γ induced by the trivialization of the tubular neighbourhood of γ determined by <math>S_1, S_2</math>.
*If the first Betti number of ''M'' is three, then for ''a'',''b'',''c'' a basis for <math>H_1(M;\mathbb{Z})</math>, then 
::<math>\lambda_{CWL}(M)=\left\vert\mathrm{torsion}(H_1(M;\mathbb{Z}))\right\vert\left((a\cup b\cup c)([M])\right)^2</math>.
*If the first Betti number of ''M'' is greater than three, <math>\lambda_{CWL}(M)=0</math>.

The Casson-Walker-Lescop invariant has the following properties:
*If the orientation of ''M'', then if the first Betti number of ''M'' is odd the Casson-Walker-Lescop invariant is unchanged, otherwise it changes sign. 
*For connect-sums of manifolds 
::<math>\lambda_{CWL}(M_1\#M_2)=\left\vert H_1(M_2)\right\vert\lambda_{CWL}(M_1)+\left\vert H_1(M_1)\right\vert\lambda_{CWL}(M_2)</math>-->

===SU(N)===

1990年、{{仮リンク|クリフォード・タウベス|en|Clifford Taubes}}(Clifford Taubes)は、ホモロジー 3-球面 M の SU(2) キャッソン不変量が、<math>\mathcal{A}/\mathcal{G}</math> の[[オイラー数|オイラー特性類]]として、ゲージ理論的な解釈を持つ。ここに、<math>\mathcal{A}</math> は M 上の SU(2) 接続の空間であり、<math>\mathcal{G}</math> はゲージ変換の群である。彼は[[チャーン・サイモンズ理論|チャーン・サイモンズ不変量]]を <math>\mathcal{A}/\mathcal{G}</math> 上の <math>S^1</math> に値を持つ[[モース函数]]として導き、SU(3) キャッソン不変量が摂動と独立であることにとって重要であることを指摘した。({{harvtxt|Taubes|1990}})

ボーデン(Boden)とヘラルド(Herald) (1998) は [[SU(3)]] キャッソン不変量を定義した。
<!--===[[SU(N)]]===

In 1990, C. Taubes showed that the SU(2) Casson invarinat of a 3-homology shpere ''M'' has gauge theoretic interpretation as the [[Euler characteristic]] of <math>\mathcal{A}/\mathcal{G}</math>, where <math>\mathcal{A}</math> is the space of SU(2) connections on ''M'' and <math>\mathcal{G}</math> is the group of gauge transformations. He lead [[Chern-Simons theory|Chern-Simons invariant]] as a <math>S^1</math>-valued [[Morse function]] on <math>\mathcal{A}/\mathcal{G}</math> and pointed out that the SU(3) Casson invariant is important to make the invariants independent on perturbations. ({{harvtxt|Taubes|1990}})

Boden and Herald (1998) defined an [[SU(3)]] Casson invariant.-->

==参考文献==
*S. Akbulut and J. McCarthy, ''Casson's invariant for oriented homology 3-spheres— an exposition.'' Mathematical Notes, 36. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1990. ISBN 0-691-08563-3
*M. Atiyah, ''New invariants of 3- and 4-dimensional manifolds.'' The mathematical heritage of Hermann Weyl (Durham, NC, 1987), 285-299, Proc. Sympos. Pure Math., 48, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988. 
*H. Boden and C. Herald, ''The SU(3) Casson invariant for integral homology 3-spheres.'' J. Differential Geom. 50 (1998), 147–206.
*C. Lescop, ''Global Surgery Formula for the Casson-Walker Invariant.''  1995, ISBN 0-691-02132-5
*N. Saveliev, ''Lectures on the topology of 3-manifolds: An introduction to the Casson Invariant.'' de Gruyter, Berlin, 1999. ISBN 3-11-016271-7 ISBN 3-11-016272-5
*{{citation|last= Taubes|first= Clifford Henry|title= Casson’s invariant and gauge theory.|journal= J. Differential Geom. |volume=31 |year=1990 |pages= 547–599}}
*K. Walker, ''An extension of Casson's invariant.'' Annals of Mathematics Studies, 126. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1992.   ISBN 0-691-08766-0 ISBN 0-691-02532-0

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